Analysis

Exponentialfunktion

In diesem Artikel erklären wir dir die Exponentialfunktion mit ihren speziellen Eigenschaften und gehen auch anhand ausgewählter Beispiele  auf das exponentielle Wachstum beziehungsweise  den exponentiellen Zerfall ein. 

Schau dir unser Video%Verlinken wenn verfügbar an, wenn du direkt sehen willst, wie sich eine Exponentialfunktion verhält!

Inhaltsübersicht

Exponentialfunktion einfach erklärt

Eine Exponentialfunktion ermöglicht es dir, exponentielles Wachstum zu beschreiben. Sie hat die Form f(x)=a \cdot b^x und heißt Exponentialfunktion, da sie im Exponenten ein x enthält. Ein Beispiel dafür, das die Welt im Jahr 2020 in Atem hielt, ist das sogenannte Corona-Virus. Hier verdoppelt sich die Anzahl der Infizierten alle paar Tage. Weniger dramatische Beispiele wären der radioaktive Zerfall oder auch der Zerfall von Bierschaum im Glas. Hier ist jeweils das Zeitintervall konstant, indem sich der Anfangswert um die Hälfte halbiert. Dieser Zeitraum wird als Halbwertszeit bezeichnet. 

Eine Exponentialfunktion beschreibt immer einen Graphen ähnlich der folgenden Form:

exponentialfunktion 2 hoch x 2^x
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Beispiel einer Exponentialfunktion

Du siehst im Bild, dass Exponentialfunktionen sehr viel schneller steigen, als die linearen Funktionen%verlinken wenn verfügbar.

Exponentialfunktion Formel

Allgemein kann man exponentielles Wachstum oder exponentiellen Zerfall als Funktion der folgenden Form darstellen:

Allgemeine Exponentialfunktion

f(x) = a \cdot b^x

Sprechweise: „a mal b hoch x“ 

In dieser Formel steht die Variable x immer im Exponenten. Der Parameter a gibt den Anfangswert wieder und die Basis b zeigt an, wie steil die Kurve verläuft. 

Für die im Bild dargestellte Funktion f(x)=2^x ist der Anfangswert a=1 und die Basis b=2. Das bedeutet, dass sich der Wert mit jedem Schritt verdoppelt. 

Merke: Der Anfangswert a kann jeden beliebigen Wert außer Null annehmen. Die Basis b muss größer null sein!

Bedingungen für Anfangswert a und Basis b

a \neq 0  und  b \in \mathbb{R}^+

Exponentialfunktion Eigenschaften

Je nachdem, welche Werte du für a und b einsetzt, erhältst du verschiedene steigende oder fallende Funktionsgraphen. Die möglichen Fälle stellen wir dir hier vor: 

Fall 1: f(x)=bx  für b > 1

Je größer a ist, desto schneller steigt die Exponentialfunktion streng monoton an. Da in jedem dieser Beispiele a=1 ist, gehen sie alle durch den Punkt (0|1).

Exponentialfunktion, exponentielles Wachstum
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Exponentialfunktionen mit Basis b größer Null

Fall 2:  f(x)=bfür 0 < b < 1

Liegt b im Intervall (0,1), so fällt die Exponentialfunktion. Man spricht bei diesen streng monoton fallenden Funktionen auch von exponentiellem Zerfall. Je kleiner b ist, desto schneller fällt der Funktionsgraph

Exponentialfunktion, exponentieller Zerfall
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Exponentialfunktion mit Basis b kleiner Eins

Merke: Für b=1 erhältst du eine waagrechte Gerade und keine Exponentialfunktion!

Fall 3:  f(x) = a · bfür a > 0

Unabhängig von der Basis b kann auch der Anfangswert gewählt werden. Für a>0 ist das gerade der y-Achsenabschnitt. Die unten stehende Graphik zeigt die Verschiebung der Exponentialfunktion jeweils für b=2.

Exponentialfunktion, exponentielles Wachstum
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Exponentialfunktionen mit Anfangswert a größer Null

Fall 4:  f(x) = a · bx für a < 0

Hat a ein negatives Vorzeichen, so wird der Funktionsgraph zusätzlich noch an der y-Achse gespiegelt. Hier im Bild siehst du den Fall, dass zusätzlich b<1 ist.

Exponentialfunktion, exponentielles Wachstum Anfangswert
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Exponentialfunktionen mit Anfangswert a kleiner Null

Verschiebung entlang der y-Achse

Eine Exponentialfunktion kann im Koordinatensystem mithilfe des Parameters d in y-Richtung, das heißt nach oben oder unten verschoben werden. Sie hat dann die Funktionsgleichung:

Funktionsgleichung von in y-Richtung verschobenen Exponentialfunktionen

f(x) = a \cdot b^x+d

Verschiebung Exponentialfunktion
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Verschiebung  in y-Richtung
Zusammenfassung 

\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} a\cdot b^x = 0    oder    \lim\limits_{x\rightarrow \infty} a\cdot b^x = 0.

  • Ihr Wertebereich   ist entweder \mathbb{W}= \mathbb{R}^+ oder \mathbb{W}= \mathbb{R}^-.
  • Der Funktionsgraph geht immer durch den Punkt (a|0). Das liegt daran, dass

f(0) = a \cdot b^0 = a \cdot 1.

  • Es gelten spezielle Rechenregeln für Exponentialfunktionen:

b^{c+x} = b^c \cdot b^x

b^{c\cdot x} = \left(b^c\right)^x.

