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Sinusfunktion

Wichtige Inhalte in diesem Video

Sinusfunktion einfach erklärt

Sinusfunktion zeichnen

Sinusfunktion Eigenschaften

Definitionsbereich und Wertebereich

Amplitude und Periode

Sinusfunktion Nullstellen

Sinusfunktion Extremwerte

Sinusfunktion Ableiten

In diesem Beitrag erklären wir dir, was die Sinusfunktion ist, welche Eigenschaften sie besitzt und welchen Einfluss verschiedene Parameter auf den Funktionsgraphen der Sinusfunktion haben.

Du bevorzugst Videos zum Lernen? Dann haben wir eine gute Nachricht für dich: Auch zum Thema Sinusfunktion haben wir ein animiertes Video – Klick drauf und genieße.

Inhaltsübersicht

Sinusfunktion einfach erklärt

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Die Sinusfunktion ist, wie der Name bereits verrät, eine Funktion , genauer eine trigonometrische Funktion .

Du kannst dir die Sinusfunktion auch als eine Blackbox vorstellen, die irgendein Element aus den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ frisst und ein anderes Element aus dem Intervall [-1,1] ausspuckt.

Sinusfunktion, Blackbox, sin funktion, sin, sinusfunktion, Abbildung — Sinusfunktion als eine Blackbox, die bestimmte Elemente frisst und andere Elemente ausspuckt

Formal ausgedrückt, ist die Sinusfunktion folgende Abbildung:

Sinusfunktion Formel

$f(x)= \sin(x)$

Die Sinusfunktion ist eine Abbildung von der Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen in die Menge [-1,1], wobei sie ein Element aus $\mathbb{R}$ auf ein Element f(x) aus [-1,1] abbildet.

Sinusfunktion zeichnen

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Lass uns doch der abstrakten Sinusfunktion eine anschauliche Gestalt geben. Hierzu nehmen wir eine kleine Wertetabelle auf, indem wir die -Werte aus dem Intervall $[-\pi, \pi]$ wählen und dazu die jeweiligen -Werte durch $y = \sin(x)$ ausrechnen. Die Tabelle kann dann folgendermaßen aussehen:

	$-\pi$	$-\frac{5\pi}{6}$	$-\frac{2\pi}{3}$	$-\frac{\pi}{2}$	$-\frac{\pi}{3}$	$-\frac{\pi}{6}$		$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{5\pi}{6}$	$\pi$
	0	-0,5	-0,866	-1	-0,866	-0,5	0	0,5	0,866	1	0,866	0,5	0

Wenn wir nun diese Punkte in einem Koordinatensystem eintragen und miteinander verbinden, erhalten wir ein Bild wie das Folgende.

Sinusfunktion Graph, Funktionsgraph, Sinusfunktion Wertetabelle, Sin funktion Graph — Konstruktion des Funktionsgraphen der Sinusfunktion aus einer Wertetabelle

Die blauen Punkte stellen die Pärchen aus unserer Wertetabelle dar, die rote Kurve den tatsächlichen Funktionsgraphen der Sinusfunktion. Dieser Funktionsgraph wird auch Sinuskurve genannt. Außerhalb der -Werte unserer Wertetabelle haben wir die Sinusfunktion aufgrund einer besonderen Eigenschaft dieser Funktion weiterzeichnen können. Diese Eigenschaften werden wir im nächsten Abschnitt vorstellen.

Sinusfunktion — kurz und knapp

Die Sinusfunktion ist eine trigonometrische Funktion. Sie ordnet einem x-Wert seinen Sinuswert als y zu: y = sin(x). Du kannst die Sinuswerte auch am Einheitskreis ablesen. Das ist ein Kreis mit Radius 1.

Sinusfunktion Eigenschaften

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In diesem Abschnitt werden wir dir die wichtigsten Eigenschaften anhand der Funktionsvorschrift $y = \sin(x)$ erklären. Du wirst unter anderem erfahren, weswegen wir im vorherigen Abschnitt die Funktion einfach weiterzeichnen konnten, obwohl wir die Werte nicht kannten.

