Was genau ist ein Einheitskreis im Koordinatensystem?

Ein Einheitskreis im Koordinatensystem ist ein Kreis, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt und dessen Radius genau 1 beträgt. Das bedeutet: Jeder Punkt auf dem Kreisrand hat vom Ursprung aus den Abstand 1. So lassen sich Winkel und Winkelfunktionen geometrisch veranschaulichen.

Wie erkenne ich an der Gleichung x² plus y² gleich 1 den Einheitskreis?

An der Gleichung erkennst du den Einheitskreis, weil sie genau alle Punkte beschreibt, deren Abstand zum Ursprung 1 ist. Der Abstand erfüllt nach dem Satz des Pythagoras und bei Radius 1 gilt dann .

Wie lese ich am Einheitskreis den Sinus als y-Koordinate ab?

Am Einheitskreis ist genau die y-Koordinate des Punktes auf dem Kreisrand, der zum Winkel gehört. Das liegt daran, dass im rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse 1 ist und damit . Zum Beispiel gilt bei : , weil die y-Koordinate 0 ist.

Wie lese ich am Einheitskreis den Cosinus als x-Koordinate ab?

Am Einheitskreis ist genau die x-Koordinate des Punktes auf dem Kreisrand, der zum Winkel gehört. Im rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse 1, daher gilt . Zum Beispiel gilt bei : , weil die x-Koordinate -1 ist.

Warum ist der Tangens bei 90 Grad nicht definiert?

Der Tangens ist bei nicht definiert, weil sich die Tangenskurve dort einer senkrechten Asymptote nähert. Deshalb steht in Wertetabellen bei oft „n. d.“ für „nicht definiert“. Das gleiche gilt auch bei , wo ebenfalls „n. d.“ angegeben wird.

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Einheitskreis

Wichtige Inhalte in diesem Video

Einheitskreis einfach erklärt

(00:12)

Einheitskreis Sinus und Cosinus

(01:07)

Einheitskreis Tangens

(02:42)

Einheitskreis und Trigonometrische Funktionen

(03:46)

In diesem Beitrag beschäftigen wir uns mit dem Einheitskreis. Wir zeigen dir, wie er definiert ist und wie du ihn verwenden kannst, um Winkelfunktionen zu veranschaulichen.

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Inhaltsübersicht

Einheitskreis einfach erklärt

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(00:12)

Der Begriff Einheitskreis enthält die zwei Bestandteile „Einheit“ und „Kreis“. Mit „Kreis“ wird seine geometrische Form gemeint, das heißt, es handelt sich um einen Kreis. Die Bezeichnung „Einheit“ bezieht sich auf folgende Beobachtung: Nimmst du irgendeinen Punkt entlang des Kreisrandes, dann wird dieser Punkt einen Abstand zum Mittelpunkt des Kreises von exakt 1 besitzen. Sehr oft ist der Mittelpunkt des Einheitskreises mit dem Ursprung eines Koordinatensystems identisch.

Mit Hilfe des Einheitskreises kannst du die Definition der Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens auf alle Winkel erweitern. Zusätzlich erlaubt er dir die charakteristischen Kurven dieser Winkelfunktionen zu konstruieren.

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Definition Einheitskreis

Allgemein ist der Rand eines Kreises um den Ursprung mit Radius definiert als die Sammlung aller Punkte , die zum Ursprung den Abstand besitzen. Wie bestimmst du den Abstand eines Punktes mit den Koordinaten und zum Ursprung? Du verwendest dafür den Satz des Pythagoras. Wenn wir den Abstand des Punktes zum Ursprung mit d(P) bezeichnen, dann gilt

d(P)^2 = x^2 + y^2

und da sich der Punkt auf dem Kreisrand befinden soll, gilt

d(P) = R .

Damit erhalten wir die Gleichung

x^2 + y^2 = R^2 .

Jeder Punkt, der sich auf dem Kreisrand befindet, wird diese Gleichung erfüllen. Für den Einheitskreis ist R = 1 . Somit können wir den Einheitskreis folgendermaßen definieren

Definition Einheitskreis

Der Einheitskreis um den Ursprung ist die Menge aller Punkte, die zum Ursprung den Abstand 1 besitzen, das heißt

Einheitskreis = $\{ P \mid x^2 + y^2 = 1 \}$ ,

wobei und die Koordinaten des Punktes sind.

