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Formen von quadratischen Funktionen
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Nullstellenform einer Parabel einfach erklärt

Die Nullstellenform ist eine Möglichkeit (quadratische) Funktionen  darzustellen. Sie hat folgende Form:

f(x) = 2 • (x – 1) • (x + 2)

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Nullstellen einer quadratischen Funktion

In der Grafik kannst du die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse erkennen. Das sind die Nullstellen der Funktion. Aus der Funktion selber kannst du sie ablesen, indem du den Term in der Klammer nimmst und dir überlegst, was du einsetzen musst, damit er 0 wird. Dafür nimmst du die Zahl neben dem x und drehst ihr Vorzeichen um. 

f(x) = 2 • (x – 1) • (x + 2)

Damit ergeben sich hier die Nullstellen x1 = 1 und x2 = -2. 

Darstellungsmöglichkeiten einer quadratischen Funktion

Die Nullstellenform ist nicht die einzige Form, in der man eine quadratische Funktion darstellen kann. Hier sind die weiteren Möglichkeiten: 

  • Normalform: f(x) = a • x2 + b • x + c
  • Scheitelpunktform: f(x) = a • (x – xs)2 + ys
  • Nullstellenform: f(x) = a • (x – x1) • (x – x2)

Nullstellenform — Anzahl der Nullstellen 

Eine quadratische Funktion kann unterschiedlich viele Nullstellen haben. In diesem Abschnitt bekommst du einen Überblick über die verschiedenen Möglichkeiten.

1. Fall: Zwei verschiedene Nullstellen

In der Grafik kannst du erkennen, dass die Parabel die x-Achse in zwei Punkten schneidet. Diese beiden Schnittpunkte sind die Nullstellen. Sie lauten: x1 = -2 und x2 = 1 

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Funktion mit zwei verschiedenen Nullstellen

Wenn du nun die beiden Nullstellen in die Nullstellenform einsetzt, ergibt sich folgender Funktionsterm für a = 2:

f(x) = a • (x – x1) • (x – x2) = 2 • (x – (– 2)) • (x – 1) = 2 • (x + 2) • (x – 1)

2. Fall: Eine Nullstelle

Die nächste Grafik zeigt dir eine Funktion, deren Graph die x-Achse nicht schneidet, sondern nur berührt. Hier hat die Funktion dann eine doppelte Nullstelle. Es handelt sich also um eine  Nullstelle mit zweifacher Vielfachheit. Das bedeutet: x1 = x2 

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Funktion mit doppelter Nullstelle
Vielfachheit von Nullstellen

Die Vielfachheit von Nullstellen beschreibt, wie oft eine Funktion eine bestimmte Nullstelle besitzt. 

Dies lässt sich anhand der Linearfaktorzerlegung der Funktion  erkennen: 

f(x) = a • (x – xn) • (x – xn-1) • … • (x – x1

Wenn derselbe Klammerausdruck (Linearfaktor) öfter in dieser Darstellung vorkommt, dann handelt es sich um eine mehrfache Nullstelle

Wenn du nun die Nullstelle x1 = x= 1 und a = 2 in die Nullstellenformel einsetzt, ergibt das die folgende Rechnung:

f(x) = a • (x – x1) • (x – x2) = 2 • (x – 1) • (x – 1) = 2 • (x – 1)2

3. Fall: Keine Nullstelle

Es kann sein, dass eine Funktion keine Nullstelle hat. Ein Beispiel dafür siehst du in der nächsten Grafik. Du kannst es daran erkennen, dass die Parabel keinen Schnitt- oder Berührpunkt mit der x-Achse hat. In diesem Fall gibt es dann auch keine Nullstellenform.

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Funktion ohne Nullstelle

Beispiel zur Bestimmung der Nullstellenform

Sieh dir nun in dem nächsten Beispiel einmal genauer an, wie du die Nullstellenform bestimmst.

Gegeben ist die Funktion f(x) = 2 • x2 + 2 • x – 12

Damit du die Nullstellen einer Funktion f(x) bestimmen kannst, musst du herauszufinden, wann ihr Graph die x-Achse schneidet. Du willst also wissen, welche Werte du für x einsetzen kannst, damit f(x) gleich 0 ist. Also setzt du f(x)=0 und löst die Gleichung.

f(x) = 0  

2 • x2 + 2 • x – 12 = 0

Zur Bestimmung der Nullstellen brauchst du jetzt die Mitternachtsformel .

Mitternachtsformel:

Mit der Mitternachtsformel kannst du alle quadratischen Gleichungen lösen, die folgender Form entsprechen:

0 = a • x2 + b • x + c

Du setzt einfach die Koeffizienten a, b und c in die unterhalb stehende Formel ein und berechnest den Wert für x1 und x2

    \[x_{1,2} = \frac{-\textcolor{teal}{b} \pm \sqrt{\textcolor{teal}{b}^2 - 4 \cdot \textcolor{red}{a} \cdot \textcolor{blue}{c}}}{2 \cdot \textcolor{red}{a}}\]

Setze zuerst die Koeffizienten a = 2, b = 2 und c = -12 in die Formel ein und berechne die Ergebnisse für x1 und x2

x_{1,2} = \frac{\textcolor{teal}{-2} \pm \sqrt{\textcolor{teal}{2}^2 - 4 \cdot \textcolor{red}{2} \cdot (\textcolor{blue}{-12})}}{2 \cdot \textcolor{red}{2}} = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{4} = \frac{-2 \pm 10}{4}