Definitionsbereich und Wertebereich

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Jede Abbildung besitzt einen Definitionsbereich und einen Wertebereich . Für $\sin(x)$ ist

der Definitionsbereich = die Menge $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen und

der Wertebereich = die Menge [-1,1] aller reellen Zahlen von -1 bis 1.

Amplitude und Periode

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Kommen wir nun zur Eigenschaft, die es uns ermöglicht hat, die Sinuskurve ohne Kenntnis der Werte außerhalb unserer Wertetabelle zeichnen zu können. Diese Eigenschaft ist die Periodizität der Sinusfunktion. Das heißt, dass sich bei der Sinusfunktion ein gewisses Muster wiederholt. Das Muster entspricht genau dem Verlauf der Sinuskurve im Intervall von $[-\pi, \pi]$ . Du kannst also einfach das Muster in diesem Intervall nehmen, kopieren und dann so einfügen, dass der Graph verbunden bleibt. Und genau das haben wir bei der Konstruktion der Sinuskurve aus der Wertetabelle ausgenutzt. Die „Breite“ dieses Musters heißt Periode und ist für den Fall der Sinusfunktion $2\pi$ .

Periode von $\sin(x)$ beträgt $2\pi$ .

Du kannst an der Sinuskurve erkennen, dass die Sinusfunktion nie größer als +1 beziehungsweise kleiner als -1 wird. Diese „Barriere“ zwischen der die Werte der Sinusfunktion auf- und abschwingen heißt Amplitude und hier gilt

Amplitude A=1 .

Symmetrie

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Die Sinusfunktion ist eine ungerade Funktion. Das bedeutet, dass ihr Graph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung (0|0) ist. Für alle (reellen) Zahlen x kannst du dir somit merken:

sin(-x) = – sin(x)

Beispiel: sin(-π/2) = -1 = -sin(π/2)

Punktsymmetrie bedeutet, dass der Funktionsgraph links vom Ursprung durch Spiegelung des Funktionsgraphen rechts vom Ursprung am Punkt (0,0) erhalten werden kann. Formal gilt also allgemein

f(-x) = -f(x) .

Das Bild unten soll die Eigenschaften als eine Zusammenfassung illustrieren. Hier sollen die Pärchen (B, B‘) und (C, C‘) die Punktsymmetrie der Sinusfunktion veranschaulichen.

Symmetrie, Periode, Amplitude, Sinusfunktion — Illustration der Amplitude, Periode und Symmetrie der Sinusfunktion

Sinusfunktion Nullstellen

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Der periodische Charakter der Sinusfunktion erleichtert einige interessante Berechnungen. Da sich das Muster nach $2\pi$ wiederholt, reicht es beispielsweise für die Nullstellen der Sinusfunktion aus, sich nur auf das Intervall von $[-\pi, \pi]$ zu konzentrieren. Alle anderen Nullstellen können wir aufgrund der Periodizität leicht ableiten. An der Sinuskurve erkennen wir, dass sich innerhalb von $[-\pi, \pi]$ die Nullstellen an den Stellen $-\pi, 0$ und $\pi$ befinden. Der Abstand zwischen zwei benachbarten Nullstellen ist also genau $\pi$ . Die Periodizität der Sinusfunktion erlaubt uns daher die allgemeine Feststellung, dass gilt

$\sin(x) = 0$

$\Leftrightarrow x = n \pi.$

Hier ist ein Element der Menge $\mathbb{Z}$ der ganzen Zahlen.

