Punktprobe
Was ist eine Punktprobe und wie macht man eine Punktprobe? All das erfährst du hier und in unserem Video !
Inhaltsübersicht
Punktprobe einfach erklärt
Mit der Punktprobe überprüfst du rechnerisch, ob ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion (z. B. lineare oder quadratische Funktion ) liegt. Bei der Punktprobe setzt du die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und schaust, ob du eine wahre oder falsche Aussage bekommst.
✓ Wahre Aussage → Punkt liegt auf dem Graphen
✗ Falsche Aussage → Punkt liegt nicht auf dem Graphen
Beispiel: In der Abbildung siehst du, dass der Punkt P(1|3) auf dem Graphen der Funktion f(x) = x + 2 liegt. Prüfe nochmal rechnerisch nach, ob der Punkt tatsächlich auf der Geraden liegt.
Setze dazu die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein. Tipp: Ein Punkt hat immer die Form P(x|y). Das y setzt du für f(x) ein.
Punktprobe:
P(1|3) → f(x) = x + 2
3 = 1 + 2
3 = 3 ✓
Die Aussage ist wahr, weil auf beiden Seiten vom = dasselbe steht. Also liegt P auf dem Graphen!
Punktprobe Beispiele
Schau dir noch ein paar Beispiele zur Punktprobe bei Funktionen an:
Punktprobe lineare Funktion (Gerade)
Du willst wissen, ob ein Punkt auf der Geraden liegt? Dann mache eine Punktprobe mit der Geraden: Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte P1(2|1) und P2(3|4) auf dem Graphen von f(x) = 2x – 3 liegen.
1. Punktprobe mit P1(2|1)
P1(2|1) → f(x) = 2x – 3
1 = 2 · 2 – 3
1 = 4 – 3
1 = 1 ✓
→ Punkt liegt auf dem Graphen
2. Punktprobe mit P2(3|4)
P2(3|4) → f(x) = 2x – 3
4 = 2 · 3 – 3
4 = 6 – 3
4 = 3 ✗
→ Punkt liegt nicht auf dem Graphen
Liegt der Punkt auf der Geraden? Um das zu überprüfen, setzt du die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein. Ist die Aussage wahr, liegt der Punkt auf der Geraden. Ist die Aussage falsch, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.
Du kannst die Punktprobe in Mathe nicht nur bei linearen Funktionen machen, sondern auch bei den anderen Funktionstypen , zum Beispiel den quadratischen Funktionen.
Punktprobe quadratische Funktionen
Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt P(4|2) auf dem Graphen von f(x) = 3x2 – 6 liegt.
P(4|2) → f(x) = 3x2 – 6
2 = 3 · 42 – 6
2 = 48 – 6
2 = 42 ✗
→ Punkt liegt nicht auf dem Graphen
Die Punktprobe kannst du bei all diesen Funktionstypen durchführen:
- lineare Funktion
- quadratische Funktion
- ganzrationale Funktion
- Exponentialfunktion
- Logarithmusfunktion
- Wurzelfunktion
- Sinusfunktion
Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich
Fehlende Koordinaten berechnen
Manchmal hast du eine Gerade gegeben, zum Beispiel f(x) = 5x + 3 oder g(x) = 2x – 3 und eine x- oder y- Koordinate. Du sollst die fehlende Koordinate dann so bestimmen, dass der Punkt auf der Geraden liegt.
y – Koordinate bestimmen
Du hast die Gerade f(x) = 5x + 3 und den Punkt P(1|?). Welche y-Koordinate muss der Punkt haben, damit er auf dem Graphen liegt?
1. Setze die x-Koordinate in die Funktion ein:
f(x) = 5x + 3
f(x) = 5 · 1 + 3
2. Vereinfache die Rechnung. Da f(x) dasselbe ist wie y, kannst du es direkt so aufschreiben:
y = 5 · 1 + 3
y = 8
Fertig! Der Punkt P(1|8) liegt auf der Geraden f(x) = 5x + 3.
x – Koordinate bestimmen
Du hast die Gerade g(x) = 2x – 3 und den Punkt P(?|7) gegeben. Wie muss die x-Koordinate lauten, damit P auf der Geraden liegt?
1. Setze die y-Koordinate in die Funktion ein:
g(x) = 2x – 3
7 = 2x – 3
2. Löse nach x auf:
7 = 2x – 3 | + 3
10 = 2x | : 2
x = 5
Der Punkt P(5|7) liegt auf dem Graphen von g(x) = 2x – 3.
Punktprobe — häufigste Fragen
(ausklappen)
Punktprobe — häufigste Fragen
(ausklappen)-
Was genau prüfe ich mit einer Punktprobe?Mit einer Punktprobe prüfst du rechnerisch, ob ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion liegt. Dafür setzt du die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein und prüfst, ob eine wahre Aussage entsteht. Ist sie wahr, liegt der Punkt auf dem Graphen.
-
Welche Zahl setze ich bei der Punktprobe für x ein?Für x setzt du bei der Punktprobe die x-Koordinate des gegebenen Punktes ein. Ein Punkt hat die Form P(x|y), dabei ist die erste Zahl der x-Wert. Beim Punkt P(1|3) setzt du also x = 1 in die Funktionsgleichung ein.
-
Welche Zahl setze ich bei der Punktprobe für f(x) ein?Für f(x) setzt du bei der Punktprobe die y-Koordinate des Punktes ein. Das liegt daran, dass f(x) bei einem Funktionswert dasselbe ist wie y. Beim Punkt P(1|3) setzt du deshalb f(x) = 3 ein.
-
Woran sehe ich bei der Rechnung, ob der Punkt auf dem Graphen liegt?Du siehst es daran, ob am Ende auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens dieselbe Zahl steht. Dann ist die Aussage wahr und der Punkt liegt auf dem Graphen. Stehen unterschiedliche Zahlen da, ist die Aussage falsch und der Punkt liegt nicht darauf.
-
Wie finde ich bei einer Geraden die fehlende x-Koordinate, damit der Punkt auf der Geraden liegt?Du findest die fehlende x-Koordinate, indem du die y-Koordinate in die Geradengleichung einsetzt und nach x auflöst. Bei g(x) = 2x – 3 und P(?|7) schreibst du 7 = 2x – 3 und löst die Gleichung bis x = 5.
Schnittpunkt zweier Geraden
Jetzt weißt du alles über die Punktprobe in Mathe, besonders über die Punktprobe bei einer Gerade. Aber du kannst nicht nur bestimmen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, sondern auch, ob sich zwei Geraden schneiden. Wie das geht, zeigen wir dir hier !
