Analysis

Quadratische Funktionen

Du willst alles über quadratische Funktionen und Parabeln lernen? Hier im Artikel erklären wir es dir von Scheitelpunkt und Nullstellen bis hin zu den Extremwertaufgaben. Am Ende des Textes findest du zusätzlich einige Aufgaben mit Lösungen zum selber Üben. 

Du streamst lieber Videos, statt lange Texte zu lesen? Dann schau dir einfach unser kurzes Video%Verlinken, wenn verfügbar an, um quadratische Funktionen und Parabeln noch besser zu verstehen!

Inhaltsübersicht

Quadratische Funktionen einfach erklärt

Quadratische Funktionen zählen zum Funktionstyp der Polynome vom Grad zwei. Sie veranschaulichen einen quadratischen Zusammenhang zwischen dem Definitionsbereich und der Wertemenge , wie du ihn aus der Physik – beispielsweise beim freien Fall – kennst. Auch im Alltag begegnen dir viele quadratische Funktionen und Parabeln, die du vielleicht noch gar nie bemerkt hast. So hat beispielsweise der Unterbau einer Brücke oft die Form einer Parabel, ebenso wie der Wasserstrahl aus einem Gartenschlauch.

Quadratische Funktionen haben als Funktionsgraph immer eine Parabel, sie kann sowohl nach unten als auch nach oben geöffnet sein und ist je nach Funktionsgleichung der quadratischen Funktion unterschiedlich steil. 

Normalparabel

Die typische und einfachste quadratische Funktion ist die Normalparabel. 

Funktionsgleichung der Normalparabel

f(x) = x^2

Die Funktionswerte der Normalparabel lassen sich mit der folgenden Wertetabelle berechnen:

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x)= x 2 16 9 4 1 0 1 4 9 16

Alternativ kannst du die Funktionswerte der Normalparabel auch in ein Koordinatensystem zeichnen:

Normalparabel Parabel Scheitel Scheitelpunkt x^2
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Normalparabel

Du siehst sofort, dass die Normalparabel als Definitionsbereich alle reellen Zahlen hat, das heißt \mathbb{D}=\mathbb{R}. Aber die Funktionswerte sind nur positive Zahlen, somit ist der Wertebereich \mathbb{W}=\mathbb{R}_0^+. Desweiteren ist die Normalparabel symmetrisch zur y-Achse und sie nimmt ihren minimalen Wert im Ursprung (0|0) an. Dieses Minimum wird Scheitel oder Scheitelpunkt genannt. 

Merke: Quadratische Funktionen sind alle ähnlich zur Normalparabel. Die Parabeln können gestreckt, gestaucht und/oder im Koordinatensystem verschoben sein.

Verschiebung einer Parabel in y-Richtung

Quadratische Funktionen lassen sich im Koordinatensystem verschieben. Am leichtesten ist dabei eine Verschiebung der Normalparabel in y-Richtung durch einen Parameter e.

Verschiebung der Normalparabel in y-Richtung

f(x) = x^2 + e

Der Parameter verschiebt die komplette Parabel nach oben (für e>0) oder unten (für e<0). 

Verschiebung parabel, Verschiebung in y-Richtung, x^2+e
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Verschiebung einer Parabel in y-Richtung

Merke: e gibt dir für quadratische Funktionen immer die y-Koordinate des Scheitels an! 

Verschiebung einer Parabel in x-Richtung

Analog kannst du quadratische Funktionen auch in x-Richtung, das heißt nach rechts oder nach links verschieben. Dazu veränderst du die Funktionsgleichung der Normalparabel mit dem Parameter d

Verschiebung der Normalparabel in x-Richtung

f(x) = (x-d)^2

Dabei verschiebt (x+d)^2 den Scheitel der Parabel um d nach links, (x-d)^2 verschiebt ihn nach rechts. 

Verschiebung x Richtung Parabel Normalparabel
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Verschiebung einer Parabel in x-Richtung

Merke: Der Parameter d gibt dir für quadratische Funktionen die x-Koordinate des Scheitelpunktes der Parabel an. 

Merke: Quadratische Funktionen f(x) = (x-d)^2 haben die Form der zweiten binomischen Formel

Streckung / Stauchung einer Parabel

Zuletzt können sich quadratische Funktionen noch hinsichtlich ihres Öffnungsgrades unterscheiden. Je nachdem spricht man auch von einer gestreckten oder gestauchten Parabel.

Parabel Formel

f(x) = a \cdot x^2

Davon abhängig, ob a>0 oder a<0 ist, ist die Parabel entweder nach oben oder nach unten geöffnet. Für a>1 wird die Parabel steiler, das heißt gestreckt, für 0<a<1 wird sie gestaucht. 

