Periodizität
Du willst wissen, was mit dem Begriff Periodizität gemeint ist? Hier und im Video erklären wir dir alles, was du dazu wissen musst.
Inhaltsübersicht
Periodizität einfach erklärt
Periodizität bedeutet, dass sich etwas im gleichen Abstand immer wieder wiederholt. Diesen Abstand nennst du auch Periode.
Die Sinusfunktion f(x) = sin(x) hat zum Beispiel bei den x-Werten 0, 2π, 4π und so weiter immer den gleichen Wert. Sie wiederholt sich also alle 2π.
Verschiebst du die Sinusfunktion in der Grafik nach links oder rechts um die Periode p = 2π, dann ist der Funktionswert für jedes x wieder derselbe wie davor. Genauso kannst du die Funktion auch um 2 oder 3 Perioden, also um 4π oder 6π, verschieben. Die Sinusfunktion sieht danach wieder genauso aus wie davor.
Die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus sind beide periodisch. Sie haben die Periode p = 2π. Verschiebst du sie um 2π nach links oder nach rechts, sehen sie wieder genauso aus wie davor. Du kannst sie deshalb auch verschiebungssymmetrisch nennen.
Periodizität — Formel
Wenn du den x-Wert einer periodischen Funktion um ihre Periode p nach rechts oder links verschiebst, hat die Funktion wieder denselben Funktionswert. Mathematisch kannst du das so darstellen:
f(x) = f(x + p)
Du prüfst mit dieser Gleichung, ob die Funktionswerte gleich bleiben, wenn du auf einer Seite die Periode p zu deinem x-Wert dazu rechnest.
Achtung: Beim Überprüfen der Periodizität einer Funktion reicht es nicht, nur einen x-Wert zu wählen. Die Gleichung muss für alle x-Werte gelten.
Periode Sinus — Beispiel
Die Sinusfunktion f(x) = sin(x) hat die Periode p = 2π. Um dir das zu verdeutlichen, kannst du für einige Funktionswerte die Formel für Periodizität überprüfen:
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Setze die Funktion f(x) und die Periode p in die Gleichung ein:
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Wähle einen x-Wert aus, zum Beispiel x = π, und setze ihn ebenfalls in die Gleichung ein:
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Berechne die Gleichung: Auf beiden Seiten der Gleichung kommt 0 raus. Der Funktionswert nach einer Verschiebung um p = 2π ist derselbe wie vor der Verschiebung.
Damit hast du gezeigt, dass die x-Werte π und 3π, die einen Abstand von p = 2π haben, denselben Funktionswert haben. Genauso kannst du das auch mit anderen x-Werten, wie x = 2π, x = -π oder x=0, machen. Setze zum Beispiel x = 0 ein und überprüfe die Gleichung:
Es ist egal, mit welchem x-Wert du das machst, es wird immer auf beiden Seiten das Gleiche rauskommen. Daran kannst du erkennen, dass die Periode der Sinusfunktion 2π ist.
Die Periode der Cosinusfunktion ist ebenfalls p = 2π. Das kannst du auf dieselbe Weise nachrechnen, wie bei der Sinusfunktion. Du musst nur f(x)= cos(x) setzen.
Periodenlänge berechnen — Beispiel
Da du nun die Periode der Sinusfunktion kennst, kannst du auch die Perioden von anderen Funktionen berechnen. Mit der Sinusfunktion lassen sich nämlich andere Funktionen zusammensetzen:
f(x) = a • sin(b • x)
Die Periode p kannst du für solche Funktionen dann folgendermaßen berechnen:
p = 
Schau dir das Berechnen der Periode p direkt an einem Beispiel an:
f(x) = 2 • sin(4x)
Das b ist in diesem Fall 4. Deshalb setzt du b = 4 in die Formel für p ein:
p = 
Zusammengesetzte Sinusfunktion — Beispiel
Funktionen können auch aus zwei Sinusfunktionen zusammengesetzt sein. Graphisch bedeutet das, dass sie sich überlagern. Das hat dann auch Auswirkungen auf die Periode der gesamten Funktion f(x).
f(x) = sin(2x) + 3 • sin(x)
1. Schritt: Berechne zuerst die Perioden p1 und p2 der einzelnen Sinusterme:
Übrigens: Du setzt b = 1, wenn vor dem x keine Zahl steht.
2. Schritt: Bestimme danach das Verhältnis p2 : p1:
p2 : p1 = 2π : π = 2 : 1
3. Schritt: Multipliziere dann entweder die 2 mit p1 oder die 1 mit p2:
2 • p1 oder 1 • p2
2 • π oder 1 • 2π
Die gemeinsame Periode dieser zusammengesetzten Sinusfunktion ist also: p = 2π
Periodizität — häufigste Fragen
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Was ist Periodizität?
Mit Periodizität beschreibt man einen Vorgang oder eine Sache, die regelmäßig im selben Zeitabstand erneut passiert. Aufgrund der Tatsache, dass sich dieser Vorgang wiederholt, wird diese Abfolge auch als Zyklus bezeichnet.
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Wie bestimmt man die Periodenlänge?
Die Periodenlänge kannst du entweder aus dem Graphen der Funktion direkt ablesen oder durch das Einsetzen in folgende Formel berechnen: p = 2 • π / b
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Was sind Beispiele für periodische Vorgänge?
Periodische Vorgänge sind zum Beispiel die Abwechslung von Tag und Nacht, Uhrzeiten, Wochentage, Jahreszeiten, Ebbe und Flut oder die Mondphasen. In deinem Körper selbst hast du auch periodische Vorgänge, zum Beispiel das Atmen oder deinen Puls.
Sinusfunktion
Prima! Jetzt weißt du, was Periodizität ist. Willst du dich noch einmal in das Thema Sinusfunktion einarbeiten? Dann schau dir direkt das Video dazu an.
