Analysis

Steigung berechnen

Wenn du von einer Funktion die Steigung berechnen willst, gibt es in der Mathematik verschiedene Möglichkeiten. Hier erklären wir dir, wie du am besten  die Steigung einer Geraden bestimmen kannst. Die Berechnung der Steigung mithilfe der Ableitung erklären wir dir in einem eigenen Video.

Du willst keinen langen Text lesen, sondern direkt sehen, wie du die Steigung berechnen kannst? Dann schau dir am besten unser Video%Video verlinken an!

Inhaltsübersicht

Steigung berechnen einfach erklärt

Will man die Steigung berechnen, interessiert man sich meistens dafür, wie schnell und in welche Richtung sich eine Funktion ändert. Am einfachsten lässt sich die Steigung berechnen, wenn du nur lineare Funktionen betrachtest. Hier ist sie nämlich immer konstant und du kannst sie direkt an der Funktionsgleichung %verlinken wenn verfügbar ablesen.

In der realen Wert kennst du die Steigung aus dem Straßenverkehr. Hier wird dir mit diesem Schild %Bild von Verkehrsschild einfügen in Prozent angegeben, wie steil der Berg ist, den du gerade hinauf radelst. 

Das Wort Steigung ist dabei der Überbegriff für die positive und die negative Steigung. Negative Steigung wird manchmal aber auch als Gefälle oder als Neigung bezeichnet. 

Steigung einer Geraden bestimmen

Hast du eine lineare Funktion oder eine Gerade gegeben und willst deren Steigung berechnen, so gibt es dazu verschiedene Möglichkeiten. 

Steigung berechnen

In den meisten Fällen hast du die Funktionsgleichung der linearen Funktion gegeben. Diese hat stets die Form

Funktionsgleichung lineare Funktion

f(x)=m \cdot x + t

Dabei gibt t den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse an und m die Steigung. Hier brauchst du sie daher gar nicht explizit berechnen, sondern kannst sie direkt ablesen! 

So hat zum Beispiel die Gerade mit f(x) = 3\cdot x -1 eine Steigung von m = 3. Geometrisch kannst du das so interpretieren, dass du im Koordinatensystem ein Kästchen nach rechts und drei Kästchen nach oben gehen musst. 

Steigung lineare Funktion Gerade Steigungsdreieck
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Steigung einer linearen Funktion

 

Ein Spezialfall davon sind die waagerecht im Koordinatensystem liegenden Geraden. Sie haben die Steigung m=0 und daher immer die Form f(x) = c für ein bestimmtes c. Das andere Extrem sind die senkrechten Geraden. Sie haben eine Steigung von unendlich und werden durch die Gleichung x=k beschrieben.

Achtung: Bei einer senkrechten Geraden handelt es sich nicht um eine klassische Funktion, da hier einem x-Wert mehrere (beziehungsweise alle) y-Werte zugeordnet werden. 

Waagrechte Gerade und Senkrechte Gerade
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Waagrechte Gerade und Senkrechte Gerade

Steigung am Graph ablesen

Hast du nur den Funktionsgraphen einer linearen Funktion gegeben, dann kannst du auch daran die Steigung berechnen. Das klappt mit einem sogenannten Steigungsdreieck%verlinken. Dazu wählst du zwei Punkte P(x_1|y_1 und Q(x_2|y_2) auf der Geraden aus und  berechnest jeweils die Differenz der x-Werte und die Differenz der y-Werte. Die Steigung ist dann definiert als

Steigung

m = \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} %Kästchen

Steigungsdreieck
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Steigung berechnen anhand von zwei Punkten

 

So hat beispielsweise die oben dargestellte Gerade durch die Punkte P(3|3) und Q(6|5) die Steigung

m = \cfrac{5-3}{6-3} = \cfrac{2}{3}.

Du kannst die Steigung auch berechnen, wenn du nur den Steigungswinkel einer Geraden kennst. Das erklären wir dir aber separat in diesem Video%Verlinken.

Senkrechte und parallele Geraden

Zu beachten ist, dass parallele Geraden immer die gleiche Steigung haben. Das ist auch der Grund dafür, dass sie sich nie schneiden. 

parallele Geraden Steigung Steigungsreieck
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Steigung paralleler Geraden

 

Stehen zwei Geraden senkrecht aufeinander, so schneiden sie sich in einem 90^\circ-Winkel. Für ihre Steigung gilt dann

f(x) = m \cdot x +t_1

g(x) = -\frac{1}{m} \cdot x + t_2

Das siehst du auch sofort für die im Bild gezeichneten Geraden:

senkrechte Geraden 90° Winkel Steigung
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Steigung senkrechter Geraden

Übrigens: Wie du ihren Schnittpunkt berechnen kannst, zeigen wir dir hier%Video verlinken, wenn verfügbar.

Steigung berechnen in Prozent

Die typischen mathematischen Aufgaben, bei denen du die Steigung berechnen sollst, kennst du jetzt. Manchmal ist aber auch nach den Anwendungen beispielsweise in der Physik gefragt. Dazu musst du die Steigung oftmals noch in Prozent umrechnen. 

 %hier evtl Bild vom Schild einfügen

Wenn beispielsweise auf einem Verkehrsschild steht, dass ein Abhang ein Gefälle von 20 % aufweist, dann kannst du leicht die zugehörige Steigung berechnen. Gefälle bedeutet dabei, dass m ein negatives Vorzeichen haben muss und 20% entspricht dem Wert 0,2. Damit hat die Straße die Steigung  m = -0,2.

Übrigens: Warnt dein Verkehrsschild vor einer Steigung mit 100%, so hat die Strecke gerade die Steigung m=1.  Die Strecke verläuft also nicht senkrecht, sondern in einem 45^\circ-Winkel.

 


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