Wie erkenne ich, ob eine Funktion keinen Schnittpunkt mit der x-Achse hat?

Eine Funktion hat keinen Schnittpunkt mit der x-Achse, wenn die Gleichung keine reelle Lösung besitzt. Dann gibt es keinen -Wert, bei dem der Funktionswert 0 wird. Bei einer Parabel erkennt man das zum Beispiel daran, dass die Diskriminante negativ ist.

Welche Fehler passieren oft, wenn ich Nullstellen ausrechne?

Häufige Fehler beim Nullstellenberechnen sind: nicht wirklich gleich 0 setzen, Vorzeichenfehler beim Umformen und falsches Auflösen nach (zum Beispiel nicht beide Seiten durch denselben Faktor teilen). Beispiel: Aus wird fälschlich und dann statt korrekt .

Wie finde ich alle Schnittpunkte mit der x-Achse bei einer Parabel?

Alle Schnittpunkte einer Parabel mit der x-Achse findest du, indem du setzt und die quadratische Gleichung löst. Je nach Parabel gibt es zwei, eine oder keine reelle Lösung. Zum Beispiel liefert die Lösungen und , also die Punkte und .

Wann ist der y-Achsenabschnitt nicht einfach die Zahl am Ende?

Der y-Achsenabschnitt ist nicht einfach „die Zahl am Ende“, wenn die Funktion nicht in der Form oder allgemein als Polynom in absteigenden Potenzen geschrieben ist. Dann muss der y-Achsenabschnitt immer über berechnet werden, also durch Einsetzen von .

Warum kann eine Funktion nur einen Schnittpunkt mit der y-Achse haben?

Eine Funktion kann nur einen Schnittpunkt mit der y-Achse haben, weil die y-Achse genau die Stelle beschreibt und eine Funktion jedem genau einen -Wert zuordnet. Deshalb gibt es zu höchstens einen Punkt . Ist nicht definiert, gibt es keinen Schnittpunkt.

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Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Wichtige Inhalte in diesem Video

Schnittpunkt mit der x-Achse

(00:13)

Schnittpunkt mit der y-Achse

(01:09)

Expertenwissen

(02:16)

Eine Funktion schneidet die x-Achse und die y-Achse. Du willst wissen, wie du die Schnittpunkte mit Koordinatenachsen berechnest? Hier und im Video zeigen wir dir, wie das funktioniert.

Inhaltsübersicht

Schnittpunkt mit Koordinatenachsen einfach erklärt

Die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen einer Funktion berechnest du, indem du entweder die Variable x oder die Variable y durch eine 0 ersetzt. Sie dir zum Beispiel die Gerade y = x + 1 an.

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Um den Schnittpunkt mit der x-Achse zu berechnen, setzt du für y eine 0 in die Geradengleichung ein und löst sie nach x auf: 0 = x + 1 ⇔ x = -1

Die Koordinaten des Schnittpunktes sind dann: S_x(-1|0)

Für den Schnittpunkt mit der y-Achse musst du für x eine 0 einsetzen und den Wert für y berechnen: y = x + 1 = 0 + 1 = 1

Also sind Koordinaten des Schnittpunktes: S_y(0|1)

Schnittpunkt mit der x-Achse

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(00:13)

Der x-Wert des Schnittpunkts mit der x-Achse entspricht der Nullstelle einer Funktion. Du berechnest sie, indem du die Funktion y = 0 setzt. Als Ergebnis erhältst du die x-Koordinate des Schnittpunktes. Die y-Koordinate ist beim Schnittpunkt mit der x-Achse immer 0.

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Beispiel

Berechne den Schnittpunkt der linearen Funktion y = 0,5x – 2,5 mit der x-Achse.

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Setze dafür die Funktion y = 0 und löse die Gleichung nach x auf:

$\begin{align*} y &= 0 \\ 0,5x - 2,5 &= 0 \quad|+2,5\\ 0,5x &= 2,5\quad |:0,5 \\ x &= 5 \end{align*}$

Wenn du die Funktion y = 0 setzt und nach x auflöst, kommt für x = 5 heraus. Daraus bilden sich die Koordinaten des Schnittpunktes: S_x(5|0)

Merke: Die Koordinaten des Schnittpunktes mit der x-Achse sind allgemein S(x|0).

