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Zuordnungen
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Du fragst dich, was antiproportionale Zuordnungen sind? Dann bist du hier genau richtig! In unserem Video erklären wir dir alles, was im Umgang mit antiproportionalen Zuordnungen wichtig ist. 

Was ist eine antiproportionale Zuordnung?

Räumst du dein Zimmer mit deinen Eltern auf, bist du schneller fertig, als wenn du alleine ohne Hilfe aufräumst. Wächst eine Größe, hier die Anzahl der Aufräumer, verringert sich die andere Größe, die Aufräumzeit. Beide Größen entwickeln sich also gegenläufig. Bei einer solchen Entwicklung handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung. 

Bei antiproportionalen Zuordnungen kannst du dir also merken: Je größer die 1. Größe, desto kleiner die 2. Größe. 

Antiproportionale Zuordnung Beispiel

Am besten siehst du dir das an einem Beispiel an: Um 18 Wasserkästen alleine in den Keller zu tragen, benötigst du 18 Minuten. Wenn dir nun ein Freund dabei hilft, muss jeder von euch beiden nur neun Kästen tragen. Dafür braucht jeder neun Minuten. Alle Kästen sind also in nur neun Minuten herunter getragen. Verdoppelst du die Anzahl der Träger, halbiert sich die Zeit.

Und wenn ein weiterer Freund hinzustößt, muss jeder nur sechs Kästen tragen. Dafür braucht jeder sechs Minuten. Bei drei Leuten sind alle Kästen also in sechs Minuten getragen. Verdreifachst du die Anzahl der Träger, sind die Kästen in einem Drittel der Zeit getragen.

Anzahl Träger 1 2 3
Zeit Min 18 9 6

Die Größen entwickeln sich also gegenläufig. Eine solche Zuordnung nennst du antiproportionalindirekt proportional oder umgekehrt proportional.

Proportional und antiproportional

Doch wie genau unterscheiden sich nun Zuordnungen, die proportional und antiproportional sind?

Dass sich zwei Größen auch gleichmäßig entwickeln können, siehst du am folgenden Beispiel: Kaufst du vier Kästen Wasser, zahlst du zehn Euro. Entscheidest du dich, acht Kästen zu kaufen, zahlst du 20 Euro. Verdoppelst du die Menge, verdoppelt sich der Preis. Kaufst du nun 12 Kästen, also die dreifache Menge, zahlst du 30 Euro, sprich den dreifachen Preis. Beide Größen entwickeln sich also gleichmäßig. Damit handelt es sich um eine proportionale Zuordnung.

Anzahl Kästen 4 8 12
Preis in € 10  20  30

Ordne ein, ob es sich bei bei den folgenden Tabellen um eine proportionale oder antiproportionale Zuordnung handelt. Indem du die blauen Felder mit deiner Maus markierst, kannst du deine Angaben ganz leicht überprüfen.

Anzahl Nutzer 1 2 3 4
Kosten für jeden Nutzer 15 7,5 5 3,75

Lösung: antiproportional

Anzahl Stücke 1 2 3 4
Gesamtpreis € 90 180 270 360

Lösung: proportional

Um noch mehr über proportionale Zuordnungen zu erfahren, sieh dir unser Video dazu an!

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Antiproportionalitätsfaktor

Den Antiproportionalitätsfaktor berechnest du, indem du den Wert der 1. Größe (x) mit dem Wert der 2. Größe (y) multiplizierst. 

