Funktionen
Polynome
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%Anzahl der Wörter: 700 WörterHier erfährst du, was mit Steckbriefaufgaben in Mathe gemeint ist und wie du sie löst. Schaue dir auch unser Video dazu an, wenn du das Thema besser verstehen willst.

Steckbriefaufgaben in Mathe einfach erklärt

Bei Steckbriefaufgaben musst du anhand von gegebenen Hinweisen ganzrationale Funktionen bestimmen.  Diese Hinweise sind Eigenschaften (z.B. allgemeine Funktionsgleichung, Nullstellen, Symmetrien) deiner gesuchten Funktion. Wie gehst du vor?

Ganzrationale Funktionen bestimmen

1. Schreibe die allgemeine Funktionsgleichung (z.B. f(x)=ax3+bx2+cx+d) deiner gesuchten Funktionsart auf. Notiere auch ihre Ableitungen!

2. Übersetze die gegeben Eigenschaften deiner Funktion (Symmetrie, Nullstelle ) in mathematische Gleichungen.

3. Stelle ein lineares Gleichungssystem (LGS) auf und löse es.

4. Schreibe die Funktionsgleichung auf. Überprüfe sie mit einer Probe.

Beispiele

Schaue dir das Vorgehen an zwei konkreten Beispielen an. In beiden musst du aus verschiedenen Bedingungen ganzrationale Funktionen bestimmen.

Beispiel 1

Bestimme

  • eine ganzrationale Funktion 3. Grades,
  • deren Graph durch den Ursprung verläuft,
  • einen Extrempunkt P(1|10) hat und
  • bei x=-1 eine Wendestelle besitzt.

1.Schritt: Schreibe die allgemeine Funktionsgleichung einer Funktion 3. Grades auf und bestimme ihre Ableitungen.

    \begin{align*} f(x)&=ax^3+bx^2+cx+d\\ f'(x)&=3ax^2+2bx+c\\ f''(x)&=6ax+2b\\ \end{align*}

2.Schritt: Übersetze die gegeben Eigenschaften in mathematische Gleichungen.

I Der Graph verläuft durch den Ursprung.

    \[f(0)=0\]

II Der Graph verläuft durch den Punkt P(1|10).

    \[f(1)=10\]

III Der Graph hat einen Extrempunkt bei P(1|10).

    \[f'(1)=0\]

IV Der Graph hat eine Wendestelle bei x=-1.

    \[f''(-1)=0\]

3.Schritt: Stelle ein LGS auf und löse es.

Zuerst notierst du die Bedingungen aus Schritt 2 als LGS.

    \begin{align*} \text{I }a\cdot0^3+b\cdot0^2+c\cdot0+d&=0\\ \text{II }a\cdot1^3+b\cdot1^2+c\cdot1+d&=10\\ \text{III }3a\cdot1^2+2b\cdot1+c&=0\\ \text{IV }6a\cdot(-1)+2b&=0\\ \end{align*}

Dieses LGS kannst du jetzt vereinfachen.

    \begin{align*} \text{I }d&=0\\ \text{II }a+b+c+d&=10\\ \text{III }3a\cdot1^2+2b\cdot1+c&=0\\ \text{IV }-6a+2b&=0\\ \end{align*}

Wenn du das LGS auflöst, erhältst du folgende Ergebnisse für a, b, c und d.

    \begin{align*} \text{a}&=-2\\ \text{b}&=-6\\ \text{c}&=18\\ \text{d}&=0 \end{align*}

4.Schritt: Schreibe die Funktionsgleichung auf und führe die Probe durch.

Wenn du die Ergebnisse aus Schritt 3 einsetzt, erhältst du die Funktion:

    \[f(x)=-2x^3-6x^2+18x\]

Du solltest deine Funktion mit einer Probe überprüfen. Das tust du, indem du schaust, ob deine Funktion tatsächlich die in den Steckbriefaufgaben vorgegebenen Bedingungen erfüllt.

I Verläuft der Graph durch durch den Ursprung? f(0)=0

    \[f(0)=-2\cdot0^3-6\cdot0^2+18\cdot0=0\checkmark\]

II Verläuft der Graph verläuft durch den Punkt P(1|10)? f(1)=10

    \[f(1)=-2\cdot1^3-6\cdot1^2+18\cdot1=10\checkmark\]

III Hat der Graph einen Extrempunkt bei P(1|10)? f'(1)=0

    \begin{align*}f'(x)&=-6x^2-12x+18\\ f'(1)&=-6\cdot1^2-12\cdot1+18=0\checkmark\end{align*}

IV Hat der Graph eine Wendestelle bei x=-1? f“(-1)=0

    \begin{align*}f''(x)&=-12x-12\\ f''(-1)&=-12\cdot(-1)+12=0\checkmark\end{align*}

Beispiel 2

Gesucht ist

  • eine ganzrationale Funktion dritten Grades,
  • deren Graph die x-Achse im Ursprung berührt.
  • Die Tangente im Punkt P(-2|1) verläuft parallel zur Geraden y=2x-2.

1.Schritt: Schreibe die allgemeine Form deiner gesuchten Funktion und ihre Ableitungen auf.

    \begin{align*} f(x)&=ax^3+bx^2+cx+d\\ f'(x)&=3ax^2+2bx+c\\ f''(x)&=6ax+2b\\ \end{align*}

2.Schritt: Übersetze die gegebenen Bedingungen in mathematische Gleichungen.

