Wie erkenne ich schnell, ob ein Polynom überhaupt reelle Nullstellen hat?

Schnell erkennst du reelle Nullstellen nur sicher bei Polynomen 2. Grades: Über die Diskriminante gilt zwei, eine doppelte und keine reellen Nullstellen. Bei höheren Graden gibt es keinen allgemeinen Schnelltest, dann helfen Vorzeichenwechsel und Funktionswerte.

Welche Fehler passieren oft, wenn ich aus einer Nullstelle einen Linearfaktor mache?

Häufige Fehler beim Linearfaktor sind das falsche Vorzeichen und das Vergessen von Klammern bei negativen Nullstellen. Beispiel: Aus der Nullstelle wird der Faktor , nicht . Ein weiterer Fehler ist, den Vorfaktor des Polynoms in der Produktform wegzulassen.

Wie finde ich bei höheren Polynomen sinnvolle Kandidaten zum Ausprobieren?

Sinnvolle Kandidaten zum Ausprobieren sind bei ganzzahligen Koeffizienten die Teiler des konstanten Terms (und bei Leitkoeffizient zusätzlich deren Brüche). Das folgt aus dem Rationalen-Nullstellen-Kriterium. Beispiel: Bei konstantem Term 12 testest du zuerst durch Einsetzen.

Wie gehe ich vor, wenn eine Nullstelle doppelt vorkommt?

Wenn eine Nullstelle doppelt vorkommt, erscheint ihr Linearfaktor zweimal, also als Potenz: . Praktisch merkst du das daran, dass nach der Polynomdivision durch im Quotienten dieselbe Nullstelle erneut eine Nullstelle ist. Beispiel: Ergibt sich nach dem Teilen wieder , dann steht in der Zerlegung.

Wann darf ich bei gebrochenrationalen Funktionen Faktoren kürzen?

Bei gebrochenrationalen Funktionen darfst du nur identische Faktoren kürzen, die als Faktoren im Zähler und im Nenner stehen, also nach dem vollständigen Faktorisieren. Dabei verschwinden keine Verbote: Jede Nullstelle des ursprünglichen Nenners bleibt aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen. Beispiel: darf nur gekürzt werden, wenn es wirklich als Faktor oben und unten vorkommt.

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Linearfaktorzerlegung

Wichtige Inhalte in diesem Video

Linearfaktorzerlegung Einfach erklärt

(00:13)

Linearfaktorzerlegung Vorgehensweise

(01:11)

Beispiel: Polynome 2. Grades

(01:43)

Beispiel: Linearfaktorzerlegung mit Vorfaktor

(03:20)

Linearfaktorzerlegung bei höheren Polynomen

(03:30)

Beispiel: Linearfaktorzerlegung mit Polynomdivision

(04:32)

Mit der Linearfaktorzerlegung kannst du ein Polynom durch seine Linearfaktoren darstellen. Im Video zeigen wir dir ausführlich, wie du dabei vorgehen musst.

Inhaltsübersicht

Linearfaktorzerlegung Einfach erklärt

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(00:13)

Die Linearfaktorzerlegung ist eine andere Darstellung der Polynomfunktion (also eines mehrgliedrigen Terms). Mit ihr lassen sich die Nullstellen des Polynoms direkt ablesen.

Was ist die Linearfaktorzerlegung?

Bei der Linearfaktorzerlegung wird ein Polynom von der Normalform

f(x) = a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₀

in die Linearfaktordarstellung oder Produktform gebracht.

f(x) = a(x-x₁)(x-x₂)…(x-x_n) · Restglied

Die einzelnen Klammern sind die Linearfaktoren des Polynoms. Dabei handelt es sich immer um einen der Term der Form ( x – Zahl ). Die Zahlen x₁, x₂, …, x_nsind die Nullstellen des Polynoms. Das Restglied ist der Teil der Funktion, der keine Nullstellen mehr besitzt.

