Was sind Sinus, Cosinus und Tangens?

Sinus, Cosinus und Tangens sind trigonometrische Funktionen. Sie beschreiben die Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Winkeln in rechtwinkligen Dreiecken.

Wie lauten Sin, Cos, Tan?

Sin, cos und tan berechnest du so: sin α = Gegenkathete durch Hypotenuse, cos α = Ankathete durch Hypotenuse, tan α = Gegenkathete durch Ankathete.

Wie berechnet man mit Sinus, Kosinus und Tangens?

Mithilfe von Sinus, Cosinus und Tangens kannst du in einem rechtwinkligen Dreieck, wenn zwei Seiten oder ein Winkel und eine Seite bekannt sind, die fehlenden Größen berechnen.

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Sinus Cosinus Tangens

Name: Sinus Cosinus Tangens
Uploaded: 2024-12-16T07:10:18Z
Duration: 3 min 57 s
Description: Sinus Cosinus Tangens

Du möchtest wissen, was Sinus, Kosinus und Tangens sind und wie du sie anwenden kannst? Das erfährst du hier und im Video!

Sinus, Cosinus und Tangens — einfach erklärt

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(00:14)

Sinus, Cosinus und Tangens sind die drei grundlegenden trigonometrischen Funktionen in der Mathematik. Sie beschreiben die Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Winkeln in einem rechtwinkligen Dreieck.

$\begin{align*} \sin(\textcolor{red}{\alpha})&=\frac{\textcolor{olive}{\text{Gegenkathete}}}{\textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}}\\ \cos(\textcolor{red}{\alpha})&=\frac{\textcolor{purple}{\text{Ankathete}}}{\textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}}\\ \tan(\textcolor{red}{\alpha})&=\frac{\textcolor{olive}{\text{Gegenkathete}}}{\textcolor{purple}{\text{Ankathete}}}\\ \end{align*}$

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Hypotenuse, Gegenkathete und Ankathete

Die Hypotenuse ist immer die längste Seite in dem Dreieck, direkt gegenüber vom rechten Winkel. Hier ist das die Seite c.
Die Gegenkathete ist immer die Seite, gegenüber von deinem Winkel. Für den Winkel α ist das die Seite a.
Die Ankathete ist die kürzere der beiden Seite, die direkt an dem Winkel liegen: Für α also die Seite b.

Sinus, Cosinus und Tangens — Beispiel

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(01:24)

Schauen wir uns die Sinus, Cosinus und Tangens Formeln nochmal an einem konkreten Beispiel an:

Du hast ein rechtwinkliges Dreieck und kennst diese Werte:

Die Gegenkathete ist a = 3 cm lang.
Die Hypotenuse ist c = 5 cm lang.

Was ist der Sinus vom Winkel α?

Sinus, Cosinus, Tangens, Dreieck, rechter Winkel, rechtwinkliges Dreieck, alpha, Ankathete, Gegenkathete, Hypotenuse, Trigonometrie — Sinus berechnen – Beispiel

Die Längen der Hypotenuse und der Gegenkathete setzt du nun in die Formel für den Sinus ein:

$\sin(\textcolor{red}{\alpha})=\frac{\textcolor{olive}{\text{Gegenkathete}}}{\textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}}$

$\sin(\textcolor{red}{\alpha}) = \frac{\textcolor{olive}{3cm}}{\textcolor{blue}{5cm}}$

$\sin(\textcolor{red}{\alpha}) = 0,6$

Gut zu wissen: Der Sinuswert gibt dir dann an, wie lang die Gegenkathete im Vergleich zur Hypotenuse ist. Da der Sinus des Winkels 0,6 ist, ist die Gegenkathete 60 % so lang ist wie die Hypotenuse.

Sinus, Cosinus und Tangens in Grad umrechnen

Um aus dem Sinuswert den Winkel in Grad zu bekommen, musst du arcsin (bzw. sin^-1) auf dem Taschenrechner verwenden. Du drückst „Shift“, „sin“ und gibst dann den Sinus ein. Für das Beispiel erhältst du α = 36,87°.

Bei Cosinus und Tangens funktioniert das ebenfalls mit den entsprechenden Tasten.

Sinus, Cosinus, Tangens — Wichtige Werte

Zu einigen Winkeln von Sinus, Cosinus und Tangens gibt es Werte, die du dir merken kannst:

Winkel α	0°	30°	45°	60°	90°
sin(α)	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
cos(α)	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
tan(α)	0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	–

Seiten berechnen mit Sin, Cos und Tan

Mit den Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens kannst du auch die Längen der Dreiecksseiten berechnen. Dafür musst du die Formeln umstellen.

Zum Beispiel hast du ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c = 4 cm und dem Winkel α = 30°. Du möchtest nun die Länge der Ankathete b und der Gegenkathete a wissen.

Um die Ankathete zu berechnen, nimmst du den Cosinus und stellst ihn nach der Ankathete um:

$\cos(\textcolor{red}{\alpha}) = \frac{\textcolor{purple}{\text{Ankathete}}}{\textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}}$ → $\textcolor{purple}{\text{Ankathete}} = \cos(\textcolor{red}{\alpha}) \cdot \textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}$

Setzt du nun die Werte ein, erhältst du:

$\textcolor{purple}{\text{Ankathete}}&=\cos(\textcolor{red}{\ang{30}})\cdot \textcolor{blue}{4} = \textcolor{red}{\frac{\sqrt{3}} {2}}\cdot\textcolor{blue}{4}\ = 2\sqrt{3}$

Die Ankathete ist also ca. 3,46 cm lang.

