Mathematische Grundlagen

ln Funktion

In diesem Artikel behandeln wir die ln Funktion. Dabei gehen wir auf den Zusammenhang zur Logarithmusfunktion und zur e Funktion ein. Zudem erklären wir dir die ln Regeln und rechnen Beispiele dazu.    

Du bist eher der audiovisuelle Lerntyp? Dann sieh dir einfach unser Video%Verweis dazu an. 

Inhaltsübersicht

ln Funktion einfach erklärt 

Die ln Funktion wird auch natürliche Logarithmusfunktion genannt. Denn sie entspricht der Logarithmusfunktion%Verweis zur Basis e

Die Funktionsvorschrift der ln Funktion lautet: 

f(x)=\ln(x)=\log_e(x).

Dabei ist e eine Konstante, die sogenannte eulersche Zahl e=2,71828...

ln Funktion natürlicher Logarithmus
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ln Funktion

ln Regeln 

Für die Funktion ln(x) gelten bestimmte Rechenregeln, die sich aus denen der Logarithmusfunktionen%Verweis ergeben. 

ln Regeln

\ln(a\cdot b)=\ln(a) + \ln(b)

\ln\left(\frac{a}{b}\right)= \ln(a)-\ln(b)

\ln(a^b)=b\cdot \ln(a)

Diese ln Gesetze erleichtern dir in vielen Fällen das Rechnen mit der Funktion ln x, wie die folgenden Beispiele zeigen: 

Beispiel 1: \ln(4)-\ln(2)= \ln\left(\frac{4}{2}\right)=\ln(2).

Beispiel 2: 2 \cdot \ln(7)=\ln\left(7^2\right)=\ln(49).

Beispiel 3: \ln(3)+\ln(5)=\ln(3\cdot 5)=\ln(15).

Eigenschaften der ln Funktion 

Du weißt ja bereits, dass die ln Funktion eine spezielle Logarithmusfunktion ist. Das bedeutet, all deren Eigenschaften gelten auch für lnx .

Umkehrfunktion

Dementsprechend ist die Umkehrfunktion  von f(x)=\ln(x) die e Funktion%Verweis f^{-1}(x)=e^x. 

e Funktion ln Funktion Umkehrfunktion
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Umkehrfunktion von ln(x)

 

Für die ln Funktion und die e Funktion gilt daher:

e^{\ln(x)}=x=\ln(e^x). 

Nullstelle

Da ln(x) eine Logarithmusfunktion ist, liefert dir ln(1) die Antwort auf die Frage: Mit welcher Zahl muss ich e potenzieren, damit ich eins erhalte? Es gilt e^0=1 und somit 

\ln(1)=0.

Damit hast du auch schon die einzige Nullstelle%Verweis der Funktion gefunden, nämlich x=1. 

Hinweis: Ebenfalls leicht zu berechnen ist ln(e). Hier stellst du dir wieder die Frage, mit welcher Zahl muss ich e potenzieren um e zu erhalten. Es gilt e^1=e und somit 

\ln(e)=1.

Monotonie

Eine weitere Eigenschaft, die du auch am Graph erkennen kannst, ist die strenge Monotonie der Funktion. Denn sie wächst stets weiter an.

Zudem verläuft der Graph nur im ersten und vierten Quadranten.

Das liegt daran, dass der Definitionsbereich  von ln(x) nur den positiven reellen Zahlen entspricht, also  

\mathbb{D}=\mathbb{R}^+.

ln x ist demnach für negative x-Werte und x=0 nicht definiert.

Der Grund hierfür ist, dass die e Funktion nur echt positive Werte annehmen kann und als Umkehrfunktion stimmt ihr Wertebereich mit dem Definitionsbereich von ln(x) überein. 

Grenzverhalten

Hier untersuchst du das Grenzverhalten von ln(x) für x \to 0. Dafür siehst du dir an, wie sich die Funktion für x-Werte nahe der Null verhält.  In diesem Fall nähert sie sich immer mehr der y-Achse und wird dabei immer negativer. Deshalb handelt sich bei der y-Achse um eine senkrechte Asymptote und es gilt

\lim \limits_{x\to 0} \ln(x)= -\infty.

Für x \to \infty lautet das Grenzverhalten der Funktion 

\lim \limits_{x \to \infty} \ln(x) = \infty.

Damit entspricht der Wertebereich von ln(x) den gesamten reellen Zahlen, das heißt

\mathbb{W}=\mathbb{R}.

Ableitung und Stammfunktion

Weitere wichtige Eigenschaften der Funktion f(x)=\ln(x) sind ihre 

Zusammenfassung ln Funktion

Zum Schluss fassen wir alles noch einmal zusammen: 

Funktion f(x)=\ln(x)
Definitionsbereich   \mathbb{D}=\mathbb{R}^+
Wertebereich   \mathbb{W}=\mathbb{R}
Monotonie  streng monoton wachsend
Schnittpunkt mit der x-Achse%Verweis Nullstelle P(1,0)
Schnittpunkt mit der y-Achse gibt es nicht
Asymptote senkrecht: x=0 (y-Achse)
Umkehrfunktion f^{-1}(x)=e^x (e Funktion%Verweis)
Ableitungsfunktion f'(x)=\frac{1}{x}
Stammfunktion F(x)=x \cdot \ln(x)-x+C

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