Beispiele

Normalform 6x² – 12x – 18 ⇔ 6 · ( x + 1 )( x – 3 ) Produktform

Normalform x² + 3x – 4 ⇔ ( x – 1 )( x + 4 ) Produktform

Normalform x² – 2x – 8 ⇔ ( x + 2 )( x – 4 ) Produktform

Linearfaktorzerlegung Vorgehensweise

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(01:11)

Möchtest du eine Linearfaktorzerlegung durchführen, dann befolgst du immer diese Schritte:

Vorfaktor ausklammern
Nullstellen berechnen
Linearfaktoren aufstellen
Linearfaktoren in die Produktform bringen
Ausmultiplizieren zur Kontrolle

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Beispiel: Polynome 2. Grades

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(01:43)

Wir wollen nun die quadratische Funktion f(x) = x²+ 4x + 3 in ihre Linearfaktoren zerlegen.

Schritt 1: Vorfaktor ausklammern

Der Vorfaktor von $\text{x}^\text{2}$ ist 1, also musst du ihn nicht ausklammern.

Schritt 2: Nullstellen berechnen

Zunächst müssen die Nullstellen des Polynoms berechnet werden. Dazu kannst du die PQ-Formel , die Mitternachtsformel oder die ABC-Formel anwenden.

f ( x ) = x²+ 4x + 3 = 0

In diesem Beispiel berechnen wir die Nullstellen mithilfe der Mitternachtsformel.

$x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Die Nullstellen des Polynoms liegen also bei x₁= – 1 und x₂= – 3.

Merke

Wenn eine Funktion keine Nullstellen hat, kann sie nicht weiter zerlegt werden.

Schritt 3: Linearfaktoren aufstellen

Um die Funktion in ihre Produktform zu bringen, musst du für jede Nullstelle einen Linearfaktor bilden. Dafür bildest du eine Klammer die aus „x Minus Nullstelle“ besteht.

x₁= – 1 ⇒ ( x – ( – 1 )) = ( x + 1 )

x₂= – 3 ⇒ ( x – ( – 3 )) = ( x + 3 )

Schritt 4: Linearfaktoren in die Produktform bringen

Die Klammern multiplizierst du zum Schluss noch, schreibst sie also hintereinander:

f(x) = ( x + 1 ) ( x + 3 )

Schritt 5: Probe durch Ausmultiplizieren

Das Ergebnis kannst du jetzt noch überprüfen, indem du den Term ausmultiplizierst. Dabei muss das ursprüngliche Polynom entstehen:

f( x ) = ( x + 1 ) ( x + 3 ) = x² + 3x + 1x + 3 = x² + 4x + 3

Beispiel: Linearfaktorzerlegung mit Vorfaktor

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(03:20)

Hat eine Funktion einen Vorfaktor (Zahl) vor x² bzw. dem höchsten Polynom, dann muss dieser auch in der Linearfaktordarstellung vorangestellt werden.

Beispiel:

In diesem Beispiel haben wir einen Vorfaktor 2. Den merkst du dir, da du ihn später für die Linearfaktordarstellung brauchst.

f( x ) = 2x²+ 3x + 1

Schritt 1: Vorfaktor ausklammern

Den Vorfaktor von $\text{x}^\text{2}$ , nämlich 2, klammert du aus.

$\text{f(x)}=\textcolor{blue}{2}\cdot(\frac{2}{2}\text{x}^2 + \frac{3}{2}\text{x} + \frac{1}{2})$

Schritt 2: Nullstellen berechnen

Mitternachtsformel auf Term in Klammer anwenden:

$\text{x}_{1,2}=\frac{-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\left( \frac{3}{2} \Right)^2-4 \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2}}}{2 \cdot \frac{2}{2}}$

x₁ = – 0,5 und x₂ = – 1

Schritt 3: Linearfaktoren aufstellen

x₁ = – 0,5 → ( x + 0,5 )

x₂ = – 1 → ( x + 1 )

Schritt 4: Linearfaktoren in die Produktform bringen

Jetzt musst du die Klammern zusammenführen und das Ganze mit dem Vorfaktor aus der Normalform – also 2 – multiplizieren:

f( x ) = 2x²+ 3x + 1 = $\text{f(x)}=\text{\textcolor{blue}{2}}\cdot(\frac{2}{2}\text{x}^2 + \frac{3}{2}\text{x} + \frac{1}{2})$ → f(x) = 2( x + 0,5 )( x + 1 )