Streckung Stauchung Normalparabel Parabel
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Streckung oder Stauchung von Parabeln

Merke: Der Parameter a muss immer ungleich Null sein, da du sonst keine quadratische Funktionen mehr betrachtest! 

Quadratische Funktionen Darstellungsweise

Für beliebig im Koordinatensystem verschobene quadratische Funktionen und Parabeln ergeben sich drei verschiedene Darstellungsweisen:

  • Scheitelpunktform: f(x) = a(x-d)^2+e mit Scheitel S(d|e)
  • Faktorisierte Form: f(x) = (x-x_1)(x-x_2) mit Nullstellen x_1 undx_2
  • Allgemeine Form: f(x) = ax^2+bx+c.

Jede dieser drei Formeln hat Vor- und Nachteile, je nachdem, wofür du dich interessierst. Beispielsweise ist die Scheitelpunktform%verlinken, wenn verfügbar besonders praktisch, weil man hier die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel direkt ablesen kann, so hat dahingegen die faktorisierte Form den Vorteil, dass du hier die Nullstellen der Parabel gegeben hast! 

Du kannst die verschiedenen Darstellungsformen für quadratische Funktionen auch ineinander umwandeln. Willst du beispielsweise die Normalform einer Parabel in Scheitelpunktform bringen, so benötigst du dazu die quadratische Ergänzung%verlinken, wenn verfügbar.

Parabel faktorisierte Form Normalform Scheitelpunktform
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Darstellungsformen für quadratische Funktionen

Funktionsgleichung bestimmen

Um die Funktionsgleichung von quadratischen Funktionen zu bestimmen, gibt es verschiedene Möglichkeiten, die wir dir ausführlich in einem eigenen Video erklären. 

Allgemein lässt sich jedoch feststellen, dass du verschiedene Möglichkeiten hast, die Funktionsgleichung zu bestimmen – je nachdem, welche Informationen gegeben sind. Das zeigen wir dir am besten an einem Beispiel. 

Beispiel 1: Funktionsgleichung von Parabeln bestimmen

Angenommen, du willst die Funktionsgleichung einer Parabel berechnen, die ihren Scheitel bei S(1|4,5) hat und durch den Punkt P(4|0) verläuft. 

Funktionsgleichung berechnen Parabel Scheitel Nullstellen
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Beispiel: Funktionsgleichung einer Parabel bestimmen

Dann befolgst du am besten diese Schritt-für-Schritt-Anleitung: 

  • Schritt 1: Schreibe die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform auf:

   f(x) = a(x-d)^2+e.

  • Schritt 2: Setze die Koordinaten des Scheitelpunktes S(1|4,5) mit e=4,5 und d=1 ein. Damit ergibt sich

   f(x) = a(x-1)^2+4,5.

  • Schritt 3: Um a zu berechnen, setzt du als nächstes den Punkt P(4|0) in die Funktionsgleichung ein:

0 = a(4-1)^2+4,5

0=9a+4,5 \quad \quad \quad \bigg| - 4,5 

-4,5 = 9 a \quad \quad \quad \bigg| \div 9

-0,5 = a.

  • Schritt 4: Setze a in die Funktionsgleichung ein und multipliziere den Funktionsterm aus

f(x) = -0,5(x-1)^2+4,5 = -0,5x^2+x+4.

Nullstellen berechnen 

Je nachdem, wie die Parabeln im Koordinatensystem liegen, haben sie entweder eine, zwei oder gar keine Nullstelle. Das siehst du auch direkt im obigen Bild. 

Um die Nullstellen der Parabeln zu berechnen, gibt es verschiedene Tricks und Formeln, je nachdem wie du die quadratische Funktion angegeben hast. Ausführlich erklärt findest du alle Möglichkeiten im Artikel Nullstellen berechnen% verlinken, wenn verfügbar. 

Hast du quadratische Funktionen in faktorisierter Form gegeben f(x) = (x-x_1)(x-x_2), so kann man die Nullstellen bei x_1 undx_2 direkt ablesen. 

Für quadratische Funktionen in der allgemeinen Form f(x)= a\cdot x^2+b\cdot x + c kannst du die Nullstellen aus den Parametern a, b und c berechnen. Dazu verwendest du die Mitternachtsformel% verlinken, wenn verfügbar.

