Wie wähle ich die allgemeine Funktionsgleichung für die Rekonstruktion?

Die allgemeine Funktionsgleichung wird nach der geforderten Funktionsart und dem Grad gewählt. Bei einer ganzrationalen Funktion 3. Grades nutzt man und bildet dazu die Ableitungen und , um Extrem- und Wendebedingungen aufstellen zu können.

Was mache ich aus der Info „Der Graph geht durch den Punkt“?

Aus „Der Graph geht durch den Punkt “ wird die Gleichung . Das liefert eine Bedingung für die unbekannten Koeffizienten. Konkret bedeutet das: Geht der Graph durch , dann gilt .

Wie übersetze ich einen Extrempunkt in Gleichungen mit Ableitungen?

Ein Extrempunkt bei liefert zwei Gleichungen: und , weil die Tangente dort waagrecht ist. ist nur eine notwendige Bedingung – für einen echten Extrempunkt muss zusätzlich gelten. Zum Beispiel bedeutet „Minimum im Punkt “: und .

Wie mache ich aus „Wendestelle bei x“ eine Gleichung?

Aus „Wendestelle bei “ wird die Gleichung , weil an der Wendestelle die Krümmung wechselt und die zweite Ableitung dort null ist. Beispiel: „Wendestelle bei “ ergibt .

Wie wird aus „Tangente mit Steigung m“ eine Gleichung?

„Tangente bei mit Steigung “ wird zu , weil die erste Ableitung die Tangentensteigung angibt. Konkret heißt „Tangente bei hat die Steigung “: .

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Rekonstruktion von Funktionen

Wichtige Inhalte in diesem Video

Rekonstruktion von Funktionen einfach erklärt

(02:53)

Rekonstruktion von Funktionen Aufgabe

(00:16)

1.Schritt: Allgemeine Funktionsgleichung und Ableitungen bestimmen

(00:47)

2.Schritt: Informationen in Gleichungen übersetzen

(01:20)

3.Schritt: Lineares Gleichungssystem (LGS)

(02:17)

4.Schritt: Rekonstruierte Funktion bestimmen

(02:42)

Wie du bei der Rekonstruktion von Funktionen vorgehen musst, erfährst du in unserem Beitrag und in unserem Video .

Inhaltsübersicht

Rekonstruktion von Funktionen einfach erklärt

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(02:53)

Bei der Rekonstruktion von Funktionen musst du anhand von gegebenen Informationen eine ganzrationale Funktionsgleichung bestimmen. Dazu stellst du Gleichungen auf.

Funktionen rekonstruieren Vorgehen

Schreibe die allgemeine Funktionsgleichung (z. B. f(x)= ax³ + bx² + cx + d) deiner gesuchten Funktionsart auf. Bestimme auch ihre Ableitungen.
Übersetze die gegebenen Informationen (Nullstelle , Tangente , …) aus der Rekonstruktion in Mathe Gleichungen.
Stelle ein lineares Gleichungssystem (LGS) auf und löse es.
Bestimme deine rekonstruierte Funktion.

Rekonstruktion von Funktionen Aufgabe

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(00:16)

Schaue dir dazu mal die Rekonstruktion von Funktionen 3. Grades in einem Beispiel an.

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion

3. Grades
mit einem Extrempunkt bei (-1|2) und
einer Wendestelle bei x = 1.
Die Tangente bei x = 2 hat die Steigung m = 9.

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

1.Schritt: Allgemeine Funktionsgleichung und Ableitungen bestimmen

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(00:47)

Im ersten Schritt bestimmst du die allgemeine Funktionsgleichung, die du für deine rekonstruierte Funktion brauchst. Um dir später Zeit zu sparen, solltest du auch ihre ersten beiden Ableitungen bilden.

$\begin{align*}f(x)&=ax^3+bx^2+cx+d\\f'(x)&=3ax^2+2bx+c\\f''(x)&=6ax+2b\end{align*}$

2.Schritt: Informationen in Gleichungen übersetzen

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(01:20)

Im nächsten Schritt übersetzt du die gegebenen Informationen aus der Rekonstruktion in Mathe Gleichungen.

I Der Graph verläuft durch den Punkt (-1|2). → f(-1) = 2

$\begin{align*}f(-1)&=a\cdot {(-1)}^3+b\cdot (-1)^2+c\cdot (-1)+d=2\\f(-1)&=-a+b-c+d=2\end{align*}$

II Der Graph hat ein Minimum im Punkt (-1|2). → f'(-1) = 0

$\begin{align*}f'(-1)&=3a\cdot (-1)^2+2b\cdot (-1)+c=0\\f(-1)&=3a-2b+c=0\end{align*}$

III Der Graph hat eine Wendestelle bei x = 1. → f“(1) = 0

$\begin{align*}f''(1)&=6a\cdot 1+2b=0\\f''(1)&=6a+2b=0\end{align*}$

IV Die rekonstruierte Funktion hat eine Tangente bei x = 2 mit der Steigung m = 9. → f'(2) = 9

$\begin{align*}f'(2)&=3a\cdot 2^2+2b\cdot 2+c=9\\f'(2)&=12a+4b+c=9\end{align*}$

3.Schritt: Lineares Gleichungssystem (LGS)

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(02:17)

Mithilfe deiner Gleichungen kannst du jetzt ein lineares Gleichungssystem (LGS) aufstellen.

