Was ist die Nullstellenform bei einer quadratischen Funktion?

Die Nullstellenform ist eine Darstellungsform einer quadratischen Funktion, in der die Nullstellen direkt im Term sichtbar sind: . Dabei ist ein Faktor und , sind die (möglichen) Nullstellen der Parabel.

Wie lese ich die Nullstellen aus der Nullstellenform ab?

Du liest die Nullstellen ab, indem du jeden Klammerausdruck gleich 0 setzt. Dann übernimmst du die Zahl neben dem mit umgedrehtem Vorzeichen als Nullstelle. Zum Beispiel liefert die Nullstellen und .

Wann hat eine Parabel zwei Nullstellen?

Eine Parabel hat zwei Nullstellen, wenn ihr Graph die x-Achse in zwei verschiedenen Punkten schneidet. Dann gibt es zwei unterschiedliche Schnittpunkte mit der x-Achse und damit zwei verschiedene Werte und , für die gilt.

Wann hat eine Parabel eine doppelte Nullstelle?

Eine Parabel hat eine doppelte Nullstelle, wenn ihr Graph die x-Achse nicht schneidet, sondern nur berührt. Dann sind beide Nullstellen gleich, also , und in der Nullstellenform taucht derselbe Linearfaktor zweimal auf, zum Beispiel .

Wie komme ich von der Normalform zur Nullstellenform?

Von der Normalform zur Nullstellenform kommst du, indem du zuerst die Nullstellen berechnest, also die Gleichung löst, und die gefundenen Werte in einsetzt. Im Beispiel führt das zu .

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Nullstellenform

Wichtige Inhalte in diesem Video

Nullstellenform einer Parabel einfach erklärt

(00:12)

Nullstellenform — Anzahl der Nullstellen

(01:18)

Beispiel zur Bestimmung der Nullstellenform

(02:49)

Dich interessiert, was die Nullstellenform einer Parabel ist? Hier und im Video erklären wir dir, was das ist und was du damit machen kannst.

Inhaltsübersicht

Nullstellenform einer Parabel einfach erklärt

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(00:12)

Die Nullstellenform ist eine Möglichkeit, (quadratische) Funktionen darzustellen. Sie hat folgende Form:

f(x) = 2 • (x – 1) • (x + 2)

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In der Grafik kannst du die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse erkennen. Das sind die Nullstellen der Funktion. Aus der Funktion selber kannst du sie ablesen, indem du den Term in der Klammer nimmst und dir überlegst, was du einsetzen musst, damit er 0 wird. Dafür nimmst du die Zahl neben dem x und drehst ihr Vorzeichen um.

f(x) = 2 • (x – 1) • (x + 2)

Damit ergeben sich hier die Nullstellen x₁ = 1 und x₂= -2.

Darstellungsmöglichkeiten einer quadratischen Funktion

Die Nullstellenform ist nicht die einzige Form, in der man eine quadratische Funktion darstellen kann. Hier sind die weiteren Möglichkeiten:

Normalform: f(x) = a • x² + b • x + c
Scheitelpunktform: f(x) = a • (x – x_s)² + y_s
Nullstellenform: f(x) = a • (x – x₁) • (x – x₂)

Nullstellenform — Anzahl der Nullstellen

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(01:18)

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Eine quadratische Funktion kann unterschiedlich viele Nullstellen haben. In diesem Abschnitt bekommst du einen Überblick über die verschiedenen Möglichkeiten.

1. Fall: Zwei verschiedene Nullstellen

In der Grafik kannst du erkennen, dass die Parabel die x-Achse in zwei Punkten schneidet. Diese beiden Schnittpunkte sind die Nullstellen. Sie lauten: x₁ = -2 und x₂ = 1

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Wenn du nun die beiden Nullstellen in die Nullstellenform einsetzt, ergibt sich folgender Funktionsterm für a = 2:

f(x) = a • (x – x₁) • (x – x₂) = 2 • (x – (– 2)) • (x – 1) = 2 • (x + 2) • (x – 1)

2. Fall: Eine Nullstelle

Die nächste Grafik zeigt dir eine Funktion, deren Graph die x-Achse nicht schneidet, sondern nur berührt. Hier hat die Funktion dann eine doppelte Nullstelle. Es handelt sich also um eine Nullstelle mit zweifacher Vielfachheit. Das bedeutet: x₁ = x₂

Vielfachheit von Nullstellen

Die Vielfachheit von Nullstellen beschreibt, wie oft eine Funktion eine bestimmte Nullstelle besitzt.

