Analysis

Partialbruchzerlegung

Du frägst dich, wann genau du jetzt eigentlich eine Partialbruchzerlegung anwendest und wie du dabei vorgehst? In diesem Beitrag bist du genau richtig. Wir geben dir ein Vorgehen zu ihrer Berechnung an, wobei auch die Fälle in den Fokus rücken, in denen das Nennerpolynom mehrfache und auch komplexe Nullstellen besitzt. Anhand von Beispielen führen wird das Verfahren dann durch und bestimmen auch ein Integral mithilfe der Partialbruchzerlegung.

Wie man eine Partialbruchzerlegung durchführt und auf was du achten musst, siehst du Schritt für Schritt in unserem Video . Hier haben wir alles kompakt und anschaulich für dich aufbereitet.

Inhaltsübersicht

Partialbruchzerlegung Erklärung

Merke
Die Partialbruchzerlegung oder Partialbruchentwicklung ist die Darstellung einer rationalen Funktion als Summe einer Polynomfunktion und Brüchen, welche als Nenner die Linearfaktoren des Nennerpolynoms der rationalen Funktion besitzen.

Bei r-fachen Nullstellen des Nennerpolynoms treten diese bis zur r-ten Potenz in der Zerlegung auf.

Partialbruchzerlegung Vorgehen

Um die Partialbruchzerlegung einer rationalen Funktion f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} zu bestimmen bietet sich folgendes schrittweises Vorgehen an:

  1. Polynomdivision durchführen (nur erforderlich, falls die Funktion f(x) unecht gebrochen ist)
  2. Nullstellen des Nenners bestimmen
  3. Zu jeder Nullstelle die Partialbrüche berechnen
  4. Ansatz für die Partialbruchzerlegung aufstellen
  5. Koeffizientenvergleich durchführen

Zu Schritt 1: Wenn der Grad des Zählerpolynoms u(x) größer ist als der Grad des Nennerpolynoms v(x), handelt es sich bei f(x) um eine unecht gebrochenrationale Funktion. Durch Polynomdivision lässt sich diese als Summe einer ganzrationalen und einer echt gebrochenrationalen Funktion schreiben. Letztere lässt sich dann mithilfe der Schritte 2 bis 5 in Partialbrüche zerlegen.

Zu Schritt 2: In diesem Schritt findet die Bestimmung der n verschiedenen Nullstellen x_i des Nennerpolynoms v(x) mit ihrer Vielfachheit r_i statt. Das heißt, es wird nach der Linearfaktorzerlegung v(x)=(x-x_1)^{r_1}\cdot (x-x_2)^{r_2}\cdot ... \cdot (x-x_n)^{r_n} gesucht. Hierbei können die Nullstellen auch komplex sein.

Zu Schritt 3: Für jede in Schritt 2 bestimmte Nullstelle müssen nun die passenden Partialbrüche bestimmt werden. Handelt es sich bei der Nullstelle x_i um eine einfache reelle Nullstelle, so ist ihr zugehöriger Partialbruch von der Form \frac{a_{i1}}{x-x_i}, wobei a_{i1} eine noch zu bestimmende Unbekannte darstellt. Doch x_i kann auch eine mehrfache oder gar komplexe Nullstelle sein. Dann sehen die Partialbrüche etwas anders aus.

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Partialbruchzerlegung doppelte Nullstelle

Ist x_i eine doppelte reelle Nullstelle, so gehört zu ihr die folgende Summe aus Partialbrüchen:

\frac{a_{i1}}{x-x_i}+\frac{a_{i2}}{(x-x_i)^2}

Allgemein gilt: Ist x_i eine r_i-fache reelle Nullstelle, so gehört zu ihr die folgende Summe aus Partialbrüchen:

\frac{a_{i1}}{x-x_i}+\frac{a_{i2}}{(x-x_i)^2}+...+\frac{a_{ir_i}}{(x-x_i)^{r_i}}

Partialbruchzerlegung komplex

Für eine echt komplexe Nullstelle x_i sieht der zugehörige Partialbruch nochmal etwas anders aus. Besitzt das Nennerpolynom nur reelle Koeffizienten, so ist auch das komplex konjugierte \overline{x_i} der echt komplexen Nullstelle x_i eine Nullstelle des Polynoms. Zu diesen beiden Nullstellen gehört ein gemeinsamer Partialbruch der Form:

