y = mx + b einfach erklärt

Die Gleichung y = mx + b beschreibt eine Gerade. Das m steht für die Steigung und das b steht für den y-Achsenabschnitt. Die Gerade y = 2x + 1 hat zum Beispiel eine Steigung von 2 und schneidet die y-Achse bei 1. Um b und m zu berechnen, benötigst du zwei beliebige Punkte auf der Geraden.

Für x kannst du Zahlen in die Gleichung einsetzen und dann einen passenden y-Wert berechnen. Zusammen ergeben x und y einen Punkt P(x|y) auf der Geraden.

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Graph einer Geraden

Vielleicht kennst du die Formel y = mx + b auch als  y = mx + c oder y = mx + n. An der Rechenweise ändert sich nichts, außer dass du anstatt b ein c oder n schreibst. 

y oder f(x)

Hast du schonmal die Gleichung f(x) = mx + b gesehen? Das ist das Gleiche wie y = mx + b.

Wie bestimmst du y = mx + b mit zwei Punkten?

Du hast eine Aufgabe vor dir liegen, bei der du m und b bestimmen musst? Wenn du dafür zwei Punkte P1 (2|1) und P2 (3|0) gegeben hast, kannst du nach dieser Anleitung vorgehen: 

1. Schritt: Die Steigung m berechnen.

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{0 - 1}{3 - 2}= -1

Übrigens: Eine 1 oder -1 kann vor dem x wegfallen, sodass nur noch x oder x da steht. Aktuell sieht deine Geradengleichung also so aus: y = x + b.

Allgemeine Formel

Du berechnest die Steigung m, wenn du die Punkte P1 (x1|y1) und P2 (x2|y2) gegeben hast, mit folgender Formel:

\textcolor{orange}{m} = \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

2. Schritt: Den Schnittpunkt mit der y-Achse berechnen.
Du kannst dafür einfach einen der beiden gegebenen Punkte, beispielsweise P1 (2|1), in die Geradengleichung y = x + b einsetzen. Für x setzt du die 2 ein und für y die 1. 

y = x +             | Punkt P1 (2|1) einsetzen

1 = (-1) · 2 + b

1 = -2 + b

Was dir jetzt noch fehlt ist das Umstellen der Gleichung . Um -2 auf die andere Seite zu bringen, rechnest du +2 auf beiden Seiten dazu.

1 = -2 + b               | +2

1 + 2 = -2 + 2 + b 

3 = b

3. Schritt: Am Ende fügst du nur noch beide Ergebnisse in die Geradengleichung ein:

y =x + 3

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Graph einer Geraden

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Wie bestimmst du y = mx + b mit einem Punkt?

Es kann passieren, dass du bei einer Aufgabe nur einen Punkt P gegeben hast. Wie kannst du dann trotzdem die fehlenden Werte für die Gleichung bestimmen? 

Das geht nur, wenn du entweder den y-Achsenabschnitt b oder die Steigung m bereits kennst. Dann musst du nicht mehr beide Werte berechnen. Wie du in den einzelnen Fällen vorgehen kannst, zeigen wir dir jetzt.

1. Fall: Ein Punkt A und y-Achsenabschnitt b gegeben

A (3|5), b = -1

1. Schritt:  Die gegebene Zahl für b in die Geradengleichung y = mx + b einsetzen. 

y = mx + (-1)

y = mx – 1

2. Schritt: Punkt A (3|5) einsetzen und die Geradengleichung nach m umstellen.
Für x setzt du 3 ein und für y setzt du 5 ein.

y = mx – 1                | Punkt A (3|5) einsetzen 

5 = m · 3 – 1            | +1

5 + 1 = m · 3 – 1 + 1 

6 = m · 3                 | : 3

2 = m

3. Schritt: Jetzt fügst du nur noch m in die Geradengleichung ein: y = 2x – 1.

Prima! Du hast die Geradengleichung erfolgreich berechnet.

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Graph einer Geraden

2. Fall: Ein Punkt B und Steigung m gegeben

B (-1|4), m = 2

1. Schritt: Die Zahl für m in die Geradengleichung y = mx + b einsetzen.

y = 2x + b

2. Schritt: Den Punkt B (-1|4) einsetzen und die Geradengleichung nach b umstellen. Für x setzt du -1 ein und für y setzt du 4 ein. 

y = 2x +              | Punkt B (-1|4) einsetzen

4 = 2 · (-1) + b

4 = -2 +              | +2

6 = b

3. Schritt: Jetzt fügst du nur noch b ein und schon hast du die fertige Geradengleichung: y = 2x + 6.

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Graph einer Geraden
Expertenwissen

Streng genommen ist dieses Beispiel der 2. Schritt aus dem Kapitel „Wie bestimmst du y = mx + b mit zwei Punkten?“. Da wird, nachdem du die Steigung m mit einer Formel berechnet hast, auch ein Punkt eingesetzt und nach b umgestellt. 

Wie liest du y = mx + b aus einem Graphen ab? 

Wenn du nur einen Graphen gegeben hast, dann kannst du daraus auch den y-Achsenabschnitt b und die Steigung m für die Geradengleichung y = mx + b ablesen. 

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Graph einer Geraden

Den y-Achsenabschnitt b erkennst du an dem Schnittpunkt mit der y-Achse. Im Beispiel ist das P (0|2) und deswegen b = 2.

Die Steigung kannst du mithilfe eines Steigungsdreiecks ablesen. Du nimmst dir einen Punkt auf der Geraden und gehst von dort aus so viele Kästchen nach rechts (Im Beispiel: 2) und nach oben (Im Beispiel: 1) bis du wieder auf einem Punkt auf der Geraden landest. Dabei entsteht ein Dreieck. Die Länge, die du nach oben gegangen bist, musst du durch die Länge, die du nach rechts gegangen bist, teilen: m = 1 : 2 = 0,5.

Jetzt fügst du nur noch m und b in die Geradengleichung ein: y = 0,5x + 2

y = mx + b — häufigste Fragen

  • Was ist y = mx + b?
    y = mx + b ist eine Geradengleichung und beschreibt eine lineare Funktion.

  • Was ist m?
    Die Variable m steht für die Steigung. Ist die Steigung positiv, dann steigt die Gerade. Ist die Steigung negativ, dann fällt die Gerade.

  • Was ist b?
    Die Variable b steht für den Schnittpunkt mit der y-Achse. Der Buchstabe kann auch ein c oder n sein, sodass die Geradengleichung auch y = mx + c oder y = mx + n heißen kann. Die Rechenweise bleibt bei allen Schreibweisen aber gleich.

Lineares Gleichungssystem

Eine Geradengleichung mit zwei Punkten kannst du auch mithilfe eines linearen Gleichungssystems lösen. Wie das funktioniert, erfährst du in diesem Video

Zum Video: Lineare Gleichungssysteme
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Mathe Grundlagen
Lineare Funktionen
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