Definition Einheitskreis, Einheitskreis Menge, Einheitskreis definiert als Menge — Einheitskreis: Illustration der Definition.

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Einheitskreis Sinus und Cosinus

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(01:07)

In diesem Abschnitt zeigen wir dir, wie du mit Hilfe vom Einheitskreis den Sinus und Cosinus für alle Winkel definieren kannst.

Wir können die – und -Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis geometrisch folgendermaßen bestimmen: Wir zeichnen ein rechtwinkliges Dreieck, sodass der Punkt eine Ecke des Dreiecks und der Abstand zum Ursprung die Hypotenuse ist. Die Länge der Hypotenuse kennen wir. Sie beträgt genau 1, da alle Punkte auf dem Kreis per Definition den Abstand 1 zum Ursprung haben. Bilden wir das Verhältnis zwischen Gegenkathete und Hypotenuse, so erhalten wir

$\sin(\alpha) =\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}} =\frac{y}{1} = y$

und für das Verhältnis Ankathete zu Hypotenuse

$\cos(\alpha) =\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypothenuse}}=\frac{x}{1} = x$ .

Das heißt, dass der Sinus gerade die -Koordinate und der Cosinus die -Koordinate des Punktes ist.

Definition von Sinus und Cosinus am Einheitskreis.

Beispiel

Nehmen wir an, dass der Winkel $\alpha$ gleich 180° ist. Der dazugehörige Punkt befindet sich dann an der Stelle (-1, 0). Damit erhalten wir

$\sin(180^{\circ}) = 0$ , da die -Koordinate 0 ist und

$\cos(180^{\circ}) = -1$ , da die -Koordinate -1 ist.

Beispiel Sinus und Cosinus am Einheitskreis.

Einheitskreis Tangens

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(02:42)

Der Tangens lässt sich auf ähnliche Weise auf alle Winkel erweitern. Für den Tangens müssen wir aber das Dreieck im Einheitskreis solange skalieren, bis die Ankathete zum Winkel $\alpha$ gleich 1 ist (die Winkel im Dreieck bleiben unverändert). Der Punkt mit den Koordinaten (x, y) wird dabei zum Punkt mit den Koordinaten (x', y') . Bilden wir für dieses skalierte Dreieck das Verhältnis zwischen Gegenkathete und Ankathete, so erhalten wir

$\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{y'}{1} = y'$ .

Das heißt, dass der Tangens gerade die -Koordinate des Punktes ist. Beachte, wie die Gegenkathete beim skalierten Dreieck gerade tangential zum Einheitskreis ist. Daher kommt auch die Bezeichnung Tangens. Das folgende Bild illustriert die beschriebene Konstruktion, wobei das skalierte Dreieck nicht schraffiert dargestellt ist.

Definition vom Tangens am Einheitskreis.

Beispiel

Nehmen wir an, dass der Winkel $\alpha$ gleich 45° ist. Der dazugehörige Punkt befindet sich dann an der Stelle (1, 1). Damit erhalten wir

$\tan(45^{\circ}) = 1$ , da die -Koordinate 1 ist.

Einheitskreis und Trigonometrische Funktionen

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(03:46)

Mit dem Einheitskreis kannst du auch die charakteristischen Kurven der Winkelfunktion konstruieren. Diese Kurven sind die Bilder der sogenannten trigonometrischen Funktionen .

Um zu sehen, wie sich der Wert des Sinus und Cosinus als Funktion des Winkels $\alpha$ verhält, lassen wir den Winkel $\alpha$ einmal um den Einheitskreis laufen und notieren uns für jeden $\alpha$ -Wert die – und -Koordinate des Punktes. Für den Sinus sieht die Konstruktion folgendermaßen aus.

Konstruktion der Sinuskurve am Einheitskreis — Konstruktion der Sinuskurve.

Der Cosinus verhält sich ähnlich. Er beginnt aber nicht bei 0 wie der Sinus, sondern bei 1. Das veranschaulicht das folgende Bild.

Konstruktion der Cosinuskurve am Einheitskreis, Kosinus am Einheitskreis, Cosinus, Kosinus — Konstruktion der Cosinuskurve

Tabelle wichtiger Werte

Für bestimmte Winkel sind die Werte des Sinus, Cosinus und Tangens einfache Ausdrücke. Die folgende Tabelle enthält ein paar dieser Winkel und die dazugehörigen Werte.