Schnittpunkt mit der y-Achse

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(01:09)

Der Schnittpunkte mit der y-Achse ist der Punkt auf der Funktion, dessen x-Koordinaten gleich 0 ist. Den dazugehörigen y-Wert nennst du auch y-Achsenabschnitt. Um ihn zu berechnen, setzt du für x eine 0 in die Parabelgleichung f(x) = x² – 3x + 2 ein und berechnest den Funktionswert f(x).

Übrigens: f(x) ist eine andere Schreibweise für y. Beim Rechnen mit der Funktion macht das keinen Unterschied.

Beispiel

Berechne den Schnittpunkt der Parabel f(x) = x² – 3x + 2 mit der x-Achse.

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Setze dafür x = 0 in die Funktionsgleichung ein und ermittle den Funktionswert.

$\begin{align*} f(x) &= x^2 - 3x + 2 \\ &= 0^2 - 3 \cdot 0 + 2 \\ &= 0 - 0 + 2 \\ &= 2 \end{align*}$

Wenn du den Funktionswert für x = 0 berechnest, erhältst du folgende Koordinaten für den Schnittpunkt mit der y-Achse: S_y(0|2)

Merke: Die Koordinaten des Schnittpunktes mit der y-Achse sehen allgemein so aus: S(0|y)

Expertenwissen

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(02:16)

Es kann bei einer Funktion mehrere Schnittpunkte mit der x-Achse geben, aber nur einen Schnittpunkt mit der y-Achse. Jedem y-Wert können mehrere x-Werte zugeordnet werden, aber jedem x-Wert nur ein y-Wert.

Zusammenfassung

Schnittpunkt mit den Koordinatenachsen — das Wichtigste

Die Schnittpunkte mit der x-Achse werden auch Nullstellen einer Funktion genannt. Du berechnest sie, indem du die Funktion f(x) = 0 setzt. Daraus ergeben sich die Koordinaten der Schnittpunkte: S(x|0)
Den Schnittpunkt mit der y-Achse berechnest du, indem du für x = 0 einsetzt. Berechnest du den Funktionswert an dieser Stelle, ergeben sich folgende Koordinaten des Schnittpunktes: S(0|y)

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie erkenne ich, ob eine Funktion keinen Schnittpunkt mit der x-Achse hat?

Eine Funktion hat keinen Schnittpunkt mit der x-Achse, wenn die Gleichung keine reelle Lösung besitzt. Dann gibt es keinen -Wert, bei dem der Funktionswert 0 wird. Bei einer Parabel erkennt man das zum Beispiel daran, dass die Diskriminante negativ ist.
Welche Fehler passieren oft, wenn ich Nullstellen ausrechne?

Häufige Fehler beim Nullstellenberechnen sind: nicht wirklich gleich 0 setzen, Vorzeichenfehler beim Umformen und falsches Auflösen nach (zum Beispiel nicht beide Seiten durch denselben Faktor teilen). Beispiel: Aus wird fälschlich und dann statt korrekt .
Wie finde ich alle Schnittpunkte mit der x-Achse bei einer Parabel?

Alle Schnittpunkte einer Parabel mit der x-Achse findest du, indem du setzt und die quadratische Gleichung löst. Je nach Parabel gibt es zwei, eine oder keine reelle Lösung. Zum Beispiel liefert die Lösungen und , also die Punkte und .
Wann ist der y-Achsenabschnitt nicht einfach die Zahl am Ende?

Der y-Achsenabschnitt ist nicht einfach „die Zahl am Ende“, wenn die Funktion nicht in der Form oder allgemein als Polynom in absteigenden Potenzen geschrieben ist. Dann muss der y-Achsenabschnitt immer über berechnet werden, also durch Einsetzen von .
Warum kann eine Funktion nur einen Schnittpunkt mit der y-Achse haben?

Eine Funktion kann nur einen Schnittpunkt mit der y-Achse haben, weil die y-Achse genau die Stelle beschreibt und eine Funktion jedem genau einen -Wert zuordnet. Deshalb gibt es zu höchstens einen Punkt . Ist nicht definiert, gibt es keinen Schnittpunkt.

Schnittpunkt zweier Geraden

Prima! Du hast den Schnittpunkt einer Geraden mit den Koordinatenachsen berechnet. Willst du jetzt wissen, wie du den Schnittpunkt zweier Geraden berechnest? Dann schau direkt ins Video !