Dies lässt sich anhand der Linearfaktorzerlegung der Funktion erkennen:

f(x) = a • (x – x_n) • (x – x_n-1) • … • (x – x₁)

Wenn derselbe Klammerausdruck (Linearfaktor) öfter in dieser Darstellung vorkommt, dann handelt es sich um eine mehrfache Nullstelle.

Wenn du nun die Nullstelle x₁ = x₂= 1 und a = 2 in die Nullstellenformel einsetzt, ergibt das die folgende Rechnung:

f(x) = a • (x – x₁) • (x – x₂) = 2 • (x – 1) • (x – 1) = 2 • (x – 1)²

3. Fall: Keine Nullstelle

Es kann sein, dass eine Funktion keine Nullstelle hat. Ein Beispiel dafür siehst du in der nächsten Grafik. Du kannst es daran erkennen, dass die Parabel keinen Schnitt- oder Berührpunkt mit der x-Achse hat. In diesem Fall gibt es dann auch keine Nullstellenform.

Beispiel zur Bestimmung der Nullstellenform

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(02:49)

Sieh dir nun in dem nächsten Beispiel einmal genauer an, wie du die Nullstellenform bestimmst.

Gegeben ist die Funktion f(x) = 2 • x² + 2 • x – 12

Damit du die Nullstellen einer Funktion f(x) bestimmen kannst, musst du herauszufinden, wann ihr Graph die x-Achse schneidet. Du willst also wissen, welche Werte du für x einsetzen kannst, damit f(x) gleich 0 ist. Also setzt du f(x)=0 und löst die Gleichung.

f(x) = 0

2 • x² + 2 • x – 12 = 0

Zur Bestimmung der Nullstellen brauchst du jetzt die Mitternachtsformel .

Mitternachtsformel:

Mit der Mitternachtsformel kannst du alle quadratischen Gleichungen lösen, die folgender Form entsprechen:

0 = a • x² + b • x + c

Du setzt einfach die Koeffizienten a, b und c in die unterhalb stehende Formel ein und berechnest den Wert für x₁ und x₂.

$x_{1,2} = \frac{-\textcolor{teal}{b} \pm \sqrt{\textcolor{teal}{b}^2 - 4 \cdot \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{c}}}{2 \cdot \textcolor{red}{a}}$

Setze zuerst die Koeffizienten a = 2, b = 2 und c = -12 in die Formel ein und berechne die Ergebnisse für x₁ und x₂:

$x_{1,2} = \frac{\textcolor{teal}{-2} \pm \sqrt{\textcolor{teal}{2}^2 - 4 \cdot \textcolor{red}{2} \cdot (\textcolor{blue}{-12})}}{2 \cdot \textcolor{red}{2}} = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{4} = \frac{-2 \pm 10}{4}$

Mit der Mitternachtsformel kannst du folgende Lösungen für f(x) = 0 berechnen:

x₁ = -3 x₂ = 2

Da du nun alle notwendigen Werte berechnet hast, kannst du sie jetzt in die Nullstellenform einsetzen.

a = 2 x₁ = -3 x₂ = 2

f(x) = 2 • (x – (-3)) • (x – 2) = 2 • (x + 3) • (x – 2)

Übrigens: Wenn der Term unter der Wurzel (Diskriminante ) bei der Mitternachtsformel 0 ergibt, dann tritt Fall 2 ein und du hast eine doppelte Nullstelle als Ergebnis (x₁ = x₂). Wenn der Term unter der Wurzel negativ wird, dann tritt Fall 3 ein und es gibt keine Nullstellenform.

Was kann ich aus der Nullstellenform ablesen?

Wenn du eine Funktion in der Nullstellenform gegeben hast, brauchst du ihre Nullstellen nicht mehr auszurechnen. Du kannst sie direkt ablesen. Aber wie funktioniert das?

f(x) = 2 • (x + 3) • (x – 2)

Um eine Nullstelle herauszufinden, nimmst du dir einen Klammerausdruck und setzt ihn gleich 0. So berechnest du, was du für x einsetzen musst, damit er 0 wird (Satz vom Nullprodukt ). Dafür nimmst du die Zahl neben dem x und drehst ihr Vorzeichen um. Diese Zahlen sind dann deine Ergebnisse für x₁ und x₂.

x + 3 = 0 ⇒ x₁ = -3

x – 2 = 0 ⇒ x₂ = 2

Umrechnung zwischen den Darstellungsformen

Du kannst eine Funktion in jeder der möglichen Darstellungsformen darstellen. Wie du zwischen den Formen wechseln kannst, zeigen wir dir in den nächsten Abschnitten.

