Was bedeutet f nach g bei einer Verkettung?

„f nach g“ bedeutet, dass zuerst die Funktion g ausgeführt wird und das Ergebnis danach in f eingesetzt wird. Mathematisch schreibt man das als und spricht auch „f von g von x“.

Wie erkenne ich bei f(g(x)) die innere Funktion?

Du erkennst die innere Funktion daran, dass sie innerhalb der Klammer steht und zuerst berechnet wird. In ist also die innere Funktion und die äußere Funktion. Zum Beispiel ist in entsprechend innen.

Wie setze ich die innere Funktion in die äußere Funktion ein?

Du setzt die innere Funktion ein, indem du in der äußeren Funktion jedes durch die komplette Funktionsgleichung der inneren Funktion ersetzt. Konkret: Bei und wird .

Warum ist f nach g nicht dasselbe wie g nach f?

ist nicht dasselbe wie , weil die Reihenfolge der Hintereinanderausführung das Ergebnis verändert. Beispiel: und liefern , aber .

Wann ist eine Verkettung von zwei Funktionen überhaupt definiert?

Eine Verkettung ist definiert, wenn die Funktionswerte von g im Definitionsbereich von f liegen. Anders gesagt: Die Wertemenge von g muss in der Definitionsmenge von f enthalten sein. Im Text wird das auch als nicht leere Schnittmenge beschrieben.

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Verkettung von Funktionen

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Verkettung von Funktionen einfach erklärt

(00:14)

Verkettung von Funktionen — Beispiele

(01:43)

Du möchtest wissen, was eine Verkettung von Funktionen ist und wie du sie berechnest? Dann bist du hier genau richtig! In diesem Beitrag und im Video erfährst du alles Wichtige.

Inhaltsübersicht

Verkettung von Funktionen einfach erklärt

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(00:14)

Wenn du zwei Funktionen wie zum Beispiel f(x) = x² + x und g(x) = 2x + 1 verketten sollst, musst du sie hintereinander ausführen. Dafür berechnest du als Erstes die Funktion g(x) und dann die Funktion f(x). Das Ganze sieht dann so aus:

f(g(x))

Da g(x) als erstes berechnet wird, steht sie im Inneren der Klammer und wird auch als innere Funktion bezeichnet. Die Funktion f(x) steht außerhalb der Klammer und wird erst nach g(x) ausgeführt. Daher nennst du sie auch äußere Funktion. Um die Verkettung darzustellen, schau dir die folgende Schritt-für-Schritt-Anleitung an:

Markiere die innere Funktion: f(g(x))
Setze für jedes x in der äußeren Funktion f(x) = x² + x die ganze Funktionsgleichung der inneren Funktion g(x) = 2x + 1 ein:

f(g(x)) = (2x + 1)² + 2x + 1

Mathematische Definition

Die Verkettung der Funktionen f als äußere Funktion und g als innere Funktion ist folgendermaßen definiert: (f $\circ$ g)(x) = f(g(x)). Hier sprichst du (f $\circ$ g)(x) mit „f nach g“ oder „f verkettet mit g“ aus und f(g(x)) mit „f von g von x“. Die Wertemenge von g muss dabei in der Definitionsmenge von f enthalten sein.

Hintereinanderausführung von Funktionen

Damit du dir die Hintereinanderausführung zweier Funktionen nochmal genauer vorstellen kannst, betrachte einmal das folgende Beispiel:

f(x) = ½x → x wird halbiert
g(x) = x² → x wird quadriert

Nun kannst du die Funktionen auf zwei Arten hintereinander ausführen. Entweder du führst erst g(x) und dann f(x) aus. Du quadrierst also erst das x, dann halbierst du es. Dadurch hast du g in f eingesetzt und die Verkettung f(g(x)) = ½ · ( x²) = ½ x²berechnet.

Merke: Da du von innen nach außen vorgehst, steht g(x) auch in der Klammer von f(x): f(g(x))

Oder du führst erst f(x) und dann g(x) aus. Das x wird dann erst halbiert und danach quadriert. So hast du f in g eingesetzt und die Verkettung g(f(x)) = (½ · x)² = ¼x²berechnet.

Verknüpfung von Funktionen

Du kannst die Funktