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Polynom

Hier erfährst du, was ein Polynom ist und welche Eigenschaften es hat. Außerdem findest du viele Beispiele und ein verständliches Video zum Thema.

Inhaltsübersicht

Was ist ein Polynom?

Der Ausdruck Polynom klingt zwar im ersten Moment kompliziert, tatsächlich bezeichnet er aber nur eine bestimmte Art mehrgliedriger Terme. Beispiele dafür sind etwa

a+b+c

10x5-x+3x3+4

3x2-8x+2

Merke

Ein Polynom besteht aus Variablen, zwischen denen Plus- oder Minuszeichen stehen. Die Variablen besitzen oft

  • einen Vorfaktor, also eine Zahl, mit dem die Variable multipliziert wird. Er steht vor der Variable.
  • eine Hochzahl oder Potenz, die eine natürliche Zahl ist.

Eigentlich zählst du bei einem Polynom also nur Potenzfunktionen zusammen oder ziehst sie voneinander ab.

Eigenschaften von Polynomen

Die einzelnen Teile eines Polynoms und seine Eigenschaften erkennst du schnell an diesem Beispiel:

x2+3x-1

Variablen  

Variablen werden mit Buchstaben beschrieben. Meistens sind das x oder x1 , x2 , x3 usw. 

  • Das Polynom (x2+3x-1) enthält nur eine Variable: x

Vorfaktoren/Koeffizienten 

Vorfaktoren oder Koeffizienten sind die Zahlen, die vor einer Variable stehen. Du musst die Variable immer mit dem Vorfaktor multiplizieren.

  • Die Vorfaktoren des Polynoms (1x2+3x-1) sind 1 , 3 und -1 
  • Wenn vor einer Variable keine Vorfaktor steht (wie bei x2), dann muss man sich eine 1 dazu denken, denn 1*x2=x2
  • Vorfaktoren werden auch Koeffizienten genannt

Potenzen 

Potenzen sind die Hochzahlen über den Variablen. Du multiplizierst eine Variable so oft mit sich selbst, wie ihre Hochzahl angibt. x2 ist also x*x.

  • Die Potenzen des Polynoms (x2+3x1-1x0) sind 2,  1 und 0
  • Steht eine Variable ohne Potenz da (wie bei 3x), dann muss man sich eine 1 als Potenz dazu denken (denn x1=x)
  • Steht ein Vorfaktor ohne Variable da (wie bei -1), dann muss man sich als Potenz eine 0 dazu denken (denn x0=1)

Glieder 

Die einzelnen Summenteile werden Glieder genannt.

  • x2, 3x und -1 sind die Glieder des Terms (x2+3x1).

Keine Polynome sind alle komplizierteren Terme, die beispielsweise Wurzeln%Wurzelfunktion verlinken oder Brüche enthalten, deren Nenner aus einer Variable besteht%gebrochen rationale Funktionen verlinken

  • \sqrt{x}+4
  • \frac{2}{x^2}+3x-1.
Merke
Oft werden Polynome nach ihren Exponenten sortiert aufgeschrieben. Solche Polynome nennt man auch geordnete Polynome. So schreibt man beispielsweise x^5+2x^3-x statt -x+x^5+2x^3.

Grad eines Polynoms

Der Grad eines Polynoms ist immer die höchste Potenz des Polynoms. Es ist also die Hochzahl bei einer Variablen, die am größten ist. Hier findest du einige Beispiele für den Grad verschiedener Polynome:

  • 4x3+2x2+3x-1   Polynom 3. Grades (wegen 4x3)
  • -7x5-2x3+12        Polynom 5. Grades (wegen -7x5
  • -7x-2x2+12          Polynom 2. Grades (wegen 2x2)

Spezielle Polynome

Es gibt verschiedene Arten von Polynomen, von denen manche ganz besonders wichtig sind. Die bekanntesten Polynome sind das Nullpolynom, das Binom und das Trinom. Diese stellen wir dir hier kurz vor.

Allgemeines Polynom

Mit die wichtigsten Polynome sind diejenigen mit nur einer Variablen x. Man bezeichnet sie auch als „Polynome in einer Variable x“. Allgemein aufgeschrieben sehen sie so aus:

a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0.

Beispiele für Polynome in einer Variable x

  • -2x3+12x2+3x-1
  • 8x5-2x3
  • x8+3x5-16x2

Nullpolynom

Das denkbar einfachste Polynom heißt Nullpolynom. Es ist konstant Null

f(x)=0.

Der Grad des Nullpolynoms ist auf -1 oder -\infty festgelgt. Sein Funktionsgraph ist identisch zur x-Achse, das heißt es handelt sich dabei um eine waagrechte Gerade im Koordinatensystem mit y-Achsenabschnitt y=0

Monom

Ein Monom besteht aus nur einem Glied. Beispiele hierfür sind:

  • a
  • x^2
  • 20x^5.

Binom

Ein Binom besteht immer aus zwei Gliedern, es ist die Summe oder die Differenz zweier Monome. Typische Beispiele für ein solches Binom sind

  • a+b
  • 2x2+x
  • \frac{1}{3}y-z
  • 4ab-b.

Achtung: Pass auf, dass du das Binom nicht mit den binomischen Formeln%verlinken, wenn verfügbar verwechselst! Hier werden zwei Binome multipliziert! 

(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2

Trinom

Ein Trinom besteht im Gegensatz zum Binom aus drei einzelnen Termen, beziehungsweise aus drei Monomen. Typische Beispiele dafür sind

  • a+b+c
  • 2x+3-y
  • ax2+bx+c
  • a2+2ab+b2.

Polynomdivision

Polynome kannst du auch durcheinander teilen. Das funktioniert im Prinzip genauso wie das schriftliche Teilen in der Grundschule. Möchtest du etwa das Polynom 5x2+3x-12 durch das andere Polynom x-4 teilen, dann würde das Ganze so aussehen:

Natürlich haben wir sowohl für die Polynomdivision als auch einen Spezialfall davon – das Horner Schema – jeweils ein eigenes Video für dich!

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