Asymptote (Video)
In diesem Video zeigen wir dir, was eine Asymptote ist und wie sie funktioniert. Verstehe einfach, wie sich Kurven einer Geraden annähern, ohne sie zu berühren.
VIDEOSKRIPT
Asymptoten zu bestimmen ist ein elementarer Teil der Kurvendiskussion. In diesem Video zeigen wir dir, wie du damit ganz leicht fertig wirst.
Überschriften
Wie du sicherlich weißt, lassen sich Funktionen grafisch darstellen. Hier siehst du zum Beispiel die Funktion f von x gleich eins durch x
𝑓(𝑥)=1𝑥
�
�
=
1
�
mithilfe eines Funktionsgraphen dargestellt.
FormAn diesem Beispiel lässt sich gut erklären, was eine Asymptote ist. Eine Asymptote ist eine Kurve, der sich der Funktionsgraph einer Funktion immer weiter annähert. Genauer gesagt, kommt der Graph der Asymptote beliebig nahe. Und zwar entweder, wenn du dich in x-Richtung oder in y-Richtung immer weiter vom Ursprung entfernst und dabei den Graphen betrachtest.
TextfeldTextfeldTextfeldTextfeldFormFormFormEin Bild, das Text enthält.
Automatisch generierte Beschreibung
Du erkennst vielleicht, dass hier die x- und die y-Achse die beiden Asymptote bilden.
FormFormEin Bild, das Text enthält.
Automatisch generierte Beschreibung
Nun gibt es aber auch noch etwas kompliziertere Asymptoten. Zum Beispiel bei der folgenden Funktion f von x:
𝑓(𝑥)=8𝑥3+4𝑥2+6𝑥+22𝑥2+8𝑥
�
�
=
8
�
3
+
4
�
2
+
6
�
+
2
2
�
2
+
8
�
Hier siehst du, dass diese Funktion eine schiefe Asymptote und eine senkrechte Asymptote besitzt.
Asymptoten können aber nicht nur die Gestalt einer Geraden haben, sondern können auch kurvenförmig verlaufen. Hier siehst du den Graphen der folgenden Funktion
𝑓(𝑥)=5𝑥4+15𝑥2+𝑥+3𝑥2+5𝑥+3
�
�
=
5
�
4
+
15
�
2
+
�
+
3
�
2
+
5
�
+
3
Du erkennst, dass sich der Graph einer Parabel nähert.
Außerdem besitzt die Funktion zwei senkrechte Asymptoten.
Insgesamt gibt es folgende Typen von Asymptoten: Waagrechte, senkrechte, schiefe und kurvenförmige Asymptoten.
Allerdings musst du in der Regel nicht eine Asymptote in einen dargestellten Graphen einzeichnen. Vielmehr musst du aus einem gegebenen Funktionsterm die Asymptoten bestimmen. Und wie das funktioniert, wollen wir dir jetzt zeigen. Meistens musst du gebrochenrationale Funktionen auf ihre Asymptoten untersuchen. Und eine gebrochenrationale Funktion f von x
𝑓(𝑥)
�
�
ist ein Bruch mit einem Polynom im Zähler und einem zweiten Polynom im Nenner.
𝑓(𝑥)=1.Polynom2.Polynom
�
�
=
1
.
Polynom
2
.
Polynom
Ein Polynom besitzt generell folgende Form und
𝑝𝑛𝑥𝑛+𝑝𝑛−1𝑥𝑛−1+…+𝑝1𝑥1+𝑝0
�
�
�
�
+
�
�
−
1
�
�
−
1
+
…
+
�
1
�
1
+
�
0
ist eine Summe, deren Summanden aus einer Potenz von x und einem Vorfaktor bestehen.
𝑝𝑛𝑥𝑛+𝑝𝑛−1𝑥𝑛−1+…+𝑝1𝑥1+𝑝0
�
�
�
�
+
�
�
−
1
�
�
−
1
+
…
+
�
1
�
1
+
�
0
Die höchste auftretende Potenz im Polynom wird als der Grad des Polynoms bezeichnet. Mithilfe des Grades im Zähler- und Nennerpolynom kannst du schon einmal den Typ der Asymptote erkennen.
Eine waagrechte Asymptote liegt vor, wenn der Zählergrad kleiner ist als der Nennergrad.
Eine schiefe Asymptote besitzt die gebrochenrationale Funktion dann, wenn der Zählergrad um genau eins größer ist als der Nennergrad.
