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Nullstellen ganzrationaler Funktionen 3. und höheren Grades

Wie du die Nullstellen ganzrationaler Funktionen berechnen kannst, erfährst du hier%und in unserem Video!

Ganzrationale Funktionen Nullstellen

%FSDie Nullstellen ganzrationaler Funktionen 3. oder höheren Grades sind die Stellen, an denen der Graph die x-Achse schneidet. Um die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion zu berechnen, suchst du nach der Lösung der Gleichung f(x) = 0.

Hier siehst du die ganzrationale Funktion f(x) = x3 – 6x2 + 5x + 12  mit ihren Nullstellen x1 = -1, x2 = 3 und x3 = 4.

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Nullstellen ganzrationaler Funktionen 3. Grades

Um die Nullstellen zu berechnen, gibt es keine allgemeine Lösungsformel. Stattdessen kannst du verschiedene Methoden anwenden:

Nullstellen Polynom — Merke!%Fs

Die Nullstellen eines Polynoms sind die Stellen, an denen der Graph der ganzrationalen Funktion die x-Achse schneidet.

Linearfaktorzerlegung

Ist deine Funktion in der Linearfaktorzerlegung (Mathematiker sagen auch Linearfaktordarstellung) angegeben, kannst du die Nullstellen einfach ablesen. Frage dich dazu: Für welches x wird die erste Klammer, die zweite Klammer usw. gleich 0? Denn wenn eine Klammer der Gleichung gleich 0 ist, wird die komplette Gleichung null.

Beispiel Linearfaktorzerlegung: f(x) = (x + 1) · (x – 2) · (x + 5)

Die Funktion hat ihre Nullstellen bei

  • x1 = -1, denn (-1 + 1) = 0
  • x2 = 2, denn (2 – 2) = 0
  • x3 = -5, denn (-5 + 5) = 0

Ausklammern

Die nächste Methode, um die Nullstellen einer Funktion 3. oder höheren Grades zu bestimmen, ist das Ausklammern . Das bedeutet, du ziehst ein oder mehrere x vor die Klammer. Das geht immer dann, wenn alle Summanden deiner Funktion mindestens ein x enthalten.

Beispiel: f(x) = 2x4 – 6x3 – 8x2

Du kannst x2 ausklammern. Dadurch erhältst du:

f(x) = x2 · (2x2 – 6x – 8)

Nun weißt du, dass die erste Nullstelle bei x = 0 liegt. Denn wenn du in das x vor die Klammer 0 einsetzt, wird deine ganze Gleichung null. Es handelt sich also um eine Nullstelle. Aber Vorsicht! Du bist noch nicht fertig.

Mithilfe der pq-Formel oder der Mitternachts-Formel bestimmst du noch die Nullstellen innerhalb der Klammer. Hier benutzen wir dir Mitternachtsformel:

2x2 – 6x – 8 = 0

    \[\textcolor{blue}{x_{2,3}} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 2 \cdot (-8)}}{2\cdot 2}  \]

x2 = 4, x3 = – 1

Die Nullstellen der Funktion sind x1 = 0, x2= 4 und x3 = – 1!

Mehr Beispiele zum Bestimmen von Polynom Nullstellen mithilfe des Ausklammerns findest du hier

Substitution

Die Nullstellen einer Funktion 4. Grades kannst du mithilfe der Substitution bestimmen. Das geht bei allen ganzrationalen Funktionen, die als Exponenten nur gerade Zahlen haben (2, 4, 6,…).

Beispiel: f(x) = x4 – 3x2 + 2 

Um die Gleichung zu lösen, ersetzt du x2 durch z. Das nennst du substituieren. Weil x4 =(x2)2 ist, erhältst du nach der Substitution:

f(z) = z2 – 3z +2

Von dieser Gleichung bestimmst du nun die Nullstellen. Verwende dazu zum Beispiel den Satz von Vieta oder die Mitternachtsformel :

    \[\textcolor{orange}{z_{1,2}} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 1 \cdot 2}}{2\cdot 1}\]

z1 = 1, z2 = 2

Vorsicht! Das sind noch nicht die Nullstellen deiner Funktion! Zuerst musst du das z wieder durch das x2 ersetzen. Dazu führst du die Resubstitution durch. Das bedeutet, du ziehst die Wurzel von z:

x = \pm \sqrt{z}

Als Lösungen erhältst du

  • x1 = \textcolor{blue}{\sqrt{1}} = 1
  • x2 = – \textcolor{blue}{\sqrt{1}} = – 1
  • x3 = \textcolor{blue}{\sqrt{2}}
  • x4 = – \textcolor{blue}{\sqrt{2}} 

Fertig! Mehr Aufgaben zur Substitution findest du hier !

