Proportionalität
Du beschäftigst dich gerade mit dem Thema Proportionalität? Alle wichtigen Infos dazu findest du hier und im Video .
Inhaltsübersicht
Proportionalität einfach erklärt
Proportionalität gibt das Verhältnis zwischen zwei Größen an. Dabei gibt es zwei verschiedene Arten von Proportionalität.
Bei der direkten Proportionalität gilt:
- Steigt eine Größe um einen Faktor, dann steigt auch die andere Größe um denselben Faktor.
- Je mehr Wassermelone du kaufst, desto mehr musst du bezahlen.
Genauso gibt es auch eine indirekte Proportionalität:
- Steigt die eine Größe um einen bestimmten Faktor, dann sinkt sie andrer um den gleichen Faktor.
- Je mehr Menschen beim Aufräumen helfen, desto weniger Zeit braucht ihr.
Direkte Proportionalität
Bei direkter Proportionalität gilt der Grundsatz: „Je mehr, desto mehr“ oder „je weniger, desto weniger“. Dabei verändern sich die beiden Größen immer um einen gleichbleibenden Faktor k:
k • Wert 1 = Wert 2
Sieh dir das nochmal an einem Beispiel an:
Deine Familie bestellt in einer Pizzeria 5 Pizzen, die jeweils 10 € kosten. Für alle 5 Pizzen zahlt ihr also 10 € • 5 = 50 €.
Je mehr Pizzen ihr bestellt, desto mehr müsst ihr bezahlen. Der Zusammenhang zwischen Preis und Pizzamenge ist also direkt proportional.
Du beschreibst eine direkte Proportionalität folgendermaßen:
Anzahl der Pizzen ~ Preis der Pizzen
Berechnung mit Dreisatz
Hast du nur den Preis für 5 Pizzen gegeben und möchtest berechnen, was 7 Pizzen kosten? Dann ist der Dreisatz sehr nützlich.
Berechne als Erstes den Preis für eine Pizza, indem du beide Werte durch 5 teilst. Um nun den Preis für 7 Pizzen zu erhalten, multiplizierst du den Preis für eine Pizza mit 7. Der Preis für 7 Pizzen liegt also bei 70 €.
Proportionalitätsfaktor
Wie auch bei vielen anderen Themen in der Mathematik, gibt es auch hier ein paar Begriffe, die dir unterkommen können. Die Anzahl der Pizzen ist deine Grundgröße. Den Gesamtpreis für alle Pizzen nennst du zugeordnete Größe.
Das Verhältnis , in dem sie zueinander stehen, kannst du auch mit einer Zahl ausdrücken. Die nennst du Proportionalitätsfaktor k. Du kannst ihn mit der folgenden Formel berechnen:
Proportionalitätsfaktor k = 
Bei dem Beispiel mit der Pizza würde der Proportionalitätsfaktor k so aussehen:
k = 
= 10 €/Pizza
Dabei ist es egal, welches Wertepaar du für die Rechnung wählst. Du kannst zum Beispiel auch die 7 Pizzen für 70 € nehmen und erhältst die folgende Rechnung:
k = 
= 10 €/Pizza
Wie du siehst, kommt wieder der gleiche Wert für den Proportionalitätsfaktor raus. Das liegt daran, dass bei der direkten Proportionalität die Größen quotientengleich sind: Teilst du eine Größe und ihre zugeordnete Größe, kommt immer der gleiche Quotient raus.
