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Eine lineare Interpolation kann ziemlich nützlich sein, falls du Funktionswerte annähern möchtest. Wie das funktioniert, lernst du in diesem Beitrag% und in unserem Video.

Lineare Interpolation einfach erklärt

Was ist Interpolation? Bei einer linearen Interpolation willst du Werte zwischen zwei Messpunkten approximieren (annähern). Dafür bildest du eine Gerade zwischen den zwei Punkten P1 und P2 und nimmst die Werte auf der Geraden als Annäherung. Mit der folgenden Formel ist das kein Problem:

Lineare Interpolation Formel

    \[\mathbf{y(x)=\textcolor{olive}{y_{1}}+\frac{\textcolor{blue}{y_{2}}-\textcolor{olive}{y_{1}}}{\textcolor{blue}{x_{2}}-\textcolor{olive}{x_{1}}}\cdot\left({x-\textcolor{olive}{x_{1}}}\right)}\]

Hier setzt du die x- und y-Koordinaten der beiden Punkte P1 (x1 | y1) bzw. P2 (x2 | y2) einfach ein.

Wie du siehst, handelt es sich hier nur um eine grobe Annäherung:

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Lineare Interpolation

Linear Interpolieren Beispiele

Am Besten schaust du dir ein paar Beispiele dazu an.

Beispiel 1:

Bestimme den y-Wert von x=1, wenn du linear interpolieren willst, und deine beiden Datenpunkte P1 (-1|4) und P2 (2|13) lauten.

Lösung:

Du kannst die Werte in die Formel einsetzen und erhältst schon den y-Wert. Für x1, x2, y1 und y2 nimmst du die Werte der gegebenen Punkte und für x setzt du 1 ein:

    \[y=\textcolor{blue}{y_{1}}+\frac{\textcolor{blue}{y_{2}}-\textcolor{blue}{y_{1}}}{\textcolor{blue}{x_{2}}-\textcolor{blue}{x_{1}}}\cdot\left({x-\textcolor{blue}{x_{1}}}\right)=\textcolor{blue}{4}+\frac{\textcolor{blue}{13}-\textcolor{blue}{4}}{\textcolor{blue}{2}-\left(\textcolor{blue}{-1}\right)}\cdot\left(1-\left(\textcolor{blue}{-1}\right)\right)=4+3\cdot2=4+6=10\]

Bei einer linearen Interpolation wäre also y gleich 10 an der Stelle x=1. 

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Lineare Interpolation Beispiel 1

Beispiel 2 (Funktionsaufgabe) :

Du kennst den ungefähren Verlauf einer Funktion, aber nicht deren Funktionsterm. Da du zwei Punkte erkennen kannst, möchtest du durch eine lineare Interpolation den Funktionswert zwischen den beiden Punkten bestimmen. Die Punkte lauten P1 (-2|-8) und P2 (2|8).

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unbekannte Funktion mit 2 gegebenen Punkten

Lösung:

Zuerst musst du diesmal den x-Wert, der in der Mitte liegt, bestimmen. Dafür addierst du die beiden x-Werte deiner Punkte und teilst diese durch 2:

    \[x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{-2+2}{2}=\frac{0}{2}=0\]

Jetzt kannst du wie im ersten Beispiel deine Werte in die Formel einsetzen und erhältst den angenäherten Funktionswert:

    \[y=\textcolor{blue}{y_{1}}+\frac{\textcolor{blue}{y_{2}}-\textcolor{blue}{y_{1}}}{\textcolor{blue}{x_{2}}-\textcolor{blue}{x_{1}}}\cdot\left({x-\textcolor{blue}{x_{1}}}\right)=\textcolor{blue}{-8}+\frac{\textcolor{blue}{8}-\left(\textcolor{blue}{-8}\right)}{\textcolor{blue}{2}-\left(\textcolor{blue}{-2}\right)}\cdot\left(0-\left(\textcolor{blue}{-2}\right)\right)=-8+\frac{16}{4}\cdot2=-8+8=0\]

Der approximierte (angenäherte) Funktionswert liegt also bei y gleich 0.

