Einheitskreis (Video)
Lerne schnell und einfach, was ein Einheitskreis ist und wie er funktioniert! In diesem Video zeigen wir dir, wie du mit dem Einheitskreis Winkel und trigonometrische Funktionen verstehst.
VIDEOSKRIPT
Wenn du das Wichtigste zum Einheitskreis in kurzer Zeit erfahren möchtest, dann bist du bei diesem Video genau richtig. Legen wir direkt los!
Einheitskreis einfach erklärt
Lass uns damit beginnen, was der Einheitskreis ist. Wenn du diesen Begriff gedanklich auseinanderschneidest, dann bekommst du die Begriffe Einheit und Kreis (hier könnte man per Animation den Begriff Einheitskreis einblenden und dann irgendwie mit einer Schere trennen, sodass die Begriffe Einheit und Kreis getrennt werden). Mit dem Begriff Kreis (nun könnte man diesen Begriff hervorheben und den anderen währenddessen transparent machen (oder Ähnliches)) wird die geometrische Form des Einheitskreises festgelegt, es handelt sich also um einen Kreis (Abbildung 1 nur den Kreis und seine Füllung zeigen, ohne Koordinatensystem oder sonstigen Bezeichnungen). Die Bezeichnung Einheit (nun diesen Begriff hervorheben und den anderen transparent machen (oder Ähnliches)) bezieht sich auf folgende Beobachtung: Nimmst du irgendeinen Punkt entlang des Kreisrandes, dann wird dieser Punkt einen Abstand zum Mittelpunkt des Kreises von exakt eins besitzen (Abbildung 1 nun die Punkte auf dem Kreisrand, sowie die gestrichelten Verbindungslinien zum Mittelpunkt M als auch die graue Beschriftung „1“ ergänzen; an dieser Stelle noch kein Koordinatensystem zeigen). Sehr oft ist der Mittelpunkt des Einheitskreises mit dem Ursprung eines Koordinatensystems identisch (Abbildung 1 nun das Koordinatensystem einblenden). Das heißt, der Einheitskreis beinhaltet alle Punkte, die zu seinem Mittelpunkt den Abstand 1 besitzen. (Abbildung 1 nur den Rand des Kreises und seinen Radius von 1 hervorheben).
Mit Hilfe des Einheitskreises kannst du die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens für alle Winkel definieren und veranschaulichen. Wie das geht, zeigen wir dir jetzt. Möchtest du vorab mehr zu den Winkelfunktionen erfahren, dann empfehlen wir dir unser Video zu diesem Thema.
Einheitskreis Sinus und Cosinus
Wir beginnen mit dem Sinus und Cosinus. Dazu zeichnen wir einen Einheitskreis, dessen Mittelpunkt der Ursprung eines Koordinatensystems sein soll (Abbildung 2 nur den blauen Kreis mit Koordinatensystem einblenden). Auf diesem Einheitskreis wählen wir einen Punkt P (Abbildung 2 nun den Punkt P einfügen, ohne seine Koordinaten), der die Koordinaten x und y besitzen soll (Abbildung 2 nun die Koordinaten x und y neben dem Punkt P, also das Pärchen (x, y), hinzufügen). Dieser Punkt wird uns als Ecke eines rechtwinkligen Dreiecks dienen. Die Hypotenuse des Dreiecks wird der Abstand vom Punkt zum Ursprung sein (Abbildung 2 nun das Dreieck einzeichnen, ohne die Beschriftungen „1“, „x“ und „y“; nur den rechten Winkel zeigen). Den Winkel, den die Hypotenuse mit der x-Achse einspannt, bezeichnen wir mit Alpha (Abbildung 2 nun den Winkel
𝛼
𝛼
einfügen). Die Länge der Hypotenuse kennst du: Sie beträgt genau 1 (Abbildung 2 nun die Beschriftung „1“ einfügen), da alle Punkte auf dem Einheitskreis per Definition den Abstand 1 zum Ursprung haben. Verwenden wir für dieses Dreieck die Definition vom Sinus und Cosinus, dann erhalten wir
sin(𝛼)=𝑦1=𝑦
sin
𝛼
=
�
1
=
�
(Gegenkathete y und Hypotenuse eins hervorheben, wenn Formel vorgelesen wird, beim Cosinus dann analog)
(sinus alpha ist gleich y durch eins ist gleich y) und
cos(𝛼)=𝑥1=𝑥
cos
𝛼
=
�
1
=
�
(cosinus alpha ist gleich x durch eins ist gleich x).
Mit anderen Worten ist der Sinus eines Winkels die y-Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis (Abbildung 2 nun die Beschriftung „
𝑦=sin(𝛼)
�
=
sin
(
𝛼
)
“ am Dreieck einfügen). Der Cosinus hingegen ist die x-Koordinate des Punktes(Abbildung 2 nun die Beschriftung „
𝑥=cos(𝛼)
�
=
cos
(
𝛼
)
“ am Dreieck einfügen).