Darstellung im Koordinatensystem
Den direkt proportionalen Zusammenhang zwischen zwei Größen kannst du auch als Graph in einem Koordinatensystem darstellen. Die x-Achse beschreibt die Menge an Pizzen. Die y-Achse zeigt den Gesamtpreis für die Pizzen.
| Menge an Pizzen | 1 | 5 |
| Gesamtpreis | 10 € | 50 € |
Zeichnest du die gegebenen Wertepaare (1|10) und (5|50) in ein Koordinatensystem und verbindest die Punkte zu einer Geraden, entsteht eine Ursprungsgerade der Form:
y = k • x
Die Steigung der Geraden ist der Preis pro Pizza. Dieser ist genauso groß wie der berechnete Proportionalitätsfaktor. Deshalb kannst du ihn als Steigung in die Geradengleichung einsetzen.
y = k • x
y = 10 • x
Indirekte Proportionalität
Bei indirekter Proportionalität gilt der Grundsatz: „Je mehr, desto weniger“ und „je weniger, desto mehr“. Halbiert sich zum Beispiel eine Größe, so verdoppelt sich die andere. Das Produkt beider Größen bleibt dabei immer konstant.
Wert 1 • Wert 2 = a
Probiere dazu gleich ein Beispiel:
Die Pizzeria liefert auch zu euch nach Hause. Sie haben einen Auslieferer, der an einem Abend 20 Pizzen ausliefern muss. Zwei Auslieferer müssten jeweils nur die Hälfte der Pizzen ausfahren, also 10 Stück.
Die Zahl der Pizzen pro Person wird also weniger, wenn sich die Anzahl der Ausfahrer erhöht. Dieser Zusammenhang ist damit eine indirekte Proportionalität.
Proportionalitätsfaktor
Auch hier kannst du das Verhältnis der beiden Größen durch einen Proportionalitätsfaktor a ausdrücken. Du berechnest ihn, indem du zwei zusammengehörige Werte miteinander multiplizierst.
zugeordnete Größe • Grundgröße = a
1 Auslieferer • 20 Pizzen = 20
2 Auslieferer • 10 Pizzen = 20
4 Auslieferer • 5 Pizzen = 20
Der Proportionalitätsfaktor a ist hier, genauso wie bei der direkten Proportionalität, konstant.
Darstellung im Koordinatensystem
Den indirekt Zusammenhang zweier Größen kannst du wieder als Graph in einem Koordinatensystem darstellen. Die x-Achse stellt die Anzahl der Auslieferer dar und die y-Achse die Anzahl der Pizzen, die ein Auslieferer übernimmt.
| Anzahl der Auslieferer | 1 | 2 | 4 | 8 |
| Anzahl der Pizzen pro Auslieferer | 20 | 10 | 5 | 2,5 |
Zeichnest du nun die 4 Wertepaare in das Koordinatensystem ein, kannst du die Punkte zu einem Graphen verbinden.
Der Graph stellt eine Hyperbel dar. Diese hat allgemein die Form:
y = 
Setzt du nun den berechneten Proportionalitätsfaktor a in die Gleichung der Hyperbel ein, ergibt sich folgende Funktionsgleichung:
y = = 
, wenn x ≠ 0
Proportionalität — häufigste Fragen
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Was ist Proportionalität?
Proportionalität herrscht dann, wenn zwei Größen in einem konstanten Verhältnis zueinander stehen. Wenn sich eine Größe verdoppelt, verdoppelt sich die andere Größe auch. Vervierfacht sich eine, vervierfacht sich die andere auch.
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Was ist ein Beispiel für Proportionalität?
Direkt proportional ist zum Beispiel der Gesamtpreis zur Anzahl der eingekauften Teile eines Gutes. Für die doppelte Menge einer Ware zahlst du am Ende den doppelten Preis der Einzelware.
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Was gibt es für Proportionalitäten?
Bei der Proportionalität wird zwischen direkter und indirekter Proportionalität unterschieden. Entwickeln sich beide Größen in die gleiche Richtung, werden also beide im selben Verhältnis größer oder kleiner, dann sprichst du von direkter Proportionalität. Wird eine Größe kleiner und die andere größer, dann ist es eine indirekte Proportionalität.
Dreisatz
Prima! Jetzt weißt du, wie du die verschiedenen Proportionalitäten berechnen und darstellen kannst. Du weißt auch, dass du dafür den Dreisatz verwenden kannst. Willst du ihn noch einmal wiederholen? Dann schau dir direkt das Video dazu an!