Winkel $\alpha$	$\sin(\alpha)$	$\cos(\alpha)$	$\tan(\alpha)$
0°	0	1	0
30°	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
45°	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	1
60°	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
90°	1	0	n. d.
180°	0	-1	0
270°	-1	0	n. d.

Die Bezeichnung „n. d.“ ist die Abkürzung für „nicht definiert“, da sich für diese Winkel die Tangenskurve einer senkrechten Asymptote nähert.

Gradmaß und Bogenmaß

Bei der Berechnung der Werte für die Winkelfunktionen musst du unbedingt darauf achten, ob die Winkel im Gradmaß oder im Bogenmaß angegeben sind. Im Fall der Tabelle von vorhin waren die Winkel alle im Gradmaß angegeben. Entsprechend musst du auch deinen Taschenrechner auf „DEG“ einstellen, wenn du die Werte nachrechnen möchtest.

Die Umrechnung zwischen Gradmaß und Bogenmaß basiert auf folgender Beziehung

$1 \pi = 180$ °.

Wenn du beispielsweise wissen möchtest, wie ein Winkel von ° in Bogenmaß lautet, dann rechnest du

$x_{\mathsf{RAD}} =\frac{x_{\mathsf{DEG}}}{180^{\circ}} \cdot \pi$ .

Auf deinem Taschenrechner findest du das Bogenmaß unter der Abkürzung „RAD“.

Einheitskreis — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was genau ist ein Einheitskreis im Koordinatensystem?

Ein Einheitskreis im Koordinatensystem ist ein Kreis, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt und dessen Radius genau 1 beträgt. Das bedeutet: Jeder Punkt auf dem Kreisrand hat vom Ursprung aus den Abstand 1. So lassen sich Winkel und Winkelfunktionen geometrisch veranschaulichen.
Wie erkenne ich an der Gleichung x² plus y² gleich 1 den Einheitskreis?

An der Gleichung erkennst du den Einheitskreis, weil sie genau alle Punkte beschreibt, deren Abstand zum Ursprung 1 ist. Der Abstand erfüllt nach dem Satz des Pythagoras und bei Radius 1 gilt dann
.
Wie lese ich am Einheitskreis den Sinus als y-Koordinate ab?

Am Einheitskreis ist $\sin(\alpha)$ genau die y-Koordinate des Punktes auf dem Kreisrand, der zum Winkel $\alpha$ gehört. Das liegt daran, dass im rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse 1 ist und damit $\sin(\alpha)=\frac{y}{1}=y$ . Zum Beispiel gilt bei
$180^\circ$ : $\sin(180^\circ)=0$ , weil die y-Koordinate 0 ist.
Wie lese ich am Einheitskreis den Cosinus als x-Koordinate ab?

Am Einheitskreis ist $\cos(\alpha)$ genau die x-Koordinate des Punktes auf dem Kreisrand, der zum Winkel $\alpha$ gehört. Im rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse 1, daher gilt $\cos(\alpha)=\frac{x}{1}=x$ . Zum Beispiel gilt bei
$180^\circ$ : $\cos(180^\circ)=-1$ , weil die x-Koordinate -1 ist.
Warum ist der Tangens bei 90 Grad nicht definiert?

Der Tangens ist bei $90^\circ$ nicht definiert, weil sich die Tangenskurve dort einer senkrechten Asymptote nähert. Deshalb steht in Wertetabellen bei $90^\circ$ oft „n. d.“ für „nicht definiert“. Das gleiche gilt auch bei $270^\circ$ , wo ebenfalls „n. d.“ angegeben wird.

Beispiel: Gradmaß und Bogenmaß umrechnen

Nehmen wir an, dass du einen Winkel von 60° gegeben. Wie lautet dieser Winkel im Bogenmaß? Dazu rechnest du

$x_{\mathsf{RAD}} =\frac{x_{\mathsf{DEG}}}{180^{\circ}} \cdot \pi = \frac{60^{\circ}}{180^{\circ}} \cdot \pi = \frac{\pi}{3}$ .

Umgekehrt, wenn du einen Winkel von $\frac{\pi}{4}$ im Bogenmaß gegeben hast und du den dazugehörigen Winkel in Gradmaß bestimmen möchtest, dann rechnest du