\frac{a_{i1}x+b_{i1}}{(x-x_i)\cdot (x-\overline{x_i})}=\frac{a_{i1}x+b_{i1}}{x^2+p_i x+q_i}

Ist x_i und somit auch \overline{x_i} eine r_i-fache echt komplexe Nullstelle so gehört zu ihr die Summe folgender Partialbrüche:

\frac{a_{i1}x+b_{i1}}{x^2+p_i x+q_i}+\frac{a_{i2}x+b_{i2}}{(x^2+p_i x+q_i )^2}+...+\frac{a_{ir_i}x+b_{ir_i}}{(x^2+p_i x+q_i)^{r_i}}

Zu Schritt 4: Nun wird der Ansatz der Partialbruchzerlegung aufgestellt, indem die rationale Funktion f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} der Summe aus all den bestimmten Partialbrüchen gleichgesetzt wird. Allerdings besitzen diese Partialbrüche noch die Unbekannten a_{ij} und b_{ij}, welche es in Schritt 5 zu bestimmen gilt.

Zu Schritt 5: Die in Schritt 4 aufgestellte Gleichung wird nun auf beiden Seiten mit dem Nennerpolynom v(x) der rationalen Funktion f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} multipliziert. Auf der einen Seite bleibt dann nur noch das Zählerpolynom dieser Funktion stehen.

Auf der anderen Seite erhält man ebenfalls ein Polynom in x, da die Nenner der einzelnen Partialbrüche jeweils Faktoren des Polynoms v(x) sind, mit dem die Brüche multipliziert werden. Ordnet man das Polynom nach Potenzen von x, so kann man mittels Koeffizientenvergleich die Unbekannten a_{ij} und b_{ij} bestimmen.

Partialbruchzerlegung Aufgaben

Im Folgenden soll an einem Beispiel eine Partialbruchzerlegung durchgeführt werden und anschließend an einem anderen Beispiel gezeigt werden, wie die Partialbruchzerlegung zur Berechnung von Integralen nützlich sein kann.

Partialbruchzerlegung Beispiel

Es soll die Partialbruchzerlegung der rationalen Funktion f(x)=\frac{1}{x^3-x^2+x-1} bestimmt werden.

Hierzu werden die beschriebenen Schritte einzeln abgearbeitet.

Schritt 1 ist hinfällig, da es sich bereits um eine echt gebrochenrationale Funktion handelt.

In Schritt 2 erfolgt die Bestimmung der Nullstellen des Nenners v(x)=x^3-x^2+x-1. Durch Ausprobieren findet man die erste Nullstelle x_1=1. Nun kann mittels Polynomdivision der Linearfaktor (x-1) aus dem Polynom ausgeklammert werden und man erhält als anderen Faktor das Polynom x^2+1:

v(x)=x^3-x^2+x-1=(x-1)\cdot (x^2+1)

Mithilfe der Mitternachtsformel lassen sich dann die letzten beiden Nullstellen x_2=i und x_3=-i finden.

Nun, in Schritt 3, werden für diese Nullstellen die Partialbrüche bestimmt. Da es sich bei x_1=1 um eine einfache reelle Nullstelle handelt ist das zugehörige Polynom \frac{a_{11}}{x-1}:

x_1 \rightarrow \frac{a_{11}}{x-1}

Die beiden anderen Nullstellen sind einfach echt komplex und komplex konjugiert zueinander. Zu ihnen gehört demzufolge der gemeinsame Partialbruch \frac{a_{21}x+b_{21}}{(x-i)\cdot (x+i)}=\frac{a_{21}x+b_{21}}{x^2+1}:

x_2,x_3 \rightarrow \frac{a_{21}x+b_{21}}{x^2+1}

In Schritt 4 den Ansatz aufzustellen ist nun ein Leichtes:

