Lineare Algebra

Hier erfährst du, was ein Koeffizientenvergleich ist und wie du ihn Schritt für Schritt durchführen kannst. In unserem Video  erklären wir dir den Koeffizientenvergleich noch einmal an einem Beispiel. Schau es dir also unbedingt an!

Inhaltsübersicht

Koeffizientenvergleich einfach erklärt  

Mit einem Koeffizientenvergleich kannst du zwei Polynome untersuchen und dabei feststellen, ob die beiden Polynome gleich sind.

P(x) = \textcolor{red}{a_0} + \textcolor{blue}{a_1}x^1+\textcolor{orange}{a_2}x^2+...+\textcolor{violet}{a_n}x^n

Q(x)=\textcolor{red}{b_0}+\textcolor{blue}{b_1}x^1+\textcolor{orange}{b_2}x^2+...+\textcolor{violet}{b_n}x^n

Was ein ein Koeffizient?

  • Das sind die Ausdrücke vor den x-Potenzen.
  • Für P(x): \textcolor{red}{a_0},\textcolor{blue}{a_1}, \textcolor{orange}{a_2},...,\textcolor{violet}{a_n}
  • Für Q(x): \textcolor{red}{b_0},\textcolor{blue}{b_1}, \textcolor{orange}{b_2},...,\textcolor{violet}{b_n}

Diese zwei Polynome P(x) und Q(x) haben den gleichen Grad, also x^n als höchste Potenz. Sie sind genau dann gleich, wenn alle ihre Koeffizienten, gleich sind. 

P(x) = Q(x), wenn

\textcolor{red}{a_0}=\textcolor{red}{b_0} , \textcolor{blue}{a_1} = \textcolor{blue}{b_1}, ... , \textcolor{violet}{a_n}=\textcolor{violet}{b_n}

Einen Koeffizientenvergleich kannst du aber auch gezielt nutzen, um zwei gegebene Polynome gleich zu machen. Die Polynome sind nämlich genau dann gleich, wenn alle einzelnen Teile, also gerade die Koeffizienten vor den entsprechenden x-Potenzen, gleich sind. 

Koeffizientenvergleich Beispiel  

Schauen wir uns das gleich mal gemeinsam an einem Beispiel an. Die beiden Polynome P(x) und Q(x) sollen gleich sein.

P(x)=3x-1

Q(x)=a(x-1)+2b

Schritt 1: Ausmultiplizieren

Hier kommen noch Klammern in den Polynomen vor. Diese löst du zunächst einmal auf.

Q(x) = a(x-1)+2b

= ax-a+2b

Schritt 2: Koeffizienten identifizieren

Beide Polynome haben Grad 1, weil das x die höchste Potenz ist, die in den Gleichungen vorkommt. Es gibt deshalb zwei Koeffizienten, die du vergleichen kannst.

Einmal gibt es die Koeffizienten vor dem x, hier sind sie rot markiert. 

P(x)=\textcolor{red}{3}x-1

Q(x)=\textcolor{red}{a}x+2b-a

Außerdem gibt es noch die konstanten Glieder, also die Koeffizienten von x^0=1. Das x^0 wird meistens nicht geschrieben, deshalb erkennst du diese Koeffizienten daran, dass kein x an ihnen hängt. Das ist in diesem Beispiel der ganze Rest, hier blau markiert.

P(x)=3x+\textcolor{blue}{(-1)}

Q(x)=ax+\textcolor{blue}{2b-a}

Wenn du die beiden Polynome gleichsetzt, findest du die entsprechenden Ausdrücke auf beiden Seiten der Gleichung wieder.

P(x) = Q(x)

\textcolor{red}{3}x +\textcolor{blue}{(-1)}=\textcolor{red}{a}x+\textcolor{blue}{2b-a}

Schritt 3: Gleichungssystem aufstellen

Jetzt kannst du die jeweiligen Koeffizienten gleichsetzen und so die Gleichungen aufstellen, mit denen du im nächsten Schritt weiterarbeitest.

\textcolor{red}{3}x=\textcolor{red}{a}x

\textcolor{blue}{-1}=\textcolor{blue}{2b-a}

Schritt 4: Gleichungen auflösen

Fast geschafft, nun musst du die Gleichungen nur noch auflösen. Durch das Wegkürzen von x in der ersten Gleichung ergibt sich schnell

3x=ax

a=3.