I Der Graph hat den Punkt P(0|0).

    \[f(0)=0\]

II Der Graph berührt die x-Achse im Ursprung.

    \[f'(0)=0\]

III Der Graph hat den Punkt P(-2|1).

    \[f(-2)=1\]

IV Die Tangente in P(-2|1) verläuft parallel zur Geraden y=2x-2.

    \[f'(-2)=2\]

3.Schritt: Stelle ein LGS auf und löse es.

    \begin{align*} \text{I }a\cdot0^3+b\cdot0^2+c\cdot0+d&=0\\ \text{II }3a\cdot0^2+2b\cdot0+c&=0\\ \text{III }a\cdot(-2)^3+b\cdot(-2)^2+c\cdot(-2)+d&=1\\ \text{IV }3a\cdot(-2)^2+2b\cdot(-2)+c&=2\\ \end{align*}

Dieses LGS kannst du jetzt vereinfachen.

    \begin{align*} \text{I }d&=0\\ \text{II }c&=0\\ \text{III }-8a+4b-2c+d&=1\\ \text{IV }12a-4b+c&=2\\ \end{align*}

Da d und c beide null sind, sind die Gleichungen I und II schon gelöst. Außerdem kannst du III und IV vereinfachen, indem du c=0 und d=0 in III und IV einsetzt.

    \begin{align*} \text{III }-8a+4b&=1\\ \text{IV }12a-4b&=2\\ \end{align*}

Wenn du das LGS auflöst, erhältst du folgende Ergebnisse für a, b, c und d.

    \begin{align*} \text{a}&=\frac{3}{4}\\ \text{b}&=\frac{7}{4}\\ \text{c}&=0\\ \text{d}&=0 \end{align*}

4.Schritt: Schreibe die Funktionsgleichung auf und führe die Probe durch!

    \[f(x)=\frac{3}{4}x^3+\frac{7}{4}x^2\]

I Hat der Graph den Punkt P(0|0)? f(0)=0

    \[f(0)=\frac{3}{4}\cdot0^3+\frac{7}{4}\cdot0^2=0\checkmark\]

II Berührt der Graph die x-Achse im Ursprung? f'(0)=0

    \begin{align*}f'(x)&=\frac{9}{4}x^2+\frac{7}{2}x\\ f'(0)&=\frac{9}{4}\cdot0^2+\frac{7}{2}\cdot0=0\checkmark\end{align*}

III Hat der Graph den Punkt P(-2|1)? f(-2)=1

    \[f(-2)=\frac{3}{4}\cdot(-2)^3+\frac{7}{4}\cdot(-2)^2=1\checkmark\]

IV Verläuft die Tangente in P(-2|1) parallel zur Geraden y=2x-2: f'(-2)=2?

    \[f'(-2)=\frac{9}{4}\cdot(-2)^2+\frac{7}{2}\cdot(-2)=2\checkmark\]

Steckbriefaufgaben: häufige Bedingungen

Wenn du zu Steckbriefaufgaben Übungen machst, werden bestimmte Fragestellungen immer wieder auftauchen.

Der Graph der Funktion … Bedingungen
… geht durch den Ursprung. f(0) = 0
… hat im Punkt P(2|4) … f(2)=4
… schneidet die y-Achse bei y=7. f(0)=7
… schneidet die x-Achse bei x=3. f(3)=0
… berührt die x-Achse bei bei x=3. f(3)=0 und f'(3)=0
… hat einen Extrempunkt (Minimum / Maximum) bei P(2|6). f(2)=6 und f'(2)=0
… ist bei x=4 parallel zur Tangenten y=2x+3. f'(4)=2
… hat bei x=-5 einen Wendepunkt. f“(-5)=0

Sonderfälle: Symmetrien

Wenn du bei Steckbriefaufgaben in Mathe ganzrationale Funktionen bestimmen musst, werden dir in den Steckbriefaufgaben-Übungen auch Achsensymmetrie und Punktsymmetrie begegnen.

Achsensymmetrie

Damit eine Funktion f achsensymmetrisch zur y-Achse ist, muss sie folgende Bedingung erfüllen:

    \[\textcolor{blue}{f(x)=f(-x)}\]

Es können also nur gerade Potenzen vorkommen!

    \begin{align*}f(x)&=ax^3+bx^2+cx+d\\ f(x)&=\textcolor{blue}{\cancel{ax^3}}+bx^2+\textcolor{blue}{\cancel{cx}}+d\\ f(x)&=bx^2+d\end{align*}

Punktsymmetrie

Damit eine Funktion f punktsymmetrisch zum Ursprung ist, muss folgende Bedingung gegeben sein: 

    \[\textcolor{orange}{-f(x)=f(-x)}\]

Es können also nur ungerade Potenzen vorkommen!

    \begin{align*}f(x)&=ax^3+bx^2+cx+d\\ f(x)&=ax^3+\textcolor{orange}{\cancel{bx^2}}+cx+\textcolor{orange}{\cancel{d}}\\ f(x)&=ax^3+cx\end{align*}

Kurvendiskussion Aufgaben

Kurvendiskussionen sind Steckbriefaufgaben in Mathe sehr ähnlich. Beim Steckbrief musst du anhand der Eigenschaften ganzrationale Funktionen bestimmen, während du bei der Kurvendiskussion von der Funktion auf die Eigenschaften schließt. Um auch fit in einer Kurvendiskussion zu sein, solltest du dir unbedingt unser Aufgabenvideo anschauen. 

Zum Video: Kurvendiskussion Aufgaben
Zum Video: Kurvendiskussion Aufgaben

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