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Quadratische Funktionen
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Die Normalparabel kennst du schon, aber was passiert, wenn du es mit gestreckten und gestauchten Parabeln zu tun hast? Hier im Artikel% und in unserem Video erfährst du alles, was du über Streckung und Stauchung wissen musst!

Streckung & Stauchung — Überblick

Bei einer gestreckten oder gestauchten Parabel f(x) = ax2 kannst du den Streckfaktor ganz einfach ablesen: er ist die Zahl a vor dem x2. Dieser Streckfaktor a bestimmt die Form der Parabel .

  • a = 1 oder a = -1genauso breit wie Normalparabel
  • a > 1 oder a < -1 gestreckt
  • -1 < a < 1 gestaucht
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Gestreckte und gestauchte Parabel

Außerdem kannst du ablesen, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist:

  • a positiv → nach oben geöffnet
  • a negativ → nach unten geöffnet
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Parabeln nach oben oder unten geöffnet

Streckung & Stauchung — Streckfaktor ablesen

Du kannst die Form einer Normalparabel also verändern, indem du ihren Funktionsterm x2 mit einer Zahl a multiplizierst:  f(x) = a · x2. Aber auch bei verschobenen Parabeln kannst du den Streckfaktor a ganz einfach ablesen: In der Funktionsgleichung steht er immer vor dem Term mit dem Quadrat.

Dabei sagt dir der Betrag von a, ob die Funktion schmaler (|a| > 1, d.h. a > 1 oder a < -1) oder breiter (|a| < 1,d.h. -1 < a < 1) als die Normalparabel f(x)=x2 ist. 

  • f(x) = 7x2 + 2x – 5 oder  f(x) = -20 · (x + 1)2 – 3 → schmaler als Normalparabel („gestreckte Parabel“)
  • f(x) = x2 – 3x + 1 oder f(x) = ½ · (x – 3)2 – 1 → breiter als Normalparabel („gestauchte Parabel“)

Das Vorzeichen von a gibt an, ob die Parabel nach oben (positives Vorzeichen) oder nach unten (negatives Vorzeichen) geöffnet ist.

  • f(x) = 7x2 – 2x + 5 oder  f(x) = ½ · (x – 3)2 – 1  → nach oben geöffnet
  • f(x) = x2 – 3x + 1 oder f(x) = -20 · (x + 1)2 – 3  → nach unten geöffnet

Schau dir die Streckung und Stauchung von Parabeln nun nochmal genauer an zwei Beispielen an.

Gestreckte Parabel

Die Funktion f(x) = 3x2 hat den Streckfaktor 3. 3 ist größer als 1. Somit hast du es mit einer gestreckten Parabel zu tun. Das siehst du auch an den Funktionswerten. Du erhältst sie, indem du die Funktionswerte der Normalparabel mit dem Faktor 3 multiplizierst. %Liebe Animation, könntet ihr so eine Wertetabelle erstellen und dann jeweils an die Pfeile · 3 hinschreiben (Zahl und Pfeil in amber wie im Text)? Von der Idee her wie in der zweiten Grafik, hier hab ich dann nur nicht nochmal alle Werte eingetragen...

x

-2

-1

0

1/2

2

f(x) = x2

4

1

0

1/4

4

F(x) = 3x2

12

3

0

3/4

12

%<img class="alignnone size-medium wp-image-416969" src="https://blog.studyflix.de/wp-content/uploads/2022/07/Wertetabelle-gestreckt-Idee-300x169.png" alt="" width="300" height="169" />Alttext: Wertetabelle gestreckte Parabel, gestreckte Parabel, gestreckt gestaucht, gestreckt und gestaucht, Parabel gestreckt, Stauchung Streckung, Streckung Stauchung, strecken und stauchen, Streckfaktor Parabel ablesen, gestreckt gestaucht ParabelBeschriftung: Wertetabelle gestreckte Parabel</span><span style="color: #ff00ff;">Wenn du dir die Wertetabelle  anschaust, siehst du, dass die Funktionswerte der gestreckten Parabel f(x) = 3x2 viel schneller wachsen als die der Normalparabel. Dadurch wird der Funktionsgraph sozusagen „nach oben gezogen“. Das erklärt, warum eine gestreckte Parabel schmaler ist als eine Normalparabel. 