Sinusfunktion Extremwerte

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Auch für die Extremwerte der Sinusfunktion reicht die Betrachtung im Intervall $[-\pi, \pi]$ . Anhand der Sinuskurve können wir erkennen, dass die Funktion an der Stelle $\frac{-\pi}{2}$ ein Minimum und an der Stelle $\frac{\pi}{2}$ ein Maximum besitzt. Der Abstand zwischen zwei benachbarten Maxima beziehungsweise Minima ist genau $2\pi$ . Der periodische Charakter der Sinusfunktion lässt uns somit darauf schließen, dass die Minima und Maxima bei folgenden Werten liegen.

$x_{\mathrm{n,min}} = \frac{-\pi}{2} + n \cdot 2\pi$ und

$x_{\mathrm{n,max}} = \frac{\pi}{2} + n \cdot 2\pi$ .

Auch hier ist eine ganze Zahl. Manchmal findest du auch

$x'_{\mathrm{n,min}} = \frac{3\pi}{2} + n \cdot 2\pi$ .

Der einzige Unterschied zwischen $x_{\mathrm{n,min}}$ und $x'_{\mathrm{n,min}}$ liegt darin, ob du das Intervall $[-\pi, \pi]$ oder $[0, 2\pi]$ betrachtest.

Sinusfunktion Ableiten

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Die Sinusfunktion hat eine besonders einfache Ableitung. Es ist

$(\sin(x))' = \cos(x).$

Das heißt, die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion, die wieder eine periodische Funktion ist mit ähnlichen Eigenschaften wie die der Sinusfunktion.

Sinusfunktion integrieren

Auch das unbestimmte Integral der Sinusfunktion ist einfach. Es gilt

$\int \sin(x)dx = -\cos(x) + c$ .

Das unbestimmte Integral von $\sin(x)$ ist also auch wieder eine trigonometrische Funktion.

Sinusfunktion Parameter

Bisher haben wir die Sinusfunktion in der Form $\sin(x)$ besprochen. Das ist aber nur eine Spezialform der allgemeinen Form.

Allgemeine Form der Sinusfunktion

$a \cdot \sin(bx + c) + d$ ,

wobei a, b, c und beliebige reelle Zahlen sind.

In diesem Abschnitt erklären wir dir, welchen Einfluss jeder dieser sogenannten Parameter a,b,c und auf die Gestalt der Sinuskurve hat.

Sinusfunktion verschieben in y-Richtung (Parameter d)

Wir beginnen mit dem Einfluss von Parameter d. Dieser verschiebt je nach Vorzeichen die Sinuskurve nach oben ( d > 0 ) beziehungsweise nach unten ( d < 0 ). Das folgende Bild soll das illustrieren.

Parameter, Einfluss, Verschiebung in y-Richtung, Sinusfunktion, Sinuskurve — Einfluss des Parameters d auf die Sinuskurve

In diesem Bild ist d einmal +2 und einmal -2. An jedem Punkt entlang der einfachen Sinuskurve (rot) wird 2 hinzuaddiert und es entsteht die blaue Kurve. Wird hingegen 2 subtrahiert entsteht die grüne Kurve. Beachte, dass der Parameter d auf die Amplitude A der Sinuskurve keinen Einfluss hat, denn auch die verschobenen Sinuskurven schwingen gleich auf und ab.

Sinusfunktion verschieben in x-Richtung (Parameter c)

Der Parameter c verschiebt die Sinuskurve entweder nach links ( c > 0 ) oder nach rechts ( c < 0 ). Die Vorzeichen sind im Fall der Verschiebung in x-Richtung leider nicht so intuitiv, wie im Fall der Verschiebung in y-Richtung. Bei einem positiven Parameterwert könntest du, in Analogie zur Verschiebung in y-Richtung, denken, dass die Sinuskurve nach rechts verschoben wird. Es passiert aber genau das Umgekehrte. Du kannst dir es auch so vorstellen, dass bei einem positiven Parameterwert c der Ursprung des Koordinatensystems nach rechts verschoben wird und die Sinuskurve dadurch nach links. Das Bild unten veranschaulicht das.