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion f(x)=a \cdot b^x heißt Logarithmusfunktion und ist definiert als

f^{-1}(x)=\log\limits_b(x).

Sprechweise: „Logarithmus von x zur Basis b“.

Du brauchst die Logarithmusfunktion immer dann, wenn du die Funktionsgleichung f(x)=a\cdot b^x nach x auflösen möchtest. Detailliert erklären wir dir das in einem separaten Video%Logarithmus-Funktion verlinken.

Exponentialfunktion Aufgaben und Anwendungen

Nachdem die Exponentialfunktion im echten Leben allgegenwärtig ist, stellen wir dir hier zwei typische Anwendungsaufgaben vor. 

Aufgabe 1: 

Eine Bakterienkultur hat eine Verdopplungszeit von einer Stunde. Zu Anfang besteht die Kultur aus 500 Bakterien. 

a) Stelle die Funktionsgleichung auf, die das exponentielle Wachstum der Bakterien in Abhängigkeit von der Zeit t beschreibt.

b) Wie viele Bakterien sind es nach 3 Stunden?

c) Wann beträgt die Anzahl der Bakterien der Hundertfache des Anfangswerts?

Lösung: 

a) Die allgemeine Funktionsgleichung in Abhängigkeit von der Zeit t lautet hier f(t)=a \cdot b^t. Der Anfangswert a=500 gibt die Lage zum Zeitpunkt t=0 wieder. Nach einer Stunde hat sich der Bestand jeweils verdoppelt, das bedeutet b=2. Damit lautet die Funktionsgleichung

f(t) = 500 \cdot 2^t

Die Basis b könntest du auch berechnen, indem du dir überlegst, dass es nach einer Stunde schon 1000 Bakterien geben muss. Dann löst du  1000=500\cdot b ^1 nach b auf. 

b) f(3) = 500 \cdot 2^3 = 500 \cdot 8 = 4000

c) Die Hundertfache Anzahl von a=500 sind 50000. Diesen Wert setzt du in die Gleichung ein und löst sie nach t auf

50000= 500 \cdot 2^t \quad \quad \quad \quad \bigg| \div 500

100 = 2^t \quad \quad \quad \quad \bigg| \log\limits_2()

t=\log\limits_2(100) \approx 6,65

Nach ca. 6 Stunden und knapp 40 Minuten ist die Bakterienkultur auf 50000 gestiegen.

Aufgabe 2:

Beim Reaktorunglück in Tschernobyl wurde ca. 500 Gramm des radioaktiven Jod-131 freigesetzt. Die Halbwertszeit davon beträgt 8 Tage. 

a) Stelle die Funktionsgleichung auf, die den Jod-Zerfall in Abhängigkeit von den Tagen t beschreibt.

b) Wie viel Jod-131 ist nach einem Monat (30 Tage) noch vorhanden?

Lösung

a) Die allgemeine Formel, die den Zerfall beschreibt, lautet f(t) = a \cdot b^t. Der Anfangswert beträgt a=500. Um b zu berechnen, überlegen wir uns, dass nach 8 Tagen noch 250g Jod-131 vorhanden sein müssen.

250 = 500 \cdot b^8 \quad \quad \quad \quad \bigg| \div 500

\frac{1}{2} = b^8 \quad \quad \quad \quad \bigg| \sqrt[8]{\quad}

b=\sqrt[8]{\frac{1}{2} } = 0,917

Die Funktionsgleichung lautet somit f(t) = 500 \cdot 0,917^t.

b) f(30) = 500 \cdot 0,917^{30} = 37,16

Spezialfall e Funktion

Ein sehr wichtiger Spezialfall der Exponentialfunktion ist die e-Funktion. Sie wird manchmal auch als natürliche Exponentialfunktion bezeichnet und hat einige Besonderheiten, die wir dir hier nur ganz knapp zusammenfassen und ausführlich im Artikel e Funktion %verlinken, wenn verfügbar erklären. 

e Funktion oder natürliche Exponentialfunktion

f(x) = e^x mit Basis e \approx 2,7182

Die e Funktion ist deswegen so besonders, weil ihre Steigung in jedem Punkt gerade ihrem Funktionswert entspricht. Man kann deswegen auch sagen, dass die Ableitung von  f(x)=e^x immer ebenfalls f'(x)=e^x sein muss. 

Ihre Umkehrfunktion ist die ln-Funktion%verlinken, wenn verfügbar, die wir dir ebenfalls in einem eigenen Artikel vorstellen. 

Exponentialfunktion ableiten

Die Ableitung der Exponentialfunktion allgemein ist etwas komplizierter als bei der e-Funktion. 

Ableitung der Exponentialfunktion

Für f(x)=a\cdot b^x ist f'(x)=a\cdot \ln(b) \cdot b^x

Grund hierfür ist, dass du jede Exponentialfunktion mit einem einfachen Trick umschreiben kannst:

a \cdot b^x = a \cdot e^{x\cdot \ln(b).

Die rechte Seite davon kannst du mit der Kettenregel leicht ableiten. 

Integral

Auch das Integral einer Exponentialfunktion ist nicht ganz leicht zu berechnen. Dabei willst du das Ableiten sozusagen rückgängig machen und erhältst dann die Stammfunktion:

Stammfunktion der Exponentialfunktion

F(x) =\int a\cdot b^x dx = \cfrac{a}{\ln(b)}\cdot b^x


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