Was bedeutet Periodizität bei einer Funktion?

Periodizität bei einer Funktion bedeutet, dass sich die Funktionswerte in einem festen Abstand immer wiederholen. Dieser feste Abstand heißt Periode. Anschaulich sieht der Graph nach einer Verschiebung um genau diesen Abstand nach links oder rechts wieder genauso aus.

Was genau ist die Periode p bei einer Funktion?

Die Periode p ist der Abstand, nach dem eine periodische Funktion wieder dieselben Funktionswerte annimmt. Das heißt: Verschiebt man den x-Wert um p, bleibt der Funktionswert gleich. Bei der Sinusfunktion gilt zum Beispiel , weil sich die Werte alle wiederholen.

Wie prüfe ich mit f(x) gleich f(x plus p), ob eine Funktion periodisch ist?

Mit prüfst du Periodizität, indem du kontrollierst, ob die Funktionswerte nach einer Verschiebung um p gleich bleiben. Setze dazu die Funktion in die Gleichung ein und überprüfe sie. Beispiel: Für und gilt .

Warum reicht ein einzelner x-Wert nicht zum Prüfen der Periodizität?

Ein einzelner x-Wert reicht nicht, weil Periodizität nur vorliegt, wenn für alle x-Werte gilt. Dass die Gleichung zufällig für einen bestimmten x-Wert stimmt, beweist noch keine Wiederholung der ganzen Funktion. Deshalb muss die Bedingung allgemein erfüllt sein.

Wie berechne ich die Periode bei a mal sin(b mal x)?

Bei Funktionen der Form berechnest du die Periode mit . Dabei bestimmt b die Periodenlänge, a ändert nur die Höhe der Ausschläge. Beispiel: Bei ist .

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Periodizität

Wichtige Inhalte in diesem Video

Periodizität einfach erklärt

(00:14)

Periodizität — Formel

(01:50)

Periode Sinus — Beispiel

(02:21)

Periodenlänge berechnen — Beispiel

(03:17)

Du willst wissen, was mit dem Begriff Periodizität gemeint ist? Hier und im Video erklären wir dir alles, was du dazu wissen musst.

Inhaltsübersicht

Periodizität einfach erklärt

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(00:14)

Periodizität bedeutet, dass sich etwas im gleichen Abstand immer wieder wiederholt. Diesen Abstand nennst du auch Periode.

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Die Sinusfunktion f(x) = sin(x) hat zum Beispiel bei den x-Werten 0, 2π, 4π und so weiter immer den gleichen Wert. Sie wiederholt sich also alle 2π.

Verschiebst du die Sinusfunktion in der Grafik nach links oder rechts um die Periode p = 2π, dann ist der Funktionswert für jedes x wieder derselbe wie davor. Genauso kannst du die Funktion auch um 2 oder 3 Perioden, also um 4π oder 6π, verschieben. Die Sinusfunktion sieht danach wieder genauso aus wie davor.

Trigonometrische Funktionen

Die trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus sind beide periodisch. Sie haben die Periode p = 2π. Verschiebst du sie um 2π nach links oder nach rechts, sehen sie wieder genauso aus wie davor. Du kannst sie deshalb auch verschiebungssymmetrisch nennen.

Periodizität — Formel

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(01:50)

Wenn du den x-Wert einer periodischen Funktion um ihre Periode p nach rechts oder links verschiebst, hat die Funktion wieder denselben Funktionswert. Mathematisch kannst du das so darstellen:

f(x) = f(x + p)

Du prüfst mit dieser Gleichung, ob die Funktionswerte gleich bleiben, wenn du auf einer Seite die Periode p zu deinem x-Wert dazu rechnest.

Achtung: Beim Überprüfen der Periodizität einer Funktion reicht es nicht, nur einen x-Wert zu wählen. Die Gleichung muss für alle x-Werte gelten.

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Periode Sinus — Beispiel

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(02:21)

Die Sinusfunktion f(x) = sin(x) hat die Periode p = 2π. Um dir das zu verdeutlichen, kannst du für einige Funktionswerte die Formel für Periodizität überprüfen:

Setze die Funktion f(x) und die Periode p in die Gleichung ein:

$\begin{align*} f(x) &= f(x + \textcolor{red}{p}) \\ sin(x) &= sin(x + \textcolor{red}{p}) \\ sin(x) &= sin(x + \textcolor{red}{2\pi}) \end{align*}$
Wähle einen x-Wert aus, zum Beispiel x = π, und setze ihn ebenfalls in die Gleichung ein:

$\begin{align*} sin(\textcolor{blue}{\pi}) &= sin(\textcolor{blue}{\pi} + \textcolor{red}{2\pi}) \\ sin(\pi) &= sin(3\pi) \end{align*}$
Berechne die Gleichung: Auf beiden Seiten der Gleichung kommt 0 raus. Der Funktionswert nach einer Verschiebung um p = 2π ist derselbe wie vor der Verschiebung.