Schritt 5: Probe durch Ausmultiplizieren

2 ( x + 0,5 )( x + 1 ) = ( 2x + 1 )( x + 1 ) = 2x² + 2x + x + 1 = 2x² + 3x + 1

Linearfaktorzerlegung bei höheren Polynomen

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(03:30)

Hast du eine Funktion höheren Grades als 2 gegeben, musst du die Nullstellen mit einer anderen Methode finden:

Durch Ausklammern kannst du manchmal den Grad des Restpolynoms reduzieren
Durch Raten/Ausprobieren findest du oft eine der Nullstellen
Mit der Polynomdivision kannst du den Grad des Polynoms reduzieren, indem du das Polynom durch den Linearfaktor der gefundenen Nullstelle teilst

Wie du dabei vorgehst, siehst du jetzt.

Beispiel: Linearfaktorzerlegung mit Ausklammern

Enthält jeder Summand der Funktion die Variable x, kannst du diese ausklammern, um wieder eine quadratische Funktion zu erhalten.

f ( x ) = x³– 6x²+ 5x

f ( x ) = x ( x²– 6x + 5 ) = 0

Schritt 1: Vorfaktor ausklammern

Der Vorfaktor von $\text{x}^\text{3}$ ist 1, das musst du nicht ausklammern.

Schritt 2: Nullstellen berechnen

Da das Produkt 0 ergeben soll, kann man die einzelnen Faktoren gleich 0 setzen:

x₁= 0

x²– 6x + 5 = 0

Daher hat f(x) immer eine Nullstelle x₁=0.

Die anderen Nullstellen können mittels der Mitternachtsformel berechnet werden.

f(x) = x²– 6x + 5 = 0

$x_{1,2} = \frac{ 6 \pm \sqrt{ (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x₂= 5 x₃= 1

Schritt 3: Linearfaktoren aufstellen

x₁= 0 → ( x – 0 ) = x

x₂= 5 → ( x – 5 )

x₃= 1 → ( x – 1 )

Schritt 4: Linearfaktoren in Produktform bringen

f ( x ) = x ( x – 5 ) ( x – 1 )

Schritt 5: Probe durch Ausmultiplizieren

f ( x ) = ( x² – 5x )( x – 1 )

= x³ – x² – 5x² + 5x

= x³ – 6x² + 5x

Beispiel: Linearfaktorzerlegung mit Polynomdivision

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(04:32)

Enthält ein Summand der Funktion kein x, benötigen wir die Polynomdivision , um das Polynom in Linearfaktoren zu zerlegen.

Achtung

Hast du eine Funktion 4. Grades oder höher gegeben, muss die Polynomdivision mehrmals durchgeführt werden. Solange bis du als Ergebnis eine Funktion 2. Grades erhältst.

Wir haben die Funktion f(x) = x³ – 7x² + 14x – 8 gegeben.

1. Schritt: Vorfaktor ausklammern

Der Vorfaktor von $\text{x}^\text{3}$ ist 1, also musst du nichts ausklammern.

2. Schritt: Nullstellen

Für die Polynomdivision musst du bereits eine Nullstelle kennen. Die hast du entweder gegeben oder du kannst sie leicht durch raten und einsetzen herausfinden.

In diesem Beispiel haben wir eine Nullstelle bei 1.

Du teilst daher durch das Polynom f( x ) = ( x – 1 ).

$\begin{alignat*}{6} (1&x^3&-7&x^2&+14&x&-8&):(x-1)=x^2-6x+8 \\ -(1&x^3&-1&x^2) \\ \cline{1-4} &&-6&x^2&+14&x&-8 \\ &&-(-6&x^2&+6&x)\\ \cline{3-7} &&&&8&x&-8&\\&&&&-(8&x&-8&)\\ \cline{5-7}&&&&0 \end{alignat*}$

Nach Anwendung der Polynomdivision hast du wieder eine quadratische Funktion gegeben und kannst wie im ersten Beispiel mit der Berechnung der Nullstellen fortfahren.