Mitternachtsformel

a\cdot x^2 + b \cdot x + c = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x_{1,2} = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a \cdot c}}{2\cdot a}

Für quadratische Funktionen mit a=1, oder wenn du den Term vorher durch a teilst, sagt man, die Parabel liegt in Normalform vor. Hier kannst du alternativ auch die pq-Formel verwenden. 

pq-Formel

x^2+p\cdot x +q = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad  x_{1,2} = -\cfrac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\cfrac{p}{2}\right)^2-q}

Für besonders schöne quadratische Funktionen, kannst du alternativ auch den Satz von Vieta anwenden:

Satz von Vieta

Hat f(x) = x^2+p\cdot x + q die beiden Nullstellen x_1 und x_2, so können sie wie folgt berechnet werden

(I) x_1+x_2 = -p und (II) x_1 \cdot x_2 = q

Falls quadratische Funktionen in Scheitelpunktform vorliegen, ist es am leichtesten, wenn du die Funktionsgleichung nach x auflöst, indem du die Wurzel ziehst. Hier brauchst du weder Mitternachtsformel, noch Vieta. 

Scheitelpunkt berechnen – Parabel

Wie du den Scheitelpunkt für quadratische Funktionen am besten berechnest, erklären wir dir im Artikel Scheitelpunktform%verlinken wenn verfügbar ausführlich und mit vielen Beispielen.  Dort gehen wir auch explizit auf die Berechnung der Scheitelpunktform mittels quadratischer Ergänzung%verlinken wenn verfügbar ein. 

Im Allgemeinen haben quadratische Funktionen der Form f(x)=a(x-d)^2+e ihren Scheitel stets im Punkt S(d|e). Ist die Parabel in allgemeiner Form gegeben, so musst du den Scheitelpunkt mit der folgenden Formel berechnen:

Formel zur Berechnung des Scheitelpunkts einer Parabel in der allgemeinen Form

f(x)=ax^2+bx+c hat den Scheitelpunkt S\left(-\cfrac{b}{2a}\bigg|c-\cfrac{b^2}{4a}\right)

Beispiel 2: Scheitelpunkt einer Parabel berechnen

Gegeben sei eine quadratische Funktion f(x) = 1,5x^2-6x+7, deren Scheitelpunkt wir berechnen wollen. Dieser liegt laut obiger Formel bei

S\left(-\cfrac{b}{2a}\bigg|c-\cfrac{b^2}{4a}\right)

Wir setzen also die Werte a=1,5b=-6 und c=7 ein und erhalten den Scheitelpunkt der Parabel bei

S\left(-\cfrac{-6}{2 \cdot 1,5}\bigg|7-\cfrac{(-6)^2}{4\cdot 1,5}\right) = (2|1).

Extremwertaufgaben

Wie du bereits weißt, erreichen quadratische Funktionen im Scheitelpunkt ihr Extremum. So hat beispielsweise eine nach unten geöffneten Parabel im Scheitel ihren maximaler Wert. Diese Information kann man dazu gebrauchen, um sogenannte Extremwertaufgaben zu lösen. Damit du siehst, wie du in einem solchen Fall vorgehst, haben wir dir im nächsten Abschnitt eine Beispielaufgabe (Aufgabe 4) vorbereitet.

Quadratische Funktionen Aufgaben

Hier zeigen wir dir mehrere Aufgaben mit Lösungen zum Thema quadratische Funktionen.

Aufgabe 1: Funktionsgleichung für quadratische Funktionen

Bestimme die quadratische Funktion durch die drei Punkte  A(0|4), B(2|-2) und C(7|0,5)  und zeichne die Parabel.

Aufgabe 2: Nullstellen von Parabeln

Berechne für die quadratische Funktionen jeweils die Nullstellen:

a) f(x) = \frac{1}{2}\cdot(x-2)^2

b)f(x) = 2x^2 -4x-6

Aufgabe 3: Scheitelpunkt einer Parabel

Bestimme den Scheitelpunkt der Parabelf(x) = \frac{1}{2}x^2-2x+3, indem du die quadratische Funktion auf Scheitelpunktform bringst.

Aufgabe 4: Quadratische Funktionen –  Extremwertproblem 

Du möchtest ein möglichst großes rechteckiges Grundstück umzäunen, das mit einer Seite an eine Mauer angrenzt. Dafür stehen die 40\mathrm{m} Zaun zur Verfügung. 

