Wie entscheide ich mit Zählergrad und Nennergrad die Asymptotenart?

Du entscheidest die Asymptotenart, indem du den Grad des Zählers Z mit dem Grad des Nenners N vergleichst. Für liegt eine waagrechte Asymptote vor, für eine schiefe und für eine kurvenförmige Asymptote. Eine senkrechte Asymptote entsteht, wenn der Nenner Null werden kann.

Wann ist die waagrechte Asymptote genau die x-Achse?

Die waagrechte Asymptote ist genau dann die x-Achse, wenn der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist. Dann geht der Funktionswert für große Beträge von gegen 0, also nähert sich der Graph der Geraden an.

Wie berechne ich die waagrechte Asymptote bei gleichem Grad?

Bei gleichem Grad (Zählergrad = Nennergrad) berechnest du die waagrechte Asymptote als Verhältnis der führenden Koeffizienten. Konkret bedeutet das: Du teilst den Koeffizienten vor der höchsten Potenz im Zähler durch den entsprechenden Koeffizienten im Nenner. Zum Beispiel hat die Asymptote .

Wie finde ich die senkrechte Asymptote bei einer gebrochenen Funktion?

Eine senkrechte Asymptote findest du, indem du die Nullstellen des Nenners bestimmst, also den Nenner gleich 0 setzt und nach löst. Beispiel: Bei gilt , daraus folgt , also liegt die senkrechte Asymptote bei .

Wie lese ich aus der Polynomdivision die schiefe Asymptote ab?

Aus der Polynomdivision liest du die schiefe Asymptote ab, indem du im Divisionsergebnis den Rest weglässt und nur den Quotienten als Geradengleichung nimmst. Beispiel: , ohne Rest ist die schiefe Asymptote .

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Asymptote berechnen

Du möchtest wissen, wie du Asymptoten berechnest? In diesem Artikel erklären wir es dir, anhand von Beispielen.

Inhaltsübersicht

Arten von Asymptoten

Um die Asymptote einer Funktion zu berechnen, musst du zuerst wissen, welche Art von Asymptote die Funktion hat. Insgesamt gibt es vier Arten von Asymptoten. Du unterscheidest sie anhand des Grads des Zählers und des Nenners der Funktion.

Art der Asymptote	Beschreibung	Wann tritt sie auf?
Waagrechte Asymptote	direkt ins Video springen Beispiel waagrechte Asymptote	Wenn der Grad des Zählers kleiner oder gleich dem Grad des Nenners ist: Z ≤ N
Senkrechte Asymptote	direkt ins Video springen Beispiel senkrechte Asymptote	Wenn der Nenner einer Funktion Null werden kann.
Schiefe Asymptote	direkt ins Video springen Beispiel schiefe Asymptote	Wenn der Grad des Zählers um genau eins größer ist als der des Nenners: Z = N+1
Kurvenförmige Asymptote	direkt ins Video springen Beispiel kurvenförmige Asymptote	Wenn der Grad des Zählers um mehr als eins größer ist als der des Nenners: Z > N+1

Jede dieser Asymptoten hat bestimmte Eigenschaften und ihre eigene Berechnungsmethode. Sie helfen dir jedoch, alle das Verhalten der Funktion zu verstehen und zu interpretieren.

Waagrechte Asymptote berechnen

Eine waagrechte Asymptote entspricht einer waagrechten Geraden im Koordinatensystem. Dadurch ist sie parallel zur x-Achse. Ihre Höhe kannst du durch Berechnen ermitteln.

Kurzanleitung:

Um eine waagrechte Asymptote zu berechnen, musst du den Grad des Zählers und des Nenners vergleichen. Dabei gibt es zwei Möglichkeiten:

Zählergrad < Nennergrad: die Funktion geht gegen 0 und die waagrechte Asymptote ist .
Zählergrad = Nennergrad: das Verhältnis der führenden Koeffizienten entspricht der Asymptote.

Waagrechte Asymptote — Beispiel

Wenn der Zählergrad gleich dem Nennergrad ist, berechnest du die Asymptote wie folgt:

Bestimme den Grad des Zählers und des Nenners: Im ersten Schritt suchst du die höchste Potenz von im Zähler und Nenner.
- Beispiel: $\frac{2\textcolor{green}{x^2} + 3}{1\textcolor{blue}{x^2} - 5}$
- Hier ist die höchste Potenz des Zählers 2 und die des Nenners ebenfalls 2. Somit ist der Zählergrad gleich dem Nennergrad.
Bestimme das Verhältnis der Koeffizienten: Um nun auf die Asymptote zu kommen, dividierst du die Koeffizienten vor der gemeinsamen höchsten Potenz.
- Dafür schaust du dir in unserem Beispiel die Zahlen vor dem x mit der höchsten Potenz an.
  $\frac{\textcolor{purple}{2}x^2 + 3}{\textcolor{purple}{1}x^2 - 5}$
- Der Koeffizient des Zählers ist 2 und der des Nenners 1.
- Daraus berechnest du nun die Asymptote, indem du den Koeffizienten des Zählers durch den des Nenners teilst:
  $\frac{2}{1}=2$
- Das Ergebnis entspricht unserer Asymptotengleichung. Im Beispiel haben wir also eine waagrechte Asymptote bei .

Übrigens: Die e-Funktion nähert sich asymptotisch der waagrechten Linie .

Senkrechte Asymptote berechnen

Senkrechte Asymptoten treten auf, wenn der Nenner einer Funktion Null werden kann. Denn da man nicht durch Null teilen darf, hat die Funktion für den entsprechenden x-Wert eine Definitionslücke. Das bedeutet, dass sich die x-Werte der Senkrechten immer weiter annähern, sie jedoch nie ganz berühren.

