Bei der Rekonstruktion von Funktionen musst du anhand von gegebenen Informationen eine ganzrationale Funktionsgleichung bestimmen. Dazu stellst du Gleichungen auf.

Funktionen rekonstruieren Vorgehen

Schreibe die allgemeine Funktionsgleichung (z. B. f(x)= ax³ + bx² + cx + d) deiner gesuchten Funktionsart auf. Bestimme auch ihre Ableitungen.
Übersetze die gegebenen Informationen (Nullstelle , Tangente , …) aus der Rekonstruktion in Mathe Gleichungen.
Stelle ein lineares Gleichungssystem (LGS) auf und löse es.
Bestimme deine rekonstruierte Funktion.

Rekonstruktion von Funktionen Aufgabe

im Videozur Stelle im Video springen

(00:16)

Schaue dir dazu mal die Rekonstruktion von Funktionen 3. Grades in einem Beispiel an.

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion

3. Grades
mit einem Extrempunkt bei (-1|2) und
einer Wendestelle bei x = 1.
Die Tangente bei x = 2 hat die Steigung m = 9.

1.Schritt: Allgemeine Funktionsgleichung und Ableitungen bestimmen

im Videozur Stelle im Video springen

(00:47)

Im ersten Schritt bestimmst du die allgemeine Funktionsgleichung, die du für deine rekonstruierte Funktion brauchst. Um dir später Zeit zu sparen, solltest du auch ihre ersten beiden Ableitungen bilden.

$\begin{align*}f(x)&=ax^3+bx^2+cx+d\\f'(x)&=3ax^2+2bx+c\\f''(x)&=6ax+2b\end{align*}$

2.Schritt: Informationen in Gleichungen übersetzen

im Videozur Stelle im Video springen

(01:20)

Im nächsten Schritt übersetzt du die gegebenen Informationen aus der Rekonstruktion in Mathe Gleichungen.

I Der Graph verläuft durch den Punkt (-1|2). → f(-1) = 2

$\begin{align*}f(-1)&=a\cdot {(-1)}^3+b\cdot (-1)^2+c\cdot (-1)+d=2\\f(-1)&=-a+b-c+d=2\end{align*}$

II Der Graph hat ein Minimum im Punkt (-1|2). → f'(-1) = 0

$\begin{align*}f'(-1)&=3a\cdot (-1)^2+2b\cdot (-1)+c=0\\f(-1)&=3a-2b+c=0\end{align*}$

III Der Graph hat eine Wendestelle bei x = 1. → f“(1) = 0

$\begin{align*}f''(1)&=6a\cdot 1+2b=0\\f''(1)&=6a+2b=0\end{align*}$

IV Die rekonstruierte Funktion hat eine Tangente bei x = 2 mit der Steigung m = 9. → f'(2) = 9

$\begin{align*}f'(2)&=3a\cdot 2^2+2b\cdot 2+c=9\\f'(2)&=12a+4b+c=9\end{align*}$

3.Schritt: Lineares Gleichungssystem (LGS)

im Videozur Stelle im Video springen

(02:17)

Mithilfe deiner Gleichungen kannst du jetzt ein lineares Gleichungssystem (LGS) aufstellen.

$\begin{align*}\text{I }&2=-a+b-c+d\\\text{II }&0=3a-2b+c\\\text{III }&0=6a+2b\\\text{IV }&9=12a+4b+c\end{align}$

Du hast nun verschiedene Methoden, um das LGS zu lösen:

Wenn du mit dem Additionsverfahren von Gleichung IV die Gleichung II subtrahierst, fällt das c weg:

$\begin{align*}9-0&=12a+4b+c-(3a-2b+c)\\9-0&=12a+4b+c-(3a-2b+c)&&|\;\text{Zusammenfassen}\\9&=12a+4b+c-3a+2b-c&&|\;\text{Zusammenfassen}\\9&=9a+6b\end{align*}$

Als nächstes kannst du die Gleichung nach a umformen .

$\begin{align*}9&=9a+6b&&|\;-6b\\9-6b&=9a&&|\;:9\\1-\frac{2}{3}\cdot b&=a\end{align*}$

Das Ergebnis für a kannst du in die Gleichung II einsetzen .

$\begin{align*}0&=6\textcolor{red}{a}+2b&&|\;\textcolor{red}{a=1-\frac{2}{3}\cdot b}\text{ einsetzen}\\ 0&=6\cdot (\textcolor{red}{1-\frac{2}{3}\cdot\ b})+2b&&|\;\text{Zusammenfassen}\\0&=6-2b&&|\;+2b\\2b&=6&&|\;:2\\b&=3\end{align*}$

Mithilfe von b kannst du a ausrechnen.

$\begin{align*}\textcolor{red}{a}&=1-\frac{2}{3}\cdot \textcolor{olive}{b}&&|\;\textcolor{olive}{b=3}\text{ einsetzen}\\\textcolor{red}{a}&=1-\frac{2}{3}\cdot \textcolor{olive}{3}&&|\;\text{Zusammenfassen}\\\textcolor{red}{a}&\textcolor{red}{=-1}\end{align*}$

Die Werte für a und b kannst du jetzt in die Gleichung II einsetzen, um c auszurechnen.

$\begin{align*} 0&=3\textcolor{red}{a}-2\textcolor{olive}{b}+\textcolor{teal}{c} &&|\;\textcolor{red}{a=-1}\text{ und }\textcolor{olive}{b=3}\text{ einsetzen} \\ 0&=3\cdot \textcolor{red}{(-1)}-2\cdot \textcolor{olive}{3}+\textcolor{teal}{c} &&|\;\text{Zusammenfassen} \\ 0&=-9+\textcolor{teal}{c} &&|\;+9 \\ \textcolor{teal}{9}&=\textcolor{teal}{c} \end{align*}$

Jetzt, da du die Werte für a, b und c kennst, kannst du sie in die Gleichung I einsetzen, um d auszurechnen.

$\begin{align*}2&=-\textcolor{red}{a}+\textcolor{olive}{b}-\textcolor{teal}{c}+\textcolor{orange}{d}&&|\;\text{Werte einsetzen}\\2&=-\textcolor{red}{(-1)}+\textcolor{olive}{3}-\textcolor{teal}{9}+\textcolor{orange}{d}&&|\;\text{Zusammenfassen}\\2&=-5+\textcolor{orange}{d}&&|\;+5\\\textcolor{orange}{7}&\textcolor{orange}{=d}\end{align*}$

Dein LGS hat also die Lösungen a = -1, b = 3, c = 9 und d = 7.

4.Schritt: Rekonstruierte Funktion bestimmen

im Videozur Stelle im Video springen

(02:42)

Zum Schluss kannst du deine Ergebnisse nutzen, um die rekonstruierte Funktion zu bestimmen.

Erinnere dich: Für die Rekonstruktion von Funktionen 3. Grades, lautet deine allgemeine Funktionsgleichung:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Nun musst du noch die Werte a = -1, b = 3, c = 9 und d = 7 einsetzen.

f(x) = -x³ + 3x² + 9x + 7

Steckbriefaufgaben

Dir wird in Mathe neben der Rekonstruktion von Funktionen auch das Thema Steckbriefaufgaben begegnen. Das funktioniert zum Glück sehr ähnlich. Schaue dir am besten gleich unser Video dazu an!

Rekonstruktion von Funktionen