Linearfaktorzerlegung
Mit der Linearfaktorzerlegung kannst du ein Polynom durch seine Linearfaktoren darstellen. Im Video zeigen wir dir ausführlich, wie du dabei vorgehen musst.
Inhaltsübersicht
Linearfaktorzerlegung Einfach erklärt
Die Linearfaktorzerlegung ist eine andere Darstellung der Polynomfunktion (also eines mehrgliedrigen Terms). Mit ihr lassen sich die Nullstellen des Polynoms direkt ablesen.
Bei der Linearfaktorzerlegung wird ein Polynom von der Normalform
f(x) = anxn+an-1xn-1+…+a0
in die Linearfaktordarstellung oder Produktform gebracht.
f(x) = a(x-x1)(x-x2)…(x-xn) · Restglied
Die einzelnen Klammern sind die Linearfaktoren des Polynoms. Dabei handelt es sich immer um einen der Term der Form ( x – Zahl ). Die Zahlen x1, x2, …, xn sind die Nullstellen des Polynoms. Das Restglied ist der Teil der Funktion, der keine Nullstellen mehr besitzt.
Beispiele
Normalform 6x2 – 12x – 18 ⇔ 6 · ( x + 1 )( x – 3 ) Produktform
Normalform x2 + 3x – 4 ⇔ ( x – 1 )( x + 4 ) Produktform
Normalform x2 – 2x – 8 ⇔ ( x + 2 )( x – 4 ) Produktform
Beispiel: Polynome 2. Grades
Wir wollen nun die quadratische Funktion f(x) = x2 + 4x + 3 in ihre Linearfaktoren zerlegen.
Schritt 1: Vorfaktor ausklammern
Der Vorfaktor von ist 1, also musst du ihn nicht ausklammern.
Schritt 2: Nullstellen berechnen
Zunächst müssen die Nullstellen des Polynoms berechnet werden. Dazu kannst du die PQ-Formel , die Mitternachtsformel oder die ABC-Formel anwenden.
f ( x ) = x2 + 4x + 3 = 0
In diesem Beispiel berechnen wir die Nullstellen mithilfe der Mitternachtsformel.
Die Nullstellen des Polynoms liegen also bei x1 = – 1 und x2 = – 3.
Wenn eine Funktion keine Nullstellen hat, kann sie nicht weiter zerlegt werden.
Schritt 3: Linearfaktoren aufstellen
Um die Funktion in ihre Produktform zu bringen, musst du für jede Nullstelle einen Linearfaktor bilden. Dafür bildest du eine Klammer die aus „x Minus Nullstelle“ besteht.
x1 = – 1 ⇒ ( x – ( – 1 )) = ( x + 1 )
x2 = – 3 ⇒ ( x – ( – 3 )) = ( x + 3 )
Schritt 4: Linearfaktoren in die Produktform bringen
Die Klammern multiplizierst du zum Schluss noch, schreibst sie also hintereinander:
f(x) = ( x + 1 ) ( x + 3 )
Schritt 5: Probe durch Ausmultiplizieren
Das Ergebnis kannst du jetzt noch überprüfen, indem du den Term ausmultiplizierst. Dabei muss das ursprüngliche Polynom entstehen:
f( x ) = ( x + 1 ) ( x + 3 ) = x2 + 3x + 1x + 3 = x2 + 4x + 3
Beispiel: Linearfaktorzerlegung mit Vorfaktor
Hat eine Funktion einen Vorfaktor (Zahl) vor x2 bzw. dem höchsten Polynom, dann muss dieser auch in der Linearfaktordarstellung vorangestellt werden.
Beispiel:
In diesem Beispiel haben wir einen Vorfaktor 2. Den merkst du dir, da du ihn später für die Linearfaktordarstellung brauchst.
f( x ) = 2x2 + 3x + 1
Schritt 1: Vorfaktor ausklammern
Den Vorfaktor von , nämlich 2, klammert du aus.
Schritt 2: Nullstellen berechnen
Mitternachtsformel auf Term in Klammer anwenden:
x1 = – 0,5 und x2 = – 1
Schritt 3: Linearfaktoren aufstellen
x1 = – 0,5 → ( x + 0,5 )
x2 = – 1 → ( x + 1 )
Schritt 4: Linearfaktoren in die Produktform bringen
Jetzt musst du die Klammern zusammenführen und das Ganze mit dem Vorfaktor aus der Normalform – also 2 – multiplizieren:
f( x ) = 2x2 + 3x + 1 = → f(x) = 2( x + 0,5 )( x + 1 )
Schritt 5: Probe durch Ausmultiplizieren
2 ( x + 0,5 )( x + 1 ) = ( 2x + 1 )( x + 1 ) = 2x2 + 2x + x + 1 = 2x2 + 3x + 1
Linearfaktorzerlegung bei höheren Polynomen
Hast du eine Funktion höheren Grades als 2 gegeben, musst du die Nullstellen mit einer anderen Methode finden:
- Durch Ausklammern kannst du manchmal den Grad des Restpolynoms reduzieren
- Durch Raten/Ausprobieren findest du oft eine der Nullstellen
- Mit der Polynomdivision kannst du den Grad des Polynoms reduzieren, indem du das Polynom durch den Linearfaktor der gefundenen Nullstelle teilst
Wie du dabei vorgehst, siehst du jetzt.