$\begin{align*} sin(\pi) &= sin(3\pi) \\ 0 &=0\end{align*}$

Damit hast du gezeigt, dass die x-Werte π und 3π, die einen Abstand von p = 2π haben, denselben Funktionswert haben. Genauso kannst du das auch mit anderen x-Werten, wie x = 2π, x = -π oder x=0, machen. Setze zum Beispiel x = 0 ein und überprüfe die Gleichung:

$\begin{align*} sin(0) &= sin(0 + \textcolor{red}{2\pi}) \\ sin(0) &= sin(2\pi) \\ 0 &= 0 \end{align*}$

Es ist egal, mit welchem x-Wert du das machst, es wird immer auf beiden Seiten das Gleiche rauskommen. Daran kannst du erkennen, dass die Periode der Sinusfunktion 2π ist.

Periode Cosinus

Die Periode der Cosinusfunktion ist ebenfalls p = 2π. Das kannst du auf dieselbe Weise nachrechnen, wie bei der Sinusfunktion. Du musst nur f(x)= cos(x) setzen.

Periodenlänge berechnen — Beispiel

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(03:17)

Da du nun die Periode der Sinusfunktion kennst, kannst du auch die Perioden von anderen Funktionen berechnen. Mit der Sinusfunktion lassen sich nämlich andere Funktionen zusammensetzen:

f(x) = a • sin(b • x)

Die Periode p kannst du für solche Funktionen dann folgendermaßen berechnen:

p = $\frac{2 \cdot \pi}{\textcolor{teal}{b}}$

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Schau dir das Berechnen der Periode p direkt an einem Beispiel an:

f(x) = 2 • sin(4x)

Das b ist in diesem Fall 4. Deshalb setzt du b = 4 in die Formel für p ein:

p = $\frac{2 \cdot \pi}{\textcolor{teal}{4}} = \frac{1 \cdot \pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

Zusammengesetzte Sinusfunktion — Beispiel

Funktionen können auch aus zwei Sinusfunktionen zusammengesetzt sein. Graphisch bedeutet das, dass sie sich überlagern. Das hat dann auch Auswirkungen auf die Periode der gesamten Funktion f(x).

f(x) = sin(2x) + 3 • sin(x)

1. Schritt: Berechne zuerst die Perioden p₁ und p₂ der einzelnen Sinusterme:

$\textcolor{red}{p_1} = \frac{2 \cdot \pi}{\textcolor{teal}{b_1}} = \frac{2 \cdot \pi}{\textcolor{teal}{2}} = \pi$

$\textcolor{red}{p_2} = \frac{2 \cdot \pi}{\textcolor{teal}{b_2}} = \frac{2 \cdot \pi}{\textcolor{teal}{1}} = 2\pi}$

Übrigens: Du setzt b = 1, wenn vor dem x keine Zahl steht.

2. Schritt: Bestimme danach das Verhältnis p₂: p₁:

p₂ : p₁ = 2π : π = 2 : 1

3. Schritt: Multipliziere dann entweder die 2 mit p₁ oder die 1 mit p₂:

2 • p₁ oder 1 • p₂

2 • π oder 1 • 2π

Die gemeinsame Periode dieser zusammengesetzten Sinusfunktion ist also: p = 2π

Periodizität — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was bedeutet Periodizität bei einer Funktion?

Periodizität bei einer Funktion bedeutet, dass sich die Funktionswerte in einem festen Abstand immer wiederholen. Dieser feste Abstand heißt Periode. Anschaulich sieht der Graph nach einer Verschiebung um genau diesen Abstand nach links oder rechts wieder genauso aus.
Was genau ist die Periode p bei einer Funktion?

Die Periode p ist der Abstand, nach dem eine periodische Funktion wieder dieselben Funktionswerte annimmt. Das heißt: Verschiebt man den x-Wert um p, bleibt der Funktionswert gleich. Bei der Sinusfunktion gilt zum Beispiel $p = 2\pi$ , weil sich die Werte alle $2\pi$ wiederholen.
Wie prüfe ich mit f(x) gleich f(x plus p), ob eine Funktion periodisch ist?

Mit prüfst du Periodizität, indem du kontrollierst, ob die Funktionswerte nach einer Verschiebung um p gleich bleiben. Setze dazu die Funktion in die Gleichung ein und überprüfe sie. Beispiel: Für $f(x)=\sin(x)$ und $p=2\pi$ gilt $\sin(\pi)=\sin(\pi+2\pi)=\sin(3\pi)$ .
Warum reicht ein einzelner x-Wert nicht zum Prüfen der Periodizität?

Ein einzelner x-Wert reicht nicht, weil Periodizität nur vorliegt, wenn für alle x-Werte gilt. Dass die Gleichung zufällig für einen bestimmten x-Wert stimmt, beweist noch keine Wiederholung der ganzen Funktion. Deshalb muss die Bedingung allgemein erfüllt sein.
Wie berechne ich die Periode bei a mal sin(b mal x)?

Bei Funktionen der Form $f(x)=a\cdot\sin(b\cdot x)$ berechnest du die Periode mit $p=\frac{2\cdot\pi}{b}$ . Dabei bestimmt b die Periodenlänge, a ändert nur die Höhe der Ausschläge. Beispiel: Bei $f(x)=2\cdot\sin(4x)$ ist $p=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$ .

Sinusfunktion

Prima! Jetzt weißt du, was Periodizität ist. Willst du dich noch einmal in das Thema Sinusfunktion einarbeiten? Dann schau dir direkt das Video dazu an.