Und eine kurvenförmige Asymptote liegt vor, wenn der Zählergrad um mehr als eins größer ist als der Nennergrad.
Waagrechte Asymptote:
𝑍äℎ𝑙𝑒𝑟𝑔𝑟𝑎𝑑 ≤ 𝑁𝑒𝑛𝑛𝑒𝑟𝑔𝑟𝑎𝑑
�
ä
ℎ
�
�
�
�
�
�
�
≤
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Schiefe Asymptote:
𝑍äℎ𝑙𝑒𝑟𝑔𝑟𝑎𝑑 = 𝑁𝑒𝑛𝑛𝑒𝑟𝑔𝑟𝑎𝑑+1
Kurvenförmige Asymptote:
𝑍äℎ𝑙𝑒𝑟𝑔𝑟𝑎𝑑 > 𝑁𝑒𝑛𝑛𝑒𝑟𝑔𝑟𝑎𝑑+1
Die senkrechten Asymptoten müssen gesondert betrachtet werden, was wir ganz zum Schluss zeigen werden.
Wenn du erkannt hast, welcher Typ von Asymptote vorliegt, musst du noch die Funktionsgleichung bestimmen, welche die Asymptote beschreibt.
Ist der Nennergrad größer als der Zählergrad, so besitzt die Funktion eine Asymptote, die auf der x-Achse verläuft. Ihre Funktionsgleichung lautet also g von x gleich Null
𝑔(𝑥)=0
. Das entspricht genau dem, was wir zu Beginn bei dem Funktionsgraphen von f von x gleich eins durch x
𝑓(𝑥)=1𝑥
gesehen haben. Hier ist der Grad des Nennerpolynoms größer als der des Zählerpolynoms. Also verläuft die Asymptote entlang der x-Achse. Ist der Zählergrad gleich dem Nennergrad, so besitzt die Funktion wie bereits erwähnt auch eine waagrechte Asymptote. Allerdings liegt diese nicht mehr auf der x-Achse. Um den y-Achsenabschnitt der Waagrechten zu bestimmen, musst du den Vorfaktor der höchsten Zählerpotenz durch den Vorfaktor der höchsten Nennerpotenz teilen. Für die folgende Funktion
𝑓(𝑥)=8𝑥3+4𝑥2+6𝑥+22𝑥2+8𝑥
musst du also zum Beispiel acht durch zwei teilen. Die Funktionsgleichung der Asymptoten lautet dann also g von x gleich Vier
𝑔(𝑥)=82=4
.
Um die Funktionsgleichung einer schiefen oder kurvenförmigen Asymptote zu bestimmen, musst du eine Polynomdivision durchführen. Dabei erhältst du dann einen Restterm, der gegen Null geht, falls man sich in x-Richtung immer weiter vom Ursprung entfernt. Wenn also x einmal gegen minus Unendlich und einmal gegen plus Unendlich geht. Wenn du im Ergebnis deiner Polynomdivision diesen Restterm weglässt, erhältst du die Funktionsgleichung der Asymptoten. Hier siehst du für die folgende komplexere Funktion f von x
𝑓(𝑥)=5𝑥4+15𝑥2+𝑥+3𝑥2+3𝑥+5
die Polynomdivision.
Die Funktionsgleichung der kurvenförmigen Asymptoten lautet also g(x)=5x^2-15x+35 fünf x quadrat minus fünfzehn x plus 35.
Getrennt von den bisher gezeigten Asymptoten musst du die senkrechten Asymptoten untersuchen. Um senkrechte Asymptoten zu finden, musst du die Nullstellen im Zähler und Nenner finden. Taucht im Nenner eine Nullstelle auf, die es im Zähler nicht gibt, befindet sich dort eine senkrechte Asymptote. Dabei musst du auch mehrfache Nullstellen berücksichtigen und mit ihrer Vielfachheit zählen. Die folgende Funktion
𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑥−2𝑥2−3𝑥+2
�
�
=
�
2
+
�
−
2
�
2
−
3
�
+
2
besitzt zum Beispiel im Zähler die Nullstellen Eins und minus Zwei und im Nenner die Nullstellen Eins und Zwei. Also besitzt die Funktion an der Stelle
𝑥=2
�
=
2
x gleich zwei eine senkrechte Asymptote, weil diese Nullstelle nur im Nenner vorkommt.
Outro
Nun weißt du wie du bei gebrochenrationalen Funktionen sämtliche Typen von Asymptoten erkennen und deren Funktionsgleichung berechnen kannst.