Kurzanleitung:

Um senkrechte Asymptoten zu berechnen, musst du die Nullstellen des Nenners bestimmen. Die Nullstellen entsprechen dann den senkrechten Asymptoten der Funktion.

Senkrechte Asymptote — Beispiel

Setze den Nenner gleich Null: Schaue dir den Nenner der Funktion an.
- Beispiel: $\frac{1}{x - 3}$
- Setze den Nenner gleich Null:
Löse die Gleichung: Bestimme die Werte von $x$ , die die Gleichung erfüllen.
- Ergebnis:
  x – 3 = 0 |+3
  x = 3
- Für x = 3 wird der Nenner Null. Das bedeutet, dass die Funktion eine senkrechte Asymptote bei .

Schiefe Asymptote berechnen

Schiefe Asymptoten entstehen, wenn der Grad des Zählers um genau eins höher ist als der des Nenners. Diese Asymptoten verlaufen schräg und geben dir Informationen über das lineare Wachstum der Funktion.

Kurzanleitung:

Um eine schiefe Asymptote zu berechnen, verwendest du die Polynomdivision. Dabei teilst du den Zähler durch den Nenner. Vom Ergebnis lässt du den Rest weg und erhältst dadurch die Gleichung der schiefen Asymptote.

Schiefe Asymptote — Beispiel

Führe die Polynomdivision durch:

Beispiel: $\frac{x^2 + x - 2 }{x + 3}$
Teile den Zähler durch den Nenner:
$\begin{align*} & (x^2 + x - 2) : (x + 3) = x - 2 + \frac{4}{x + 3} \\ & x^2 + 3x & & \\ & \underline{-(x^2 + 3x)} & & \\ & -2x - 2 & & \\ & \underline{-(-2x - 6)} & & \\ & 4 & & \end{align*}$
Ergebnis: $(x^2 + x - 2) : ( x + 3) = x - 2 + \frac{4}{x + 3}$
Lässt du den Rest des Ergebnisses nun weg, bekommst du die schiefe Asymptote.

Asymptotische Kurve berechnen

Asymptotische Kurven treten auf, wenn der Grad des Zählers um mehr als eins größer ist als der des Nenners. Dabei ergibt die Asymptote jedoch keine gerade Linie, sondern eine Kurve.

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Kurzanleitung:

Um asymptotische Kurven zu berechnen, verwendest du die Polynomdivision. Du gehst also wie bei der schiefen Asymptote vor. Jedoch bekommst du als Ergebnis keine lineare, sondern eine quadratische Gleichung.

kurvenförmige Asymptote — Beispiel

Führe die Polynomdivision durch:

Beispiel: $\frac{x^3 + 3}{x -2}$
Teile den den Zähler durch den Nenner:
$\begin{align*} & (x^3 + 3) : (x - 2) = x^2 + 2x + 4 \frac{11}{x - 2}\\ & \underline {x^3 - 2x^2} & & \\ & 2x^2 +3 & & \\ & \underline {2x^2 - 4x} & & \\ & 4x + 3v& & \\ & \underline {4x - 8} & & \\ & 11 & & \end{align*}$
Ergebnis: $(x^3+3) : (x-2) = x^2 + 2x + 4 + \frac{11}{x-20}$
Ohne den Rest ergibt die Division die Gleichung asymptotische Kurve ist also bei

Asymptote berechnen — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie entscheide ich mit Zählergrad und Nennergrad die Asymptotenart?

Du entscheidest die Asymptotenart, indem du den Grad des Zählers Z mit dem Grad des Nenners N vergleichst. Für $Z \le N$ liegt eine waagrechte Asymptote vor, für eine schiefe und für eine kurvenförmige Asymptote. Eine senkrechte Asymptote entsteht, wenn der Nenner Null werden kann.
Wann ist die waagrechte Asymptote genau die x-Achse?

Die waagrechte Asymptote ist genau dann die x-Achse, wenn der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist. Dann geht der Funktionswert für große Beträge von gegen 0, also nähert sich der Graph der Geraden an.
Wie berechne ich die waagrechte Asymptote bei gleichem Grad?

Bei gleichem Grad (Zählergrad = Nennergrad) berechnest du die waagrechte Asymptote als Verhältnis der führenden Koeffizienten. Konkret bedeutet das: Du teilst den Koeffizienten vor der höchsten Potenz im Zähler durch den entsprechenden Koeffizienten im Nenner. Zum Beispiel hat $\frac{2x^2+3}{1x^2-5}$ die Asymptote .
Wie finde ich die senkrechte Asymptote bei einer gebrochenen Funktion?

Eine senkrechte Asymptote findest du, indem du die Nullstellen des Nenners bestimmst, also den Nenner gleich 0 setzt und nach löst. Beispiel: Bei $\frac{1}{x-3}$ gilt , daraus folgt , also liegt die senkrechte Asymptote bei .
Wie lese ich aus der Polynomdivision die schiefe Asymptote ab?

Aus der Polynomdivision liest du die schiefe Asymptote ab, indem du im Divisionsergebnis den Rest weglässt und nur den Quotienten als Geradengleichung nimmst. Beispiel: $\frac{x^2+x-2}{x+3} = x-2+\frac{4}{x+3}$ , ohne Rest ist die schiefe Asymptote .

Kurvendiskussion

Jetzt weißt du, wie du Asymptoten bei verschiedenen Funktionen berechnest. Wenn du wissen willst, was innerhalb der Kurvendiskussion noch alles wichtig ist, schau dir hier unser Video dazu an.