\frac{1}{x^3-x^2+x-1}=\frac{a_{11}}{x-1}+\frac{a_{21}x+b_{21}}{x^2+1}

Durch Multiplikation der Gleichung in Schritt 5 mit dem Nennerpolynom v(x)=x^3-x^2+x-1=(x-1)\cdot (x^2+1) erhält man:

1=a_{11}\cdot (x^2+1)+ (a_{21}x+b_{21})\cdot (x-1)

Ausklammern und Umordnen ergibt:

1= a_{11} x^2+a_{11}+a_{21}x^2+b_{21}x-a_{21}x-b_{21}=(a_{11}+a_{21})x^2+(b_{21}-a_{21})x+(a_{11}-b_{21})

Der Koeffizientenvergleich liefert folgendes Gleichungssystem:

a_{11}+a_{21}=0

b_{21}-a_{21}=0

a_{11}-b_{21}=1

Die Lösung dieses Systems lautet: a_{11}=\frac{1}{2}, a_{21}=b_{21}=-\frac{1}{2}.

Somit besitzt die Partialbruchzerlegung der rationalen Funktion f(x)=\frac{1}{x^3-x^2+x-1} folgende Form:

\frac{1}{x^3-x^2+x-1}=\frac{\frac{1}{2}}{x-1}+\frac{-\frac{1}{2}x+-\frac{1}{2}}{x^2+1}

Integration durch Partialbruchzerlegung

Ist es das Ziel, die Stammfunktion einer rationalen Funktion zu finden, so kann es hilfreich sein, deren Partialbruchzerlegung zu betrachten. Dazu erfolgt eine Beispielrechnung anhand der Funktion f(x)=\frac{x+1}{x^2-3x+2}.

Die Nullstellen des Nennerpolynoms v(x)=x^2-3x+2 lassen sich mithilfe der Mitternachtsformel berechnen. Sie lauten x_1=1 und x_2=2. Da beides einfache reelle Nullstellen sind, sieht der Ansatz für die Partialbruchzerlegung folgendermaßen aus:

\frac{x+1}{x^2-3x+2}=\frac{a_{11}}{x-1}+\frac{a_{21}}{x-2}

Durch Multiplikation mit v(x)=x^2-3x+2 ergibt sich:

x+1=a_{11}\cdot (x-2)+a_{21}\cdot (x-1)

Nach Ausklammern und Umsortieren erhält man:

x+1=(a_{11}+a_{21})x-2a_{11}-a_{21}

Koeffizientenvergleich führt zu folgendem Gleichungssystem:

a_{11}+a_{21}=1

-2a_{11}-a_{21}=1

Als Lösung dieses Systems ergibt sich a_{11}=-2 und a_{21}=3.

Der Ansatz \frac{x+1}{x^2-3x+2}=\frac{a_{11}}{x-1}+\frac{a_{21}}{x-2} liese sich auch mithilfe der sogenannten Zuhaltemethode bestimmen, da das Nennerpolynom nur einfache Nullstellen besitzt. Dazu wird auf der linken Seite der Nenner in seine Linearfaktoren zerlegt:

\frac{x+1}{(x-1)(x-2)}=\frac{a_{11}}{x-1}+\frac{a_{21}}{x-2}

Anschließend wird einer der Faktoren zugehalten. Wird der Faktor (x-1) im Nenner der linken Seite zugehalten, so bleibt nur noch \frac{x+1}{(x-2)} sichtbar. Hierfür wird nun der Grenzwert für x\rightarrow 1 berechnet. Dieser entspricht dann der Unbekannten, die auf der rechten Seite über dem Nenner x-1 steht:

a_{11}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}{\frac{x+1}{(x-2)}}=-2

Analog gilt:

a_{21}=\lim\limits_{x\rightarrow 2}{\frac{x+1}{(x-1)}}=3

Somit lautet die Partialbruchzerlegung:

\frac{x+1}{x^2-3x+2}=\frac{-2}{x-1}+\frac{3}{x-2}

Nun lässt sich die Stammfunktion F(x) von f(x) ganz einfach berechnen:

F(x)=-2\cdot\ln{|x-1|}+3\cdot\ln{|x-2|}+\mathrm{const.}

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