Funktionen
Quadratische Funktionen
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Quadratische Funktionen einfach erklärt

Eine quadratische Funktion erkennst du daran, dass ein x2 vorkommt, aber kein x3, x4, x5, usw… Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel

Hier siehst du den Graph der einfachsten quadratischen Funktion f(x) = x2. Den nennst du Normalparabel. 

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Normalparabel

Der Scheitelpunkt S ist der tiefste oder höchste Punkt einer Parabel. Bei einer Normalparabel liegt er im Punkt S(0|0).

Du kannst eine quadratische Funktion verändern, indem du

  • den Scheitelpunkt S in y-Richtung verschiebst (oben oder unten).
  • den Scheitelpunkt S in x-Richtung verschiebst (links oder rechts).
  • die Parabel streckst (dünner machst) oder stauchst (breiter machst).
  • sie an der x-Achse spiegelst (Öffnung zeigt nach unten).

Verschiebung in y-Richtung

Du kannst den Graphen einer quadratischen Funktion nach unten oder oben verschieben. 

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Verschiebung der Normalparabel in y-Richtung

Hier wurde die Funktion um 1 Einheit nach oben verschoben. Hinter die Funktion f(x) = x2 schreibst du also + 1

g(x) = x2+ 1

Verschiebst du die Normalparabel um 2 Einheiten nach unten, hängst du – 2 an die Funktion f(x) = x2 an.

h(x) = x2 – 2

Verschiebung der Normalparabel in y-Richtung

Verschiebung um e nach oben: f(x) = x2 + e
Verschiebung um e nach unten: f(x) = x2 – e

Verschiebung in x-Richtung

Du kannst eine quadratische Funktion entlang der x-Achse nach rechts oder links verschieben.

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Verschiebung der Normalparabel in x-Richtung

Willst du den Scheitelpunkt S einer Normalparabel f(x) = x2  um 2 Einheiten nach rechts verschieben, lautet die neue Funktionsgleichung

g(x) = (x – 2)2

Bei einer Verschiebung nach links um 3 Einheiten, schreibst du 

h(x) = (x + 3)2

Eine Verschiebung in x-Richtung erkennst du an der Zahl innerhalb der Klammer. Steht vor der Zahl ein Minus (-), verschiebst du den Graphen nach rechts. Bei einem Plus (+) verschiebst du den Graphen die quadratischen Funktion nach links.

Verschiebung der Normalparabel in x-Richtung

Verschiebung um d nach rechts: f(x) = (x – d)2  
Verschiebung um d nach links: f(x) = (x + d)2

Streckung/Stauchung

Willst du eine quadratische Funktion strecken (schmaler) oder stauchen (breiter), rechnest du die Funktion mal den Wert a. Aus f(x) = x2 wird dann

f(x) = a · x2

Ist a größer als 1, wird der Graph schmaler. Sie ist gestreckt.
Ist a größer als 0 und kleiner als 1, wird der Graph breiter. Sie ist gestaucht.

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Streckung und Stauchung der Normalparabel

Die Funktion g(x) = 3 · x2 hat den Faktor 3. Die Parabel ist gestreckt, also schmaler als die Normalparabel.

Die Funktion h(x) = 0,25 · x2 hat den Faktor 0,25. Die Parabel ist gestaucht, also breiter als die Normalparabel.

Streckung/Stauchung der Normalparabel

Streckung (schmaler): f(x) = a · f(x) (a größer als 1; 1 < a)
Stauchung (breiter): f(x) = a · f(x)     (a größer als 0 und kleiner als 1; 0 < a < 1)

Die Normalfunktion hat eigentlich den Faktor a = 1 (f(x) = 1 · x2). Du kannst ihn aber weglassen, weil sie weder gestreckt, noch gestaucht wird.

Spiegelung an x-Achse

Wenn der Faktor a negativ ist, wird deine quadratische Funktion an der x-Achse nach unten gespiegelt.

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Spiegelung der Normalparabel an x-Achse

Der blaue Graph ist eine gespiegelte Normalparabel. Sie hat die Funktionsgleichung

g(x) = – 1 · x2.

Die Funktion h(x) = – 3 · x2 hat den Faktor – 3. Du spiegelst die quadratische Funktion wegen dem Minus-Zeichen an der x-Achse und streckst sie wegen der Zahl 3.

Spiegelung an der x-Achse

Spiegelung, wenn Faktor a negativ.
h(x) = – 3 · x2 ist die Spiegelung von f(x) = 3 · x2.

Kombination

Bei quadratischen Funktionen kannst du natürlich auch gleichzeitig Verschiebungen, Stauchungen und Spiegelungen haben.

Schau dir die Funktion g(x) = 3 · (x – 3)2 -2 an.

Du erhältst den Graphen für g(x) indem du die Normalparabel f(x) = x2 entsprechend veränderst.