Beispiel: Linearfaktorzerlegung mit Ausklammern
Enthält jeder Summand der Funktion die Variable x, kannst du diese ausklammern, um wieder eine quadratische Funktion zu erhalten.
f ( x ) = x3 – 6x2 + 5x
f ( x ) = x ( x2 – 6x + 5 ) = 0
Schritt 1: Vorfaktor ausklammern
Der Vorfaktor von ist 1, das musst du nicht ausklammern.
Schritt 2: Nullstellen berechnen
Da das Produkt 0 ergeben soll, kann man die einzelnen Faktoren gleich 0 setzen:
x1 = 0
x2– 6x + 5 = 0
Daher hat f(x) immer eine Nullstelle x1=0.
Die anderen Nullstellen können mittels der Mitternachtsformel berechnet werden.
f(x) = x2 – 6x + 5 = 0
x2 = 5 x3 = 1
Schritt 3: Linearfaktoren aufstellen
x1 = 0 → ( x – 0 ) = x
x2 = 5 → ( x – 5 )
x3 = 1 → ( x – 1 )
Schritt 4: Linearfaktoren in Produktform bringen
f ( x ) = x ( x – 5 ) ( x – 1 )
Schritt 5: Probe durch Ausmultiplizieren
f ( x ) = ( x2 – 5x )( x – 1 )
= x3 – x2 – 5x2 + 5x
= x3 – 6x2 + 5x
Beispiel: Linearfaktorzerlegung mit Polynomdivision
Enthält ein Summand der Funktion kein x, benötigen wir die Polynomdivision , um das Polynom in Linearfaktoren zu zerlegen.
Hast du eine Funktion 4. Grades oder höher gegeben, muss die Polynomdivision mehrmals durchgeführt werden. Solange bis du als Ergebnis eine Funktion 2. Grades erhältst.
Wir haben die Funktion f(x) = x3 – 7x2 + 14x – 8 gegeben.
1. Schritt: Vorfaktor ausklammern
Der Vorfaktor von ist 1, also musst du nichts ausklammern.
2. Schritt: Nullstellen
Für die Polynomdivision musst du bereits eine Nullstelle kennen. Die hast du entweder gegeben oder du kannst sie leicht durch raten und einsetzen herausfinden.
In diesem Beispiel haben wir eine Nullstelle bei 1.
Du teilst daher durch das Polynom f( x ) = ( x – 1 ).
Nach Anwendung der Polynomdivision hast du wieder eine quadratische Funktion gegeben und kannst wie im ersten Beispiel mit der Berechnung der Nullstellen fortfahren.
In diesem Beispiel verwenden wir die PQ-Formel:
Dadurch erhalten wir die Punkte x2 = 2 und x3 = 4.
3. Schritt: Linearfaktoren aufstellen
x1 = 1 → ( x – 1 )
x2 = 2 → ( x – 2 )
x3 = 4 → ( x – 4 )
4. Schritt: Linearfaktoren in Produktform bringen
Als faktorisierte Darstellung erhalten wir:
f ( x ) = ( x – 1 ) ( x – 2 ) ( x – 4 )
5. Schritt: Ausmultiplizieren zur Kontrolle
f ( x ) = ( x2 – 2x – 1x + 2 ) ( x – 4 )
= x3 – 4x2 – 2x2 + 8x – 1x2 + 4x + 2x – 8
= x3 – 7x2 + 14x – 8
Beispiel: Gebrochenrationale Gleichungen
Bei einer gebrochenrationalen Gleichung muss für Zähler und Nenner jeweils eine Linearfaktorzerlegung nach den oben aufgeführten Verfahren durchgeführt werden.
Da wir sowohl im Nenner als auch im Zähler eine quadratische Gleichung gegeben haben, kannst du die Funktionen wieder in die Mitternachtsformel einsetzen. Dabei erhältst du im Zähler die Nullstellen -2 und – und im Nenner die Nullstellen 4 und -2.
Da der Faktor (x+2) in der Linearfaktorzerlegung im Zähler und im Nenner steht, kannst du ihn kürzen.