Nullstellenform und Normalform:

Um von der Nullstellenform in die Normalform zu kommen, musst du die Nullstellenform ausmultiplizieren:

f(x) = (x – 2) • (x + 4) = x²+ 4 • x – 2 • x – 8 = x² + 2 • x – 8

Von der Normalform in die Nullstellenform kannst du wechseln, indem du die Nullstellen berechnest und in die Nullstellenform einsetzt. Orientieren kannst du dich an dem Absatz „Beispiel zur Bestimmung der Nullstellenform“ weiter oben im Beitrag.

Nullstellenform und Scheitelpunktform:

Um von der Nullstellenform zur Scheitelpunktform zu gelangen, kannst du nach folgendem Schema vorgehen:

Lies zuerst die Nullstellen aus der gegebenen Funktion ab:
f(x) = 2 • (x – 2) • (x – 4)
x₁ = 2 und x₂ = 4
Jetzt kannst du die x-Koordinate des Scheitelpunktes berechnen:
x_s = $\frac{\textcolor{magenta}{x_1} + \textcolor{olive}{x_2}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Da die Parabel achsensymmetrisch ist, ist die x-Koordinate des Scheitelpunkts genau zwischen den beiden Nullstellen.

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Scheitelpunkt berechnen
Wenn du jetzt das Ergebnis für x_s in die Funktion f(x) einsetzt, kannst du die y-Koordinate des Scheitelpunkts ausrechnen:
y_s = f(x_s) = 2 • (x_s – 2) • (x_s – 4) = 2 • (3 – 2) • (3 – 4) = 2 • 1 • (-1) = -2
Somit hast du die Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmt:
S(x_s|y_s) = S(3|-2)
Die Koordinaten kannst du letztendlich in die Formel für die Scheitelpunktform einsetzen:
f(x) = a • (x – x_s)² + y_s = 2 • (x – 3)² + (-2) = 2 • (x – 3)² – 2

Wenn du nun von der Scheitelpunktform zur Nullstellenform kommen willst, musst du die Scheitelpunktform gleich 0 setzen. So kannst du die Nullstellen ausrechnen, die du dann wieder in die Nullstellenform einsetzen kannst.

Nullstellenform — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was ist die Nullstellenform bei einer quadratischen Funktion?

Die Nullstellenform ist eine Darstellungsform einer quadratischen Funktion, in der die Nullstellen direkt im Term sichtbar sind: $f(x)=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2)$ . Dabei ist ein Faktor und , sind die (möglichen) Nullstellen der Parabel.
Wie lese ich die Nullstellen aus der Nullstellenform ab?

Du liest die Nullstellen ab, indem du jeden Klammerausdruck gleich 0 setzt. Dann übernimmst du die Zahl neben dem mit umgedrehtem Vorzeichen als Nullstelle. Zum Beispiel liefert $f(x)=2\cdot(x+3)\cdot(x-2)$ die Nullstellen und .
Wann hat eine Parabel zwei Nullstellen?

Eine Parabel hat zwei Nullstellen, wenn ihr Graph die x-Achse in zwei verschiedenen Punkten schneidet. Dann gibt es zwei unterschiedliche Schnittpunkte mit der x-Achse und damit zwei verschiedene Werte und , für die gilt.
Wann hat eine Parabel eine doppelte Nullstelle?

Eine Parabel hat eine doppelte Nullstelle, wenn ihr Graph die x-Achse nicht schneidet, sondern nur berührt. Dann sind beide Nullstellen gleich, also , und in der Nullstellenform taucht derselbe Linearfaktor zweimal auf, zum Beispiel $f(x)=2\cdot(x-1)^2$ .
Wie komme ich von der Normalform zur Nullstellenform?

Von der Normalform zur Nullstellenform kommst du, indem du zuerst die Nullstellen berechnest, also die Gleichung löst, und die gefundenen Werte in $f(x)=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2)$ einsetzt. Im Beispiel führt das zu $f(x)=2\cdot(x+3)\cdot(x-2)$ .

Normalform und Scheitelpunktform

Wenn du noch mehr über die verschiedenen Darstellungsformen von quadratischen Gleichungen erfahren willst, dann schau dir direkt das Video zu Normalform und Scheitelpunktform an!