Verschiebung in x-Richtung, Sinuskurve, Parameter — Einfluss des Parameters c auf die Sinuskurve

Auch der Parameter c hat keinen Einfluss auf die Amplitude der Sinuskurve. In diesem Fall ist c = $-\pi$ und jeder Punkt entlang der originalen Kurve (rot) wird um $\pi$ nach rechts verschoben. Anhand dieses Beispiels kannst du erkennen, dass

$\sin(x - \pi) = -\sin(x)$

gilt.

Streckung und Stauchung in y-Richtung (Parameter a)

Der Parameter a streckt ( |a| > 1 ) beziehungsweise staucht ( |a| < 1 ) die Sinuskurve entlang der y-Richtung. Dieser Parameter hat also Einfluss auf die Amplitude der Sinuskurve. Die folgende Grafik illustriert das.

Streckung und Stauchung in y-Richtung, Parameter a, Einfluss, Sinuskurve — Einfluss des Parameters a auf die Sinuskurve

Hier ist $A_{\mathsfh{g}}$ die Amplitude der grünen Kurve und $A_{\mathsf{b}}$ die Amplitude der blauen Kurve. Im Fall der grünen Kurve wird jeder Punkt entlang der originalen Sinuskurve (rot) mit 0,5 multipliziert. Bei der blauen Kurve hingegen wird jeder Punkt mit 2 multipliziert. Ist das Vorzeichen des Parameters a negativ, so wird der Funktionsgraph zusätzlich entlang der -Achse gespiegelt.

Streckung und Stauchung in x-Richtung (Parameter b)

Zuletzt schauen wir uns den Einfluss des Parameters b an. Dieser streckt ( |b| < 1 ) oder staucht ( |b| > 1 ) die Sinuskurve entlang der x-Richtung. Das Bild unten stellt diese Situation graphisch dar.

Streckung und Stauchung in x-Richtung der Sinuskurve, Sinuskurve, Parameter b, Einfluss Parameter b — Einfluss des Parameters b auf die Sinuskurve

Beachte, dass auch der Parameter b keinen Einfluss auf die Amplitude der Sinuskurve hat. Hingegen hat dieser Parameter Einfluss darauf, wie schnell die Kurve auf- und abschwingt. Die Periode P_b einer um b gestreckten oder gestauchten Sinuskurve kannst du folgendermaßen ausrechnen.

$P_b = \frac{2\pi}{b}$

Kombination verschiedener Parameter

Zum Abschluss dieses Abschnitts schauen wir uns den kombinierten Einfluss verschiedener Parameter an. Die folgende Grafik soll das für drei veränderte Sinuskurven exemplarisch illustrieren.

Einfluss Sinuskurve, Änderung Sinuskurve, Parameter — Kombinierter Einfluss verschiedener Parameter auf die Sinuskurve

Die blaue Kurve beispielsweise ist eine um 1 nach oben verschobene, um den Faktor 3 in y-Richtung und um den Faktor 0,5 in x-Richtung gestreckte Version der originalen roten Kurve.

Sinusfunktion Aufgaben

Lass uns zum Schluss ein paar typische Aufgaben gemeinsam lösen. Die erste Aufgabe beinhaltet das Bestimmen der Funktionsvorschrift für eine gegebene Sinuskurve. Die zweite Aufgabe verlangt das Zeichnen einer Sinuskurve für eine gegebene Funktionsvorschrift und das Bestimmen der Nullstellen, Extremstellen und des Wertebereichs.

Aufgabe 1: Funktionsvorschrift aus Sinuskurve bestimmen

Bestimme die Funktionsvorschrift der folgenden gegebenen Sinuskurve.

Aufgabe Sinusfunktion, Sinuskurve bestimmen, Funktionsvorschrift aus Kurve bestimmen — Die Sinuskurve ist gegeben und die Funktionsvorschrift wird gesucht.