Ähnlich gehst du bei der Gegenkathete vor. Um die zu berechnen, stellst du hingegen die Formel für den Sinus um und setzt die Werte ein:

$\sin(\textcolor{red}{\alpha}) = \frac{\textcolor{olive}{\text{Gegenkathete}}}{\textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}}$ → $\textcolor{olive}{\text{Gegenkathete}} = \sin(\textcolor{red}{\alpha}) \cdot \textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}$

$\textcolor{olive}{\text{Gegenkathete}} = \sin(\textcolor{red}{30})\cdot \textcolor{blue}{4} = \textcolor{red}{\frac{1}{2}}\cdot \textcolor{blue}{4} = 2$

Die Gegenkathete ist daher 2 cm lang.

Es kann aber auch sein, dass du nicht die Hypotenuse c, sondern eine der anderen Seiten gegeben hast. Wie du die Sinus Cosinus Tangens Formeln dafür umstellst, siehst du hier in der Übersicht:

Ankathete b ist gegeben	Gegenkathete a ist gegeben
direkt ins Video springen Gegenkathete & Hypotenuse berechnen	direkt ins Video springen Ankathete & Hypotenuse berechnen

Rechenregeln mit Sin Cos Tan

Zu Sinus, Cosinus und Tangens gibt es außerdem ein paar Rechenregeln. Die helfen dir dabei, einen Winkel, eine Seitenlänge oder Sin, Cos und Tan zu berechnen. Zu den Rechenregeln gehören:

trigonometrischer Pythagoras
Additionstheoreme
Sinussatz
Cosinussatz

Trigonometrischer Pythagoras

Der trigonometrische Pythagoras lautet:

$(\sin\textcolor{red}{\alpha})^2+(\cos\textcolor{red}{\alpha})^2=1$

Wenn du den Sinus eines Winkels kennst, kannst du mit dieser Formel daraus den Cosinus berechnen — oder umgekehrt.

Additionstheoreme

Mit den Additionstheoremen kannst du den Sinus und Cosinus einer Summe berechnen:

$\sin(\textcolor{red}{\alpha}+\textcolor{orange}{\beta})=\cos(\textcolor{red}{\alpha})\cdot\sin(\textcolor{orange}{\beta})+\sin(\textcolor{red}{\alpha})\cdot\cos(\textcolor{orange}{\beta})$

$\cos(\textcolor{red}{\alpha}+\textcolor{orange}{\beta})=\cos(\textcolor{red}{\alpha})\cdot\cos(\textcolor{orange}{\beta})-\sin(\textcolor{red}{\alpha})\cdot\sin(\textcolor{orange}{\beta})$

Sinussatz

Den Sinussatz kannst du benutzen, um fehlende Stücke eines Dreiecks zu berechnen. Zum Beispiel, wenn zwei Seitenlängen und ein gegenüber liegender Winkel oder eine Seitenlänge und zwei Winkel gegeben sind. Das Dreieck muss dabei nicht rechtwinklig sein!

$\frac{\textcolor{olive}{a}}{\sin(\textcolor{red}{\alpha})}=\frac{\textcolor{purple}{b}}{\sin(\textcolor{orange}{\beta})}=\frac{\textcolor{blue}{c}}{\sin(\gamma)}$

Cosinussatz

Mit dem Cosinussatz kannst du zum Beispiel aus zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel die dritte Seite berechnen. Er kann dir auch helfen, einen Winkel zu berechnen, wenn alle drei Seiten gegeben sind. Auch hier muss das Dreieck nicht rechtwinklig sein!

$\textcolor{olive}{a}^2=\textcolor{purple}{b}^2+\textcolor{blue}{c}^2-2\textcolor{purple}{b}\textcolor{blue}{c}\cdot\cos(\textcolor{red}{\alpha})$

$\textcolor{purple}{b}^2=\textcolor{olive}{a}^2+\textcolor{blue}{c}^2-2\textcolor{olive}{a}\textcolor{blue}{c}\cdot\cos(\textcolor{orange}{\beta})$

$\textcolor{blue}{c}^2=\textcolor{olive}{a}^2+\textcolor{purple}{b}^2-2\textcolor{olive}{a}\textcolor{purple}{b}\cdot\cos(\gamma)$

Übrigens: Den Tangens kannst du nicht nur mit Gegen- und Ankethete berechnen, sondern auch mit Sinus und Cosinus: $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Sinus Cosinus Tangens — häufigste Fragen

Was sind Sinus, Cosinus und Tangens?

Sinus, Cosinus und Tangens sind trigonometrische Funktionen. Sie beschreiben die Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Winkeln in rechtwinkligen Dreiecken.
Wie lauten Sin, Cos, Tan?

Sin, cos und tan berechnest du so: sin α = Gegenkathete durch Hypotenuse, cos α = Ankathete durch Hypotenuse, tan α = Gegenkathete durch Ankathete.
Wie berechnet man mit Sinus, Kosinus und Tangens?

Mithilfe von Sinus, Cosinus und Tangens kannst du in einem rechtwinkligen Dreieck, wenn zwei Seiten oder ein Winkel und eine Seite bekannt sind, die fehlenden Größen berechnen.

Einheitskreis

Sinus, Cosinus und Tangens lassen sich auch mit dem Einheitskreis verdeutlichen. Wie das geht und was ein Einheitskreis überhaupt ist, erklären wir dir in unserem Video!