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Lineare interpolation Beispiel 2

Beispiel 3 (Transferaufgabe):

Eine Firma, die Duftkerzen verkauft, hat eine Studie durchgeführt: Es kam heraus, dass 1000 Personen die Duftkerzen kaufen, wenn sie 10 € kosten. Bei einem Preis von 20 € sind es nur noch 200 Personen. Die Firma will abschätzen, wie viele Personen ihre Duftkerzen bei einem Preis von 14 € kaufen würden. Dafür schlagen sie vor, eine lineare Interpolation durchzuführen und stellen dich als externen Berater ein. Du sollst also mit den gegebenen Werten linear interpolieren und die Anzahl der Käufer bei einem Preis von 14 € bestimmen.

Lösung:

Zuerst musst du mit den gegebenen Daten die zwei Punkte aufstellen. Da die Frage nach der Anzahl der Käufer ist, wählst du den Preis als deine x-Werte und die Käufermenge als y-Werte:

P1 (10|1000)                        P2 (20|200)

Für deinen x-Wert wählst du dann x gleich 14. Denn für 14 € suchst du ja den y-Wert. Dann kannst du deine Werte in die Formel für die lineare Interpolation einsetzen:

    \[y=\textcolor{blue}{y_{1}}+\frac{\textcolor{blue}{y_{2}}-\textcolor{blue}{y_{1}}}{\textcolor{blue}{x_{2}}}-\textcolor{blue}{x_{1}}}\cdot\left({x-\textcolor{blue}{x_{1}}}\right)=\textcolor{blue}{1000}+\frac{\textcolor{blue}{200}-\textcolor{blue}{1000}}{\textcolor{blue}{20}-\textcolor{blue}{10}}\cdot\left(14-\textcolor{blue}{10}\right)=1000+\frac{\left(-800\right)}{10}\cdot4=1000-320=680\]

Nach der linearen Interpolation müssten also 680 Personen die Duftkerze kaufen. Allerdings musst du hier vorsichtig sein, da nicht alles in Realität linear verläuft, weshalb das nur ein angenäherter Wert ist. Der Verlauf könnte viel kurvenreicher aussehen als der direkte Verlauf einer Geraden.

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Lineare Interpolation Beispiel 3

Lineare Interpolation Formel Herleitung

Wenn du zwei Punkte P (x1|y1) und P2 (x2 |y2) gegeben hast und eine lineare Funktion aufstellen willst, berechnest du zuerst die Steigung deiner Geradenvorlage:

    \[y=\textcolor{orange}{m}x+\textcolor{olive}{t}\]

    \[m=\frac{\textcolor{blue}{y_{2}}-\textcolor{blue}{y_{1}}}{\textcolor{blue}{x_{2}}-\textcolor{blue}{x_{1}}}\]

Anschließend kannst du den y-Achsenabschnitt bestimmen, indem du erstmal die Grundform deiner linearen Funktion aufstellst und danach P1 einsetzt:

    \[y=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\cdot{x}+t\]

Den Punkt P1 setzt du für die x- und y-Variable ein und erhältst:

    \[\textcolor{blue}{y_{1}}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\cdot{\textcolor{blue}{x_{1}}}+t\]

Wenn du deine Gleichung jetzt nach t auflöst, erhältst du deinen y-Achsenabschnitt:

    \begin{align*}y_{1}&=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\cdot{x_{1}}+\textcolor{olive}{t}\quad|-\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\cdot{x_{1}}\\ \textcolor{olive}{t}&=y_{1}-\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x{1}}\cdot{x_{1}}\end{align*}

Jetzt kannst du die lineare Funktion aufstellen, indem du die Steigung m und den y-Achsenabschnitt in deine Vorlage einsetzt:

    \[y=\textcolor{orange}{m}x+\textcolor{olive}{t}\]

    \[y=\textcolor{orange}{\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot{x}+\textcolor{olive}{y_{1}-\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\cdot{x_{1}}}\]

Wenn du die Gleichung noch etwas zusammenfasst, erhältst du die Formel für die lineare Interpolation: 

    \[\textcolor{red}{\mathbf{y=y_{1}+\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\cdot\left({x-x_{1}}\right)}}\]

 

Linearisierung

Ähnlich zur linearen Interpolation ist die Linearisierung . Schau dir doch direkt unser Video dazu an!%Thumnail-Verweis

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