Aufgabe 2: Sinuskurve zeichnen und charakterisieren

Zeichne die Funktionsvorschrift

$y(x) = 3 \cdot \sin(x + \pi) - 3$

und bestimme ihren Wertebereich sowie die Nullstellen und Extremstellen im Intervall $[-2\pi, 2\pi]$ .

Lösungen

Aufgabe 1: Funktionsvorschrift aus Sinuskurve bestimmen

Die einfachste Methode ist sich eine unveränderte Sinuskurve gedanklich in diesem Diagramm vorzustellen. Das könnte folgendermaßen aussehen.

Sinusfunktion, manipulierte Sinusfunktion, verschobene Sinusfunktion — In die gegebene Sinuskurve wird eine unveränderte Sinuskurve gedanklich hinzugefügt.

Im ersten Schritt bestimmen wir den Parameter d. Dazu betrachten wir die Nullstellen der gedanklichen Kurve und ermitteln, wie weit diese nach oben geschoben wurden. In diesem Fall sind die Nullstellen um +2 verschoben und damit ist d = 2 . Als nächstes bestimmen wir die Amplitude. Die rote Kurve schwingt mit +2 beziehungsweise -2 um die verschobenen Nullstellen. Die Amplitude ist somit 2 und es ist a = 2 . Die Breite eines Musters der roten Kurve ist genau $2\pi$ . Daher wurde die Kurve in x-Richtung weder gestreckt noch gestaucht und somit ist b = 1 . Für den Parameter c schauen wir uns die Nullstelle der originalen Kurve im Ursprung an. Wir erkennen, dass diese um $\frac{\pi}{2}$ nach rechts verschoben wurde, denn ab $\frac{\pi}{2}$ beginnt die rote Kurve das gleiche Muster wie die originale Kurve zu haben. Damit ist $c = \frac{-\pi}{2}$ .

Wir haben nun alle Parameterwerte gefunden und müssen diese nur noch in die allgemeine Form der Sinusfunktion einsetzen. Wir erhalten dann

$y(x) = 2 \cdot \sin(1x +(\frac{-\pi}{2})) + 2$

$= 2 \cdot \sin(x -\frac{\pi}{2}) + 2$

für die gesuchte Funktionsvorschrift.

Das folgende Bild soll die Schritte, die wir hier geschildert haben, illustrieren.

Illustration der Schritte zum Finden der Funktionsvorschrift für Aufgabe 1

Aufgabe 2: Sinuskurve zeichnen und charakterisieren

Wir erkennen, dass die originale Sinuskurve um 3 nach unten und um $\pi$ nach links verschoben wurde. Der Ursprung der Kurve beginnt also im Punkt (- $\pi$ , -3). Die Amplitude wurde um den Faktor 3 gestreckt. Da hier b = 1 ist, ist die Periode unverändert gleich $2\pi$ . Wir beginnen daher im Punkt (- $\pi$ , -3) die Sinuskurve zu zeichnen, wobei diese Kurve die Amplitude A = 3 besitzt. Das Ergebnis sieht dann wie folgt aus.

Beispielsaufgabe Sinusfunktion, Sinuskurve zeichnen — Funktionsgraph der Sinusfunktion aus Aufgabe 2

Wir haben in diesem Bild bereits die Extremstellen mit E_1 und E_2 sowie die Nullstellen mit N_1 und N_2 gekennzeichnet. Außerdem haben wir durch die grün gestrichelte Linie den interessanten Bereich von $[-2\pi, 2\pi]$ dargestellt. Aus diesem Bild erkennen wir

Wertebereich = [0, -6],

Extremstellen bei $x_{1,E} = \frac{-3\pi}{2}$ und $x_{2,E} = \frac{\pi}{2}$ und

Nullstellen bei $x_{1,N} = \frac{-\pi}{2}$ und $x_{2,N} = \frac{3\pi}{2}$ .

zur Videoseite: Sinusfunktion

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