Antiproportionalitätsfaktor berechnen

Antiproportionalitätsfaktor = xy

Versuche dich gleich einmal am Wasserkästen-Beispiel. Du hast die folgende Tabelle erstellt:

Anzahl Träger 1 2 3
Zeit in min 18 9 6

Proportionalitätsfaktor bei einem Träger:

    \[\textnormal{Proportionalitätsfaktor} = \textcolor{blue}{1} \cdot \textcolor{red}{18} = 18 \]

Proportionalitätsfaktor bei zwei Trägern:

    \[\textnormal{Proportionalitätsfaktor} = \textcolor{blue}{2} \cdot \textcolor{red}{9} = 18 \]

Proportionalitätsfaktor bei drei Trägern:

    \[\textnormal{Proportionalitätsfaktor} = \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{red}{6} = 18 \]

Du siehst: Bei allen Wertepaaren erhältst du denselben Proportionalitätsfaktor. Damit handelt es sich um eine indirekt proportionale Zuordnung. Die Werte eines Paares sind also produktgleich.

Merke

Eine Zuordnung ist antiproportional, wenn die Wertepaare produktgleich sind.

Antiproportionale Zuordnung Darstellung

Wertetabelle:

Die Darstellung einer antiproportionalen Zuordnung als Wertetabelle ist dir bereits im Wasserkästen-Beispiel begegnet. In der ersten Zeile stehen die Werte der 1. Größe und in den zugehörigen Feldern der zweiten Zeile die Werte der 2. Größe.

Anzahl Träger (1. Größe) 1 2 3
Zeit Min (2. Größe) 18 9 6

Pfeildiagramm:

Eine Zuordnung kannst du auch mittels Pfeilen darstellen. Dafür schreibst du hinter den Wert der 1. Größe einen Pfeil und den zugeordneten Wert der 2. Größe.

    \[ 1 \longmapsto 18\]

    \[ 2 \longmapsto 9\]

    \[ 3 \longmapsto 6\]

Graph:

Du kannst antiproportionale Zuordnungen auch als Graph darstellen. Dafür ordnest du den Achsen die beiden Größen zu und trägst die Wertepaare ein. Die Anzahl der Träger hast du der Variablen x zugeordnet. Beim Einzeichnen orientierst du dich daher an der waagerechten x-Achse. Um die Dauer des Tragens einzuzeichnen, schaust du auf die senkrechte y-Achse. Nun kannst du die Wertepaare einzeichnen.

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Eingezeichnete Wertepaare

Das Verbinden der Punkte von antiproportionalen Zuordnungen ist nicht ganz einfach: Wenn eine Größe ganz klein ist, ist die andere ganz groß. 

Wenn 18 Träger helfen, sind die Kästen in 1 Minute getragen. Ist der x-Wert also besonders groß, wird der y-Wert sehr klein. Dann schmiegt sich der Graph rechts an die x-Achse. Du zeichnest ihn daher am rechten Ende sehr flach.

Genau so verhält sich der Graph nahe der y-Achse: Trägst du die Kästen alleine, dauert das besonders lang. Bei kleinen x-Werten sind die y-Werte also besonders groß. Deswegen schmiegt sich der Graph links an die y-Achse. Du zeichnest den Graphen daher links steil nach oben.

Den Graphen einer Zuordnung, die antiproportional ist, kannst du auch Hyperbel nennen.

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Hyperbel
Zuordnungsvorschrift:

Profis geben antiproportionale Zuordnungen gerne als Zuordnungsvorschriften an. Sie bildest du so: 

    \[\textnormal{Zuordnungsvorschrift:} \; y= \textnormal{Antiporportionalitätsfaktor} \cdot \frac{1}{x}\]

In der Wasserkasten-Aufgabe lautet die Zuordnungsvorschrift also:

    \[\textnormal{Zuordnungsvorschrift:} \; y = 18 \cdot \frac{1}{x}\]

Spitze, der Umgang mit antiproportionale Zuordnungen ist für dich jetzt kein Problem mehr!

Antiproportionaler Dreisatz

Du fragst dich, wie du bei antiproportionalen Zuordnungen einfach und schnell andere Werte berechnen kannst? Dafür eignet sich am besten der antiproportionale Dreisatz! Sieh dir gleich unseren Artikel dazu an. Bis gleich!

Zum Video: Antiproportionaler Dreisatz
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