Mit der Mitternachtsformel kannst du folgende Lösungen für f(x) = 0 berechnen:

x1 = -3    x2 = 2

Da du nun alle notwendigen Werte berechnet hast, kannst du sie jetzt in die Nullstellenform einsetzen.

a = 2     x1 = -3    x2 = 2 

f(x) = 2 • (x – (-3)) • (x – 2) = 2 • (x + 3) • (x – 2)

Übrigens: Wenn der Term unter der Wurzel (Diskriminante ) bei der Mitternachtsformel 0 ergibt, dann tritt Fall 2 ein und du hast eine doppelte Nullstelle als Ergebnis (x1 = x2). Wenn der Term unter der Wurzel negativ wird, dann tritt Fall 3 ein und es gibt keine Nullstellenform.

Was kann ich aus der Nullstellenform ablesen?

Wenn du eine Funktion in der Nullstellenform gegeben hast, brauchst du ihre Nullstellen nicht mehr auszurechnen. Du kannst sie direkt ablesen. Aber wie funktioniert das?

f(x) = 2 • (x + 3)(x – 2)

Um eine Nullstelle herauszufinden, nimmst du dir einen Klammerausdruck und setzt ihn gleich 0. So berechnest du, was du für x einsetzen musst, damit er 0 wird (Satz vom Nullprodukt ). Dafür nimmst du die Zahl neben dem x und drehst ihr Vorzeichen um. Diese Zahlen sind dann deine Ergebnisse für x1 und x2

x + 3 = 0 ⇒   x1 = -3

x – 2 = 0 ⇒  x2 = 2

Umrechnung zwischen den Darstellungsformen

Du kannst eine Funktion in jeder der möglichen Darstellungsformen darstellen. Wie du zwischen den Formen wechseln kannst, zeigen wir dir in den nächsten Abschnitten.

Nullstellenform und Normalform:

Um von der Nullstellenform in die Normalform zu kommen, musst du die Nullstellenform ausmultiplizieren

f(x) = (x – 2) • (x + 4) = x2+ 4 • x – 2 • x – 8 = x2 + 2 • x – 8

Von der Normalform in die Nullstellenform kannst du wechseln, indem du die Nullstellen berechnest und in die Nullstellenform einsetzt. Orientieren kannst du dich an dem Absatz „Beispiel zur Bestimmung der Nullstellenform“ weiter oben im Artikel. 

Nullstellenform und Scheitelpunktform:

Um von der Nullstellenform zur Scheitelpunktform zu gelangen, kannst du nach folgendem Schema vorgehen: 

  1. Lies zuerst die Nullstellen aus der gegebenen Funktion ab: 
    f(x) = 2 • (x – 2) • (x – 4)   
    x1 = 2 und x2 = 4

  2. Jetzt kannst du die x-Koordinate des Scheitelpunktes berechnen: 
    xs = \frac{\textcolor{magenta}{x_1} + \textcolor{olive}{x_2}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3
    Da die Parabel achsensymmetrisch  ist, ist die x-Koordinate des Scheitelpunkts genau zwischen den beiden Nullstellen.
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    Scheitelpunkt berechnen
  3. Wenn du jetzt das Ergebnis für xs in die Funktion f(x) einsetzt, kannst du die y-Koordinate des Scheitelpunkts ausrechnen:
    ys = f(xs) = 2 • (xs – 2) • (xs – 4) = 2 • (3 – 2) • (3 – 4) = 2 • 1 • (-1) = -2

  4. Somit hast du die Koordinaten des Scheitelpunktes bestimmt:
    S(xs|ys) = S(3|-2)

  5. Die Koordinaten kannst du letztendlich in die Formel für die Scheitelpunktform einsetzen:
    f(x) = a • (x – xs)2 + ys = 2 • (x – 3)2 + (-2) = 2 • (x – 3)2 – 2 
 

Wenn du nun von der Scheitelpunktform zur Nullstellenform kommen willst, musst du die Scheitelpunktform gleich 0 setzen. So kannst du die Nullstellen ausrechnen, die du dann wieder in die Nullstellenform einsetzen kannst.

Nullstellenform — häufigste Fragen

  • Was ist die Nullstellenform?
    Die Nullstellenform f(x) = a • (x – x1) • (x – x2) ist eine von drei Möglichkeiten zur Darstellung einer (quadratischen) Funktion, aus der man die Nullstellen ablesen kann. Weitere Möglichkeiten sind die Normalform und die Scheitelpunktform.

  • Wie viele Nullstellen hat eine Parabel?
    Die Anzahl der Nullstellen einer Parabel ist abhängig von ihrer Lage im Koordinatensystem. Wenn die Parabel die x-Achse schneidet, gibt es zwei Nullstellen. Berührt die Parabel die x-Achse, hat man eine doppelte Nullstelle und wenn die Parabel die x-Achse nicht berührt, hat man keine Nullstellen.

  • Was kann man von der Nullstellenform ablesen?
    Von der Nullstellenform f(x) = a • (x – x1) • (x – x2) kannst du ohne Rechnung die Nullstellen und ihre Position im Koordinatensystem ablesen.

Normalform und Scheitelpunktform

Wenn du noch mehr über die verschiedenen Darstellungsformen von quadratischen Gleichungen erfahren willst, dann schau dir direkt das Video zu Normalform und Scheitelpunktform an!

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