In diesem Beispiel verwenden wir die PQ-Formel:

$x_{1/2} = -\frac{6}{2}\pm \sqrt{\frac{6^2}{4}-8}$

Dadurch erhalten wir die Punkte x₂= 2 und x₃= 4.

3. Schritt: Linearfaktoren aufstellen

x₁ = 1 → ( x – 1 )

x₂= 2 → ( x – 2 )

x₃= 4 → ( x – 4 )

4. Schritt: Linearfaktoren in Produktform bringen

Als faktorisierte Darstellung erhalten wir:

f ( x ) = ( x – 1 ) ( x – 2 ) ( x – 4 )

5. Schritt: Ausmultiplizieren zur Kontrolle

f ( x ) = ( x² – 2x – 1x + 2 ) ( x – 4 )

= x³ – 4x² – 2x² + 8x – 1x² + 4x + 2x – 8

= x³ – 7x² + 14x – 8

Linearfaktorzerlegung — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie erkenne ich schnell, ob ein Polynom überhaupt reelle Nullstellen hat?

Schnell erkennst du reelle Nullstellen nur sicher bei Polynomen 2. Grades: Über die Diskriminante gilt zwei, eine doppelte und keine reellen Nullstellen. Bei höheren Graden gibt es keinen allgemeinen Schnelltest, dann helfen Vorzeichenwechsel und Funktionswerte.
Welche Fehler passieren oft, wenn ich aus einer Nullstelle einen Linearfaktor mache?

Häufige Fehler beim Linearfaktor sind das falsche Vorzeichen und das Vergessen von Klammern bei negativen Nullstellen. Beispiel: Aus der Nullstelle wird der Faktor , nicht . Ein weiterer Fehler ist, den Vorfaktor des Polynoms in der Produktform wegzulassen.
Wie finde ich bei höheren Polynomen sinnvolle Kandidaten zum Ausprobieren?

Sinnvolle Kandidaten zum Ausprobieren sind bei ganzzahligen Koeffizienten die Teiler des konstanten Terms (und bei Leitkoeffizient $\neq 1$ zusätzlich deren Brüche). Das folgt aus dem Rationalen-Nullstellen-Kriterium. Beispiel: Bei konstantem Term 12 testest du zuerst $\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12$ durch Einsetzen.
Wie gehe ich vor, wenn eine Nullstelle doppelt vorkommt?

Wenn eine Nullstelle doppelt vorkommt, erscheint ihr Linearfaktor zweimal, also als Potenz: . Praktisch merkst du das daran, dass nach der Polynomdivision durch im Quotienten dieselbe Nullstelle erneut eine Nullstelle ist. Beispiel: Ergibt sich nach dem Teilen wieder , dann steht in der Zerlegung.
Wann darf ich bei gebrochenrationalen Funktionen Faktoren kürzen?

Bei gebrochenrationalen Funktionen darfst du nur identische Faktoren kürzen, die als Faktoren im Zähler und im Nenner stehen, also nach dem vollständigen Faktorisieren. Dabei verschwinden keine Verbote: Jede Nullstelle des ursprünglichen Nenners bleibt aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen. Beispiel: darf nur gekürzt werden, wenn es wirklich als Faktor oben und unten vorkommt.

Beispiel: Gebrochenrationale Gleichungen

Bei einer gebrochenrationalen Gleichung muss für Zähler und Nenner jeweils eine Linearfaktorzerlegung nach den oben aufgeführten Verfahren durchgeführt werden.

$g(x)=\cfrac{3x^2+10x+8}{2x^2-4x-16}$

Da wir sowohl im Nenner als auch im Zähler eine quadratische Gleichung gegeben haben, kannst du die Funktionen wieder in die Mitternachtsformel einsetzen. Dabei erhältst du im Zähler die Nullstellen -2 und – $\frac{4}{3}$ und im Nenner die Nullstellen 4 und -2.