$\begin{align*}\text{I }&2=-a+b-c+d\\\text{II }&0=3a-2b+c\\\text{III }&0=6a+2b\\\text{IV }&9=12a+4b+c\end{align}$

Du hast nun verschiedene Methoden, um das LGS zu lösen:

Wenn du mit dem Additionsverfahren von Gleichung IV die Gleichung II subtrahierst, fällt das c weg:

$\begin{align*}9-0&=12a+4b+c-(3a-2b+c)\\9-0&=12a+4b+c-(3a-2b+c)&&|\;\text{Zusammenfassen}\\9&=12a+4b+c-3a+2b-c&&|\;\text{Zusammenfassen}\\9&=9a+6b\end{align*}$

Als nächstes kannst du die Gleichung nach a umformen .

$\begin{align*}9&=9a+6b&&|\;-6b\\9-6b&=9a&&|\;:9\\1-\frac{2}{3}\cdot b&=a\end{align*}$

Das Ergebnis für a kannst du in die Gleichung II einsetzen .

$\begin{align*}0&=6\textcolor{red}{a}+2b&&|\;\textcolor{red}{a=1-\frac{2}{3}\cdot b}\text{ einsetzen}\\ 0&=6\cdot (\textcolor{red}{1-\frac{2}{3}\cdot\ b})+2b&&|\;\text{Zusammenfassen}\\0&=6-2b&&|\;+2b\\2b&=6&&|\;:2\\b&=3\end{align*}$

Mithilfe von b kannst du a ausrechnen.

$\begin{align*}\textcolor{red}{a}&=1-\frac{2}{3}\cdot \textcolor{olive}{b}&&|\;\textcolor{olive}{b=3}\text{ einsetzen}\\\textcolor{red}{a}&=1-\frac{2}{3}\cdot \textcolor{olive}{3}&&|\;\text{Zusammenfassen}\\\textcolor{red}{a}&\textcolor{red}{=-1}\end{align*}$

Die Werte für a und b kannst du jetzt in die Gleichung II einsetzen, um c auszurechnen.

$\begin{align*} 0&=3\textcolor{red}{a}-2\textcolor{olive}{b}+\textcolor{teal}{c} &&|\;\textcolor{red}{a=-1}\text{ und }\textcolor{olive}{b=3}\text{ einsetzen} \\ 0&=3\cdot \textcolor{red}{(-1)}-2\cdot \textcolor{olive}{3}+\textcolor{teal}{c} &&|\;\text{Zusammenfassen} \\ 0&=-9+\textcolor{teal}{c} &&|\;+9 \\ \textcolor{teal}{9}&=\textcolor{teal}{c} \end{align*}$

Jetzt, da du die Werte für a, b und c kennst, kannst du sie in die Gleichung I einsetzen, um d auszurechnen.

$\begin{align*}2&=-\textcolor{red}{a}+\textcolor{olive}{b}-\textcolor{teal}{c}+\textcolor{orange}{d}&&|\;\text{Werte einsetzen}\\2&=-\textcolor{red}{(-1)}+\textcolor{olive}{3}-\textcolor{teal}{9}+\textcolor{orange}{d}&&|\;\text{Zusammenfassen}\\2&=-5+\textcolor{orange}{d}&&|\;+5\\\textcolor{orange}{7}&\textcolor{orange}{=d}\end{align*}$

Dein LGS hat also die Lösungen a = -1, b = 3, c = 9 und d = 7.

4.Schritt: Rekonstruierte Funktion bestimmen

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(02:42)

Zum Schluss kannst du deine Ergebnisse nutzen, um die rekonstruierte Funktion zu bestimmen.

Erinnere dich: Für die Rekonstruktion von Funktionen 3. Grades, lautet deine allgemeine Funktionsgleichung:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Nun musst du noch die Werte a = -1, b = 3, c = 9 und d = 7 einsetzen.

f(x) = -x³ + 3x² + 9x + 7

Rekonstruktion von Funktionen — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie wähle ich die allgemeine Funktionsgleichung für die Rekonstruktion?

Die allgemeine Funktionsgleichung wird nach der geforderten Funktionsart und dem Grad gewählt. Bei einer ganzrationalen Funktion 3. Grades nutzt man und bildet dazu die Ableitungen und , um Extrem- und Wendebedingungen aufstellen zu können.
Was mache ich aus der Info „Der Graph geht durch den Punkt“?

Aus „Der Graph geht durch den Punkt “ wird die Gleichung . Das liefert eine Bedingung für die unbekannten Koeffizienten. Konkret bedeutet das: Geht der Graph durch , dann gilt .
Wie übersetze ich einen Extrempunkt in Gleichungen mit Ableitungen?

Ein Extrempunkt bei liefert zwei Gleichungen: und , weil die Tangente dort waagrecht ist. ist nur eine notwendige Bedingung – für einen echten Extrempunkt muss zusätzlich $f''(x_E) \neq 0$ gelten. Zum Beispiel bedeutet „Minimum im Punkt “: und .
Wie mache ich aus „Wendestelle bei x“ eine Gleichung?

Aus „Wendestelle bei “ wird die Gleichung , weil an der Wendestelle die Krümmung wechselt und die zweite Ableitung dort null ist. Beispiel: „Wendestelle bei “ ergibt .
Wie wird aus „Tangente mit Steigung m“ eine Gleichung?

„Tangente bei mit Steigung “ wird zu , weil die erste Ableitung die Tangentensteigung angibt. Konkret heißt „Tangente bei hat die Steigung “: .

Steckbriefaufgaben

Dir wird in Mathe neben der Rekonstruktion von Funktionen auch das Thema Steckbriefaufgaben begegnen. Das funktioniert zum Glück sehr ähnlich. Schaue dir am besten gleich unser Video dazu an!