Funktionen begegnen dir in Mathe andauernd. Aber was genau ist eigentlich eine Funktion? Das erfährst du hier im Artikel!
Eine Funktion f ist eine Beziehung zwischen zwei Mengen
— der Definitionsmenge () und der Wertemenge (
). Wichtig ist dabei, dass jedem Element x aus der Definitionsmenge (Argument) genau ein Element y aus der Wertemenge (Funktionswert) zugeordnet wird (z. B. x
y = 2 · x).
y bezeichnet also den Funktionswert an einer bestimmten Stelle x. Daher schreibst du statt y auch f(x). Oft stellst du eine Funktion f dann auch in einer Funktionsgleichung dar, wie etwa f(x) = 2 · x + 1.
Funktionen spielen nicht nur in Mathe eine Rolle, sondern sie begegnen dir auch im Alltag! Wusstest du, dass du es zum Beispiel beim Einkaufen mit einer Funktion zu tun hast?
Stell dir vor, du möchtest Brötchen kaufen. Der Preis f(x), den du zahlen musst, ist abhängig davon, wie viele Brötchen x du kaufen willst. Das kannst du mit einer mathematischen Funktion beschreiben. Wenn jedes Brötchen 1,50 € kostet, ist das die Funktion f(x) = 1,5 · x.
2 Brötchen kosten dann zum Beispiel 3 €, denn f(2) = 1,5 · 2 = 3. Für 3 Brötchen gilt f(3) = 1,5 · 3 = 4,5. Also musst du dafür 4,50 € bezahlen. Um den Preis zu berechnen, setzt du also einfach die Anzahl der Brötchen für das x in die Funktionsgleichung f(x) = 1,5 · x ein.
Eine gute Möglichkeit, diesen Zusammenhang von Anzahl und Preis darzustellen, ist eine Wertetabelle:
Anzahl x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Preis f(x) | 1,5 | 3 | 4,5 | 6 | 7,5 |
Du kannst mathematische Funktionen aber auch grafisch veranschaulichen. Mehr dazu erfährst du im nächsten Abschnitt!
Eine Funktion liefert dir also immer Paare aus einem Argument x und seinem zugehörigen Funktionswert y. Bei der Funktion y = f(x) = 2 · x + 1 bekommst du zum Beispiel das Paar (-1 | -1), denn y = f(-1) = 2 · (-1) + 1 = -1. Genauso bestimmst du auch die anderen Paare, wie (0,5 | 2) oder (2 | 5). Diese Paare (x | y) kannst du dann in ein Koordinatensystem einzeichnen.
Dazu suchst du auf der horizontalen x-Achse das Argument x (z. B. x = 2) und auf der vertikalen y-Achse den zugehörigen Funktionswert y = f(x) (hier: f(2) = 5). Ziehe nun gedanklich an der Stelle des x-Wertes eine Linie parallel zur y-Achse und an der Stelle des y-Wertes eine Linie parallel zur x-Achse. Dort, wo sich diese beiden Linien treffen, liegt der Punkt für das Wertepaar (x | y), hier also: (2 | 5).
Verbindest du die eingezeichneten Punkte, erhältst du einen Teil des Funktionsgraphen .
Du kannst einen Funktionsgraphen auch als die Menge der Paare (x, y) mit x aus der Definitionsmenge X und y aus der Wertemenge Y auffassen. Das ist dann eine Teilemenge des kartesischen Produktes X x Y := {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y}.
Übrigens: Bei einer Funktion darf jedes Argument nur einen Funktionswert haben. Umgekehrt kann ein Element aus der Wertemenge aber der Funktionswert von mehreren verschiedenen Argumenten sein. Falls tatsächlich auch jeder Funktionswert nur einmal auftaucht, nennst du die Funktion eineindeutig oder injektiv .
Super! Jetzt weißt du, worum es geht, wenn in Mathe von Funktionen die Rede ist. Als Beispiele hast du hier schon lineare Funktionen gesehen. Du möchtest diese Art von Funktionen genauer kennen lernen? Dann schau dir doch direkt unser Video dazu an!
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