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Funktionsgraph gestreckte Parabel

Gestauchte Parabel

Indem du x2 mit dem Streckfaktor ½ multiplizierst, erzeugst du eine gestauchte Parabel f(x) = ½x2. Auch hier lohnt sich ein Blick in die Wertetabelle. Dieses Mal musst du die Funktionswerte der Normalparabel jeweils mit dem Faktor ½ malnehmen. %Liebe Animation: Wertetabelle wie oben mit Pfeilen, nur dieses Mal in dunkelrot und mit · ½ beschriftet. Die Werte für die Tabelle sind hier:

x

-3

-1

0

2

4

f(x) = x2

9

1

0

4

16

F(x) = 1/2 x2

4,5

1/2

0

2

8

%Alttext: Wertetabelle gestauchte Parabel, gestauchte Parabel, gestreckt gestaucht, gestreckt und gestaucht, Parabel gestaucht, Stauchung Streckung, Streckung Stauchung, strecken und stauchen, Streckfaktor Parabel ablesen, gestreckt gestaucht ParabelBeschriftung: Wertetabelle gestauchte ParabelHier wachsen die Werte langsamer an, daher sieht der Funktionsgraph im Vergleich zur Normalparabel flacher und breiter aus. So erhältst du also eine gestauchte Parabel.

gestauchte Parabel, gestreckt gestaucht, gestreckt und gestaucht, Parabel gestaucht, Stauchung Streckung, Streckung Stauchung, strecken und stauchen, Streckfaktor Parabel ablesen, gestreckt gestaucht Parabel, Funktionsgraph gestauchte Parabel
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Funktionsgraph gestauchte Parabel

Parabel — gestreckt und nach unten geöffnet

Eine Parabel kann auch nach unten geöffnet sein. Das erreichst du durch ein negatives Vorzeichen vor dem Streckfaktor a. Die Funktion f(x) = 2xist beispielsweise nach unten geöffnet, weil -2 negativ ist. Gleichzeitig ist sie aber auch gestreckt, weil 2 größer als 1 ist. Je nachdem, welchen Wert a hat, kann also auch eine nach unten geöffnete Parabel zusätzlich noch gestreckt oder gestaucht sein. Die Funktionswerte der Normalparabel multiplizierst du in diesem Beispiel dann mit dem Faktor 2.%@ Animation: nochmal Wertetabelle, dieses mal Pfeil in orange mit Faktor -2. - rosa hinterlegen, 2 in orange wie im Text. Hier die Werte:

x

-1

-1/2

0

2

4

f(x) = x2

1

1/4

0

4

16

F(x) = 2 x2

-2

-1/2

0

-8

-32

%Alttext: Wertetabelle gestreckte und gespiegelte Parabel, gestreckte Parabel, gespiegelte Parabel gestreckt gestaucht, gestreckt und gestaucht, Parabel gestreckt, Stauchung Streckung, Streckung Stauchung, strecken und stauchen, Streckfaktor Parabel ablesen, gestreckt gestaucht Parabel</span><span style="color: #ff00ff;">Beschriftung: Wertetabelle gestreckte und gespiegelte ParabelDen Funktionsgraph erhältst du, indem du die Parabel an der x-Achse spiegelst (wegen dem negativen Vorzeichen) und sie mit dem Faktor 2 streckst. 

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Funktionsgraph gestreckte und gespiegelte Parabel

Parabel

Super, jetzt kennst du dich bestens mit dem Strecken und Stauchen von Parabeln aus. Du hast gelernt, wie du am Streckfaktor die Streckung oder Stauchung einer Parabel ablesen kannst. Was man sonst noch alles mit Parabeln machen kann, erfährst du in unserem Video dazu ! Schau doch gleich dort vorbei!%Thumbnailverweis

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