Lösungen

Aufgabe 1: Funktionsgleichung für quadratische Funktionen

quadratische Funktion drei Punkte
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Aufgabe 1: Quadratische Funktionen durch drei Punkte

Um die Funktionsgleichung der Parabel durch A, B und C zu bestimmen, gehst du folgendermaßen vor: 

  • Schritt 1: Schreibe die quadratische Funktion in ihrer allgemeine Form auf

f(x) = ax^2+bx+c

  • Schritt 2: Setze die drei Punkte A, B, und C in die quadratische Funktion ein

 (I)            4 = a\cdot 0^2+b \cdot 0+c

(II)           -2 = a\cdot 2^2+b \cdot 2+c

 (III)          0,5 = a\cdot 7^2+b \cdot 7+c

  • Schritt 3: Löse das Gleichungssystem möglichst geschickt. In unserem Fall können wir aus Gleichung (I) direkt ablesen, dass c=4 gelten muss. Dies setzen wir nun in die beiden anderen Gleichungen ein und erhalten

(II)           -2 =  4a+ 2b+4

 (III)          0,5 = 49a+7b +4

Lösen wir (II) nach b auf und setzen es in die dritte Gleichung ein, so erhalten wir

(II‘)           b = -3-2a

 (III‘)          0,5 = 49a+7(-3-2a) +4

             0,5 = 49a-21-14a+4

                                         0,5 =35a-17 \quad \quad \quad \bigg| +17, \quad \div 35

\cfrac{17,5}{35}= 0,5 = a

Einsetzen von a=0,5 in (II‘) ergibt b = -4.

  • Schritt 4: Setze alle gefundenen Werte in die quadratische Funktion ein

f(x) = 0,5x^2-4x+4.

Aufgabe 2: Nullstellen von Parabeln

a) Die quadratische Funktion f(x) = \frac{1}{2}\cdot(x-2)^2 hat eine doppelte Nullstelle beim Scheitelpunkt S(2|0). Das erkennst du entweder an der Scheitelpunktform oder wenn du den Term in faktorisierter Form aufschreibst f(x) = \frac{1}{2}\cdot(x-2)(x-2). Alternativ kannst du die Parabel auch zeichnen und die Werte ablesen.

b) Hier hast du mehrere Möglichkeiten, um die Parabel 2x^2-4x-6=0 zu berechnen.

Entweder, du setzt a=2, b=-4 und c=-6 in die Mitternachtsformel ein und bestimmst das Ergebnis. Alternativ kannst du auch beide Seiten durch zwei teilen und die neue quadratische Funktion x^2 -2x-3=0 mittels pq-Formel lösen. Dann ist für p=-2 und q=-3

x_{1,2} = -\cfrac{-2}{2} \pm \sqrt{\left(\cfrac{-2}{2}\right)^2+3}

x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1+3}

Die Parabel hat somit zwei Nullstellen bei x_1 = -1 und x_2 = 3.

Aufgabe 3: Scheitelpunkt einer Parabel

Um die quadratische Funktion f(x) = \frac{1}{2}x^2-2x+3 auf Scheitelpunktform zu bringen, musst du quadratisch ergänzen:

\frac{1}{2}x^2-2x+3 = \frac{1}{2}(x^2-4x)+3

= \frac{1}{2}(x^2-4x+4-4)+3

= \frac{1}{2}(x-2)^2+1

Der Scheitel der Parabel hat daher die Koordinaten S(2|1).

Aufgabe 4: Quadratische Funktionen –  Extremwertproblem 

Um das Extremwertproblem zu lösen, benötigst du das Wissen über quadratische Funktionen und Parabeln und gehst wie folgt vor:

  • Schritt 1: Stelle die Zielfunktion auf. Maximiert werden soll hier der Flächeninhalt eines Rechtecks, mit Länge x und Breite y

A=x\cdot y

  • Schritt 2: Prüfe die Nebenbedingungen. Du hast maximal 40\mathrm{m} Zaun zur Verfügung, weißt aber, dass eine Seite durch die Steinmauer begrenzt wird. Daher gilt für den Umfang des Rechtecks

2x+y = 40

  • Schritt 3: Löse die Nebenbedingung nach y auf:

2x+y = 40 \quad \quad \quad \quad \quad \bigg| -2x

y =40-2x

  • Schritt 4: Setze die Nebenbedingung in die Zielfunktion ein um eine quadratische Funktion zu erhalten

A = x \cdot y = x \cdot (40-2x)

A = -2x^2+40x

  • Schritt 5: Bringe die quadratische Funktion mit quadratischer Ergänzung auf Scheitelpunktform:

f(x) = -2x^2+40x = -2(x^2-20x)

= -2(x^2-2 \cdot 10x+10^2-10^2)

=-2(x-10)^2+200

Der Scheitel der Parabel liegt beim Punkt S(10|200). Damit ist x=10\mathrm{m} und der maximale Flächeninhalt beträgt A=200\mathrm{m}^2. Daraus kannst du die Breite y des Rechtecks bestimmen als

y =40-2x = 40-2 \cdot 10 = 20.

 


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