Proportionalität (Video)
Tauche ein in die Welt der Proportionalität! In diesem Video erklären wir dir einfach und verständlich, was Proportionalität bedeutet, wie du sie erkennst und praktisch anwendest.
VIDEOSKRIPT
Proportionalität kannst du in direkte und indirekte Proportionalität unterteilen. Alles wichtige dazu erfährst du jetzt. Also dranbleiben!
Proportionalität
Proportionalität beschreibt den Zusammenhang zwischen zwei Größen, wie zum Beispiel die Anzahl von Äpfeln und der Gesamtpreis an der Kasse. Wächst die eine Größe, also die Anzahl der Äpfel, dann wächst auch die andere Größe, also der Preis, um einen bestimmten Faktor. Dieser Zusammenhang ist eine direkte Proportionalität. Dabei bleibt der Faktor immer gleich: Wenn ein Apfel 50 Cent kostet, dann kosten zwei Äpfel 1 Euro und drei Äpfel kosten 1 Euro 50. Jeder weitere Apfel erhöht den Preis also um 50 Cent.
Genauso könnte eine Größe aber auch kleiner werden, wenn die andere größer wird. Teilst du 20 Äpfel auf 2 Personen auf, bekommt jeder 10. Teilst du sie aber auf 4 Personen auf, dann sind es 5 Äpfel pro Person. Die Anzahl an Personen steigt, aber die Anzahl an Äpfel pro Person sinkt. Der Zusammenhang zwischen Personen und Äpfel pro Person heißt indirekte Proportionalität.
Um den Unterschied zwischen direkter und indirekter Proportionalität genauer zu verstehen, sieh dir die beiden Arten nochmal genauer an.
Direkte Proportionalität
Bei der direkten Proportionalität gilt der Grundsatz: „Je mehr, desto mehr“ oder „Je weniger, desto weniger“.
Stell dir vor in einer Pizzeria kostet eine Pizza 10 Euro. Bestellst du 5 Pizzen, zahlst du 50 Euro. Für 6 Pizzen wären es 60 Euro. Hier gilt: Je mehr Pizzen du bestellst, desto mehr musst du bezahlen. Der Zusammenhang zwischen der Anzahl der Pizzen und Gesamtpreis ist also direkt proportional.
Aufschreiben kannst du das mit diesem Zeichen:
Anzahl der Pizzen ~ Preis der Pizzen
Bei Größen, die direkt proportional zueinander sind, kannst du außerdem aus jedem Wertepaar weitere Werte berechnen. Dazu brauchst du den Dreisatz. Weißt du zum Beispiel, dass 5 Pizzen 50 Euro kosten, kannst du in drei Schritten den Preis für 7 Pizzen berechnen.
Ein Bild, das Text enthält.
Automatisch generierte Beschreibung
Als erstes musst du den Preis für eine Pizza bestimmen, indem du die 50 Euro geteilt durch 5 rechnest. Als Ergebnis bekommst du 10 Euro für eine Pizza raus. Um jetzt den Preis für 7 Pizzen berechnen zu können, multiplizierst du den Preis für eine Pizza mit 7. 10 mal 7 ist gleich 70 Euro. 7 Pizzen kosten also insgesamt 70 Euro.
Prima! Du hast den Dreisatz erfolgreich angewendet.
Proportionalitätsfaktor
Das Verhältnis der Größen Pizzapreis und Pizzenanzahl lässt sich auch mit einer Zahl beschreiben, dem sogenannten Proportionalitätsfaktor. Um ihn zu berechnen, teilst du die zugeordnete Größe durch die Grundgröße. Die 50 Euro sind hier die zugeordnete Größe und die Pizzenanzahl die Grundgröße. Du rechnest also 50 geteilt durch 5 und erhältst 10.
𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑡𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑡ä𝑡𝑠𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟= 505=10 €/𝑃𝑖𝑧𝑧𝑎
Es ist egal, welches Wertepaar du zum Berechnen des Proportionalitätsfaktor nimmst. Bei der direkten Proportionalität sind die Größen nämlich quotientengleich. Das heißt, wenn du die Werte eines Wertepaars durch einander teilst, kommt dabei immer dasselbe Ergebnis raus. Teilst du zum Beispiel die 70 Euro durch die Anzahl der 7 Pizzen kommt wieder 10 heraus.
𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑡𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑡ä𝑡𝑠𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟= 707=10 €/𝑃𝑖𝑧𝑧𝑎
Super, jetzt kennst du dich mit direkter Proportionalität aus.
Indirekte Proportionalität
Aber wie funktioniert das Ganze bei der indirekten Proportionalität? Hier gilt der Grundsatz: „Je mehr, desto weniger“ oder „Je weniger, desto mehr“. Schau dir auch dafür ein Beispiel an.
Dieselbe Pizzeria liefert auch Pizzen aus. Aktuell haben sie nur einen Lieferer, der 20 Pizzen am Abend ausliefern muss. Hätten sie einen zweiten eingestellt, dann hätte jeder nur 10 Pizzen auszuliefern. Würde die Pizzeria sogar doppelt so viele Auslieferer einstellen, also 4, dann wären es nur noch 5 Pizzen pro Person.
Es gilt also: Je mehr Auslieferer es gibt, desto weniger Pizzen muss jeder liefern. Das heißt, du hast hier indirekte Proportionalität.
Bildest du dabei das Produkt a aus zwei Werten, die zusammengehören, bekommst du immer den gleichen Wert raus.
Rechnest du bei diesem Beispiel einen Auslieferer mal 20 Pizzen ist das gleich 20. Das gleiche Ergebnis erhältst du auch bei 2 Auslieferern mal 10 Pizzen und ebenso bei 4 Auslieferern mal 5 Pizzen.
1 𝐴𝑢𝑠𝑙𝑖𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑟 ∙20 𝑃𝑖𝑧𝑧𝑒𝑛=20
2 𝐴𝑢𝑠𝑙𝑖𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑟 ∙10 𝑃𝑖𝑧𝑧𝑒𝑛=20
4 𝐴𝑢𝑠𝑙𝑖𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑟 ∙5 𝑃𝑖𝑧𝑧𝑒𝑛=20
Dieses Produkt a ist der Proportionalitätsfaktor für die indirekte Proportionalität. In dem Beispiel wäre er also 20.
𝑊𝑒𝑟𝑡 1 ∙𝑊𝑒𝑟𝑡 2=𝑎
Outro
Prima! Jetzt weißt du auch, was indirekte Proportionalität ist. Außerdem hast du gesehen, dass beim Berechnen von proportionalen Werten der Dreisatz sehr nützlich sein kann. Willst du ihn noch einmal wiederholen? Dann schau direkt im Video dazu rein.