Mit diesem Wissen kannst du nun auch die zweite Gleichung umformen und so b gewinnen.

-1=2b-3

3-1=2b

2=2b

b=1

Damit hast du die beiden Variablen a und b so bestimmt, dass die Polynome P(x) und Q(x) gleich sind.

P(x)=3x-1

Q(x)=a(x-1)+2b

=3x-3+2=3x-1

Koeffizientenvergleich Partialbruchzerlegung  

So einen Koeffizientenvergleich musst du meistens im Zuge einer Partialbruchzerlegung durchführen. Dabei möchtest du eine rationale Funktion als Summe verschiedener Brüche darstellen. Betrachte folgendes Beispiel.

3x^2+4x+2 \overset{!}{=} a_{11}(x^2+1)+(a_{21}x+b_{21})(x-1)

Du folgst einfach Schritt für Schritt der Anleitung für den Koeffizientenvergleich.

Schritt 1: Ausmultiplizieren

Zuerst musst du die rechte Seite der Gleichung von allen Klammern befreien. 

3x^2+4x+2=a_{11}x^2+a_{11}+a_{21}x^2-a_{21}x+b_{21}x-b_{21}

Damit kannst du nun weiterarbeiten.

Schritt 2: Koeffizienten identifizieren

Jetzt fasst du die Koeffizienten auf der rechten Seite zusammen. Dabei unterscheidest du zwischen Faktoren vor x^2, vor x und den konstanten Gliedern ohne ein x. Wir haben sie dir hier einmal in unterschiedlichen Farben markiert.

\textcolor{red}{3}x^2+\textcolor{blue}{4}x+\textcolor{orange}{2}=\textcolor{red}{a_{11}}x^2\textcolor{orange}{+a_{11}}+\textcolor{red}{a_{21}}x^2+\textcolor{blue}{(-a_{21})}x+\textcolor{blue}{b_{21}}x+\textcolor{orange}{(-b_{21})}

\textcolor{red}{3}x^2+\textcolor{blue}{4}x+\textcolor{orange}{2}=\textcolor{red}{(a_{11}+a_{21})}x^2+\textcolor{blue}{(-a_{21}+b_{21})}x+\textcolor{orange}{a_{11}-b_{21}}

Schritt 3: Gleichungssystem aufstellen

Du siehst schon an den drei verschiedenen Farben, dass du hier drei Gleichungen aufstellen kannst.

\textcolor{red}{3}=\textcolor{red}{a_{11}+a_{21}}

\textcolor{blue}{4}=\textcolor{blue}{b_{21}-a_{21}}

\textcolor{orange}{2}=\textcolor{orange}{a_{11}-b_{21}}

Schritt 4: Gleichungssystem lösen

Jetzt musst du das Gleichungssystem lösen.

\left(\begin{array}{rrr}1&1&0\\0&-1&1\\1&0&-1\\\end{array}\left|\begin{array}{r}3&4&2\\\end{array}\right)

Als nächstes formst du die Matrix um, sodass du links von der Trennlinie die Einheitsmatrix erhältst. Das funktioniert beispielsweise mit dem Gauß-Algorithmus in mehreren Schritten.

\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\left|\begin{array}{r}4,5&-1,5&2,5\\\end{array}\right)

Nun kannst du den Wert der einzelnen Variablen einfach ablesen.

a_{11}=4,5 , a_{21} = -1,5 , b_{21}=2,5

Der Koeffizientenvergleich ist aber an dieser Stelle schon abgeschlossen, denn mit diesen Werten für die Variablen sind die beiden Polynome gleich.

3x²+4x+2\overset{!}{=}a_{11}(x^2+1)+(a_{21}x+b_{21})(x-1)

\downarrow

3x²+4x+2=4,5(x^2+1)+(-1,5x+2,5)(x-1)

3x²+4x+2=4,5x^2+4,5-1,5x^2+1,5x+2,5x-2,5

3x^2+4x+2=3x^2+4x+2

Wenn du mehr über die Partialbruchzerlegung erfahren möchtest, dann schau dir gleich unser Video dazu an!

Zum Video: Partialbruchzerlegung
Zum Video: Partialbruchzerlegung

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