Um g(x) zu bekommen,

  • verschiebst du f(x) um 2 Einheiten nach untenf1(x) = x2 -2
  • verschiebst du f1(x) um 3 Einheiten nach rechts f2(x) = (x – 3)2 -2
  • streckst du f2(x) mit dem Faktor 3f3(x) = 3 · (x – 3)2 -2
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Verschiebung und Streckung der Normalparabel

Bist du alle Veränderungen durchgegangen, erhältst du deine Funktion g(x) = 3 · (x – 3)2 -2.

Quadratische Funktionen Formel

Quadratische Funktionen kannst du auf verschiedene Weisen darstellen. Alle haben ihre Vor- und Nachteile. 

Quadratische Funktionen Formel
  • Scheitelpunktform: f(x) = a · (x – d)2 + e
  • Allgemeine Form : f(x) = a · x2 + b · x +c
  • Faktorisierte Form: f(x) = (x – x1) · (x – x2)

Die Scheitelpunktform zeigt dir direkt die Koordinaten des Scheitelpunkts S(d|e).

Die allgemeine Form kannst du direkt in die Mitternachtsformel einsetzen, um die Nullstellen auszurechnen.

Und bei der faktorisierten Form siehst du sofort die Nullstellen der quadratischen Funktion.

Du kannst eine Form auch in eine andere umwandeln. Willst du zum Beispiel die allgemeine Form in die Scheitelpunktform bringen, brauchst du die quadratische Ergänzung .

Funktionsgleichung bestimmen

Je nach deinen gegebenen Informationen, kannst du die Funktionsgleichungen von quadratischen Funktion ganz einfach selbst bestimmen.

Hier zeigen wir dir das Vorgehen anhand eines Beispiels.

Beispiel: Funktionsgleichung von Parabeln bestimmen

Stell dir vor, du hast eine Parabel mit dem Scheitelpunkt S(1|4,5), die außerdem durch den Punkt P(4|0) verläuft. Nun möchtest du die Funktionsgleichung berechnen.

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Beispiel: Funktionsgleichung einer Parabel bestimmen

Dann befolgst du am besten diese Schritt-für-Schritt-Anleitung: 

  • Schritt 1: Schreibe die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform auf:

f(x) = a · (x – d)2 + e

  • Schritt 2: Setze die Koordinaten des Scheitelpunktes S(1|4,5) mit e = 4,5 und d = 1 ein. Damit ergibt sich

   f(x) = a · (x – 1)2 + 4,5

  • Schritt 3: Um a zu berechnen, setzt du als nächstes den Punkt P(4|0) in die Funktionsgleichung ein:

0 = a · (4 – 1)2 + 4,5

0 = a · 32 + 4,5

0 = 9a + 4,5\quad\quad| -4,5

– 4,5 = 9a\quad\quad| ÷ (- 4,5)

a = – 0,5

  • Schritt 4: Setze a in die Funktionsgleichung ein und multipliziere den Funktionsterm aus.

f(x) = – 0,5 (x – 1)2 + 4,5 = -0,5x2 + x + 4

Nullstellen berechnen

Quadratische Funktionen haben entweder eine, zwei oder gar keine Nullstelle

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Nullstellen von quadratischen Funktionen

Um die Nullstellen der quadratischen Funktion zu berechnen, kannst du verschiedene Tricks und Formeln benutzen. Den ausführlichen Artikel zum Berechnen von Nullstellen findest du hier .

Bei quadratischen Funktionen in faktorisierter Form f(x) = (x – x1) · (x – x2), kannst du die Nullstellen x1 und x2 direkt ablesen. 

Bei der allgemeinen Form f(x) = a · x2 + b · x +c, kannst du die Mitternachtsformel verwenden.

Mitternachtsformel

a\cdot x^2 + b \cdot x + c = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x_{1,2} = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4\cdot a \cdot c}}{2\cdot a}

Hast du die Normalform mit a = 1 gegeben, kannst du auch die pq-Formel  verwenden. 

pq-Formel

x^2+p\cdot x +q = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad  x_{1,2} = -\cfrac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\cfrac{p}{2}\right)^2-q}

Für besonders schöne quadratische Funktionen kannst du auch den Satz von Vieta anwenden:

Satz von Vieta

Hat f(x) = x^2+p\cdot x + q die beiden Nullstellen x_1 und x_2, so können sie wie folgt berechnet werden

(I) x_1+x_2 = -p und (II) x_1 \cdot x_2 = q

Eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform kannst du nach x auflösen, indem du die Wurzel ziehst. Hier brauchst du weder Mitternachtsformel noch Vieta. 

Ganzrationale Funktionen

Die quadratischen Funktionen hast du verstanden, aber du fragst dich, was es mit ganzrationalen Funktionen auf sich hat? Hier findest du alles, was du wissen musst!

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