Polynomdivision

Auch mit der Polynomdivision kannst du die Nullstellen eines Polynoms berechnen. Am besten verstehst du das Verfahren an einem Beispiel:

Beispiel: f(x) = x3 + 3x2 – 16x + 12

1. Versuche eine Nullstelle durch Ausprobieren herauszufinden. Setze zum Beispiel die Werte 1, 2, 0, -1 oder -2 ein, bis du auf ein Ergebnis kommst.

f(1) = 13 + 3 · 12 – 16 · 1 + 12 = 0

Jetzt weißt du schonmal, dass die Funktion bei x1 = 1 eine Nullstelle hat. Weil f(1) = 0 ist, kennst du den dazugehörigen Linearfaktor  (x – 1). Nun kannst du die Polynomdivision durchführen.

2. Teile deine Funktion durch den bekannten Linearfaktor.

f(x) : (x – 1)

(x3 + 3x2 – 16x + 12) : (x – 1) = x2 + 4x – 12

Wie der ausführliche Rechenweg einer Polynomdivision aussieht, zeigen wir dir hier !

Nun kannst du die weiteren Polynom Nullstellen bestimmen, indem du das Polynom gleich 0 setzt.

3. Setze das Polynom gleich 0, um die restlichen Nullstellen zu bestimmen.

x2 + 4x – 12 = 0

Die Lösung erhältst du zum Beispiel mithilfe der pq-Formel oder der Mitternachtsformel:

    \[\textcolor{blue}{x_{2,3}} = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4\cdot 1 \cdot (-12)}}{2\cdot 1}\]

x2 = 2, x3 = – 6

4. Schreibe alle Nullstellen auf.

Die Funktion f(x) = x3 + 3x2 – 16x + 12 hat ihre Nullstellen bei x1 = 1, x2 = 2 und x3 = -6.

In diesen Videos zeigen wir dir die Polynomdivision einfach erklärt und viele Polynomdivision Aufgaben .

Zerlegung ganzrationaler Funktionen

Nun kennst du alle Methoden, um die Nullstelle einer Funktion 3. Grades zu bestimmen. Die allgemeine Form einer ganzrationalen Funktion sieht übrigens so aus:

    \[f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots + a_2x^2+a_1x+a_0\]

Manchmal musst du mehrere Verfahren kombinieren, damit du alle Nullstellen herausfinden kannst. 

Beispiel: f(x) = x5 + 6x4 + 3x3 – 10x2

1. Als Erstes kannst du x2 ausklammern.

f(x) = x5 + 6x4 + 3x3 – 10x2

f(x) = x2 · (x3 + 6x2 + 3x – 10)

Nun weißt du schonmal, dass die erste Nullstelle bei x1 = 0 ist. Die Nullstellen innerhalb der Klammern kannst du mithilfe der Polynomdivision bestimmen. Durch Ausprobieren erhältst du als Nullstelle zum Beispiel noch x2 = -1. Der Linearfaktor lautet dann (x – 1).

2. Führe die Polynomdivision durch. Du erhältst das Polynom:

(x3 + 6x2 + 3x – 10) : (x – 1) = x2 + 7x + 10

3. Bestimme die Nullstellen des Polynoms mit der Mitternachtsformel .

x2 + 7x + 10 = 0

    \[\textcolor{blue}{x_{2,3}} = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2-4\cdot 1 \cdot 10}}{2\cdot 1}\]

x2 = – 2, x3 = -5

Jetzt hast du alle Nullstellen bestimmt:

  • x1 = 0
  • x2 = – 1
  • x3 = – 2
  • x4 = -5

Übrigens: Da du nun alle Nullstellen kennst, kannst du die Funktion f(x) = x5 + 6x4 + 3x3 – 10x2 auch in der Linearfaktorendarstellung schreiben:

f(x) = x12 · (x2 + 1) · (x3 + 2) · (x4+ 5)

Wie viele Nullstellen hat eine Funktion 3. Grades?%Fs

Eine Polynomfunktion hat maximal so viele Nullstellen, wie ihr höchster Grad! Eine Funktion dritten Grades kann also höchstens 3 Nullstellen haben!

Potenzfunktionen

Die Nullstellen von Funktionen 3. Grades kannst du nun berechnen! Ein weiterer wichtiger Funktionstyp sind die Potenzfunktionen. Schau dir unser Video dazu an, um alles Wichtige über sie zu erfahren!%Thumbnailverweis

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