Beispiel
Schauen wir uns doch ein Beispiel dazu an. Nehmen wir an, dass der Winkel Alpha gleich 180 Grad ist (Abbildung 3 Kreis einblenden sowie den Winkel
𝛼
und die Beschriftung „
𝛼=180°
“). Der dazugehörige Punkt P befindet sich dann an der Stelle minus eins null (Abbildung 3 nun den Punkt P und seine Koordinaten, also P(-1,0), ergänzen). Die y-Koordinate ist also null. Damit bekommst du
sin(180°)=0
sin
180
°
=
0
(Sinus von 180 Grad ist gleich Null). (Abbildung 3 nun die Beschriftung „
𝑦=sin(180°)=0
�
=
sin
180
°
=
0
“ ergänzen)
Außerdem siehst du, dass die x-Koordinate des Punktes minus eins ist. Damit kannst du auch den Cosinus von 180 Grad bestimmen, er ist also minus eins.
cos(180°)=−1
cos
180
°
=
−
1
(Abbildung 3 nun die Beschriftung „
𝑥=cos(180°)=−1
�
=
cos
180
°
=
−
1
“ ergänzen).
Mit dieser Konstruktion kannst du für einen beliebigen Winkel alpha, Sinus und Cosinus bestimmen. Super Sache, oder? Schauen wir uns nun einmal den Tangens an.
Einheitskreis Tangens
Er lässt sich auf ähnliche Weise auf alle Winkel erweitern (Abbildung 4 den Einheitskreis mit Punkt P, seinen Koordinaten x und y sowie das rechtwinklige schraffierte Dreieck mit den Winkel
𝛼
und den Beschriftungen „1“, „x“ und „y“ zeigen; die Schraffur noch nicht einblenden). Für den Tangens müssen wir aber das Dreieck im Einheitskreis solange skalieren, bis die Ankathete zum Winkel Alpha (Abbildung 4 die Ankathete, also das Stück was mit „x“ bezeichnet ist, hervorheben) die Länge 1 besitzt. Dabei wird der Punkt P mit den Koordinaten x und y zum Punkt P Strich mit den Koordinaten x Strich und y Strich (Abbildung 4 nun den Punkt P‘ mit seinen Koordinaten, also P‘(x‘,y‘), sowie das skalierte Dreieck mit der Beschriftung „x‘ = 1“ aber ohne die Beschriftung „y‘ =
tan(𝛼)
hinzufügen; nun auch die Fläche des vorherigen Dreiecks schraffieren und den rechten Winkel einblenden). Bilden wir für dieses skalierte Dreieck das Verhältnis zwischen Gegenkathete und Ankathete, so erhalten wir
tan(𝛼)=𝑦′1=𝑦′
tan
𝛼
=
�
′
1
=
�
′
(tangens alpha ist gleich y Strich).
Der Tangens ist also die y-Koordinate des Punktes P Strich (Abbildung 4 nun die fehlende Beschriftung „
𝑦′=tan(𝛼)
�
′
=
tan
(
𝛼
)
“ einfügen). Er ist genau dann positiv, wenn die Koordinaten x strich und y strich beide positiv (Abbildung 4 den Teil des Koordinatensystems oben rechts hervorheben) oder beide negativ sind (Abbildung 4 den Teil des Koordinatensystems unten links hervorheben). Ansonsten ist der Tangens negativ (Abbildung 4 den Teil des Koordinatensystems oben links und unten rechts hervorheben).
Beispiel
Lass uns auch für diese Definition ein Beispiel anschauen. Hierfür soll der Winkel Alpha gleich 45 Grad sein (Abbildung 5 den Kreis mit Winkel, sowie das kleinere schraffierte Dreieck einblenden). Der dazugehörige Punkt P Strich hat dann die Koordinaten eins eins (Abbildung 5 nun das Dreieck erweitern, rechten Winkel einblenden, sowie den Punkt P‘ und seine Koordinaten, also P‘(1,1); auch die Beschriftung „
𝑥′=1
�
′
=
1
“ und die grün gestrichelte Linie zeigen). Somit erhältst du
tan(45°)=1
tan
45
°
=
1
(Tangens von 45 Grad ist gleich 1),
da die y-Koordinate des Punktes eins ist (Abbildung 5 nun die Beschriftung „
𝑦′=tan(45°)=1
�
′
=
tan
45
°
=
1
“ sowie die orange gestrichelte Linie ergänzen).
Einheitskreis und Trigonometrische Funktionen
Mit dem Einheitskreis kannst du auch die charakteristischen Kurven der Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens konstruieren. Das sind diejenige Kurven, die dir mitteilen, welche Werte die jeweilige Winkelfunktion in Abhängigkeit des Winkels Alpha annimmt. Dazu lässt du den Punkt P einmal um den Einheitskreis herumlaufen und notierst dir dabei für jeden Winkel alpha die Koordinaten von P.
Das kannst du für den Sinus (Abbildung 6 , aber nur Kreis und blaue Kurve, ohne die roten Punkte) und auch für den Cosinus machen. Der Cosinus beginnt dabei nicht bei Null, sondern bei 1 (Abbildung 7 zeigen analog). Du möchtest sehen, wie die Konstruktion genau funktioniert? Dann ist unser Video zum Sinus und Cosinus genau das Richtige für dich. Dort zeigen wir es dir super anschaulich. Auch für die Tangensfunktion haben wir ein Video für dich! Schau es dir unbedingt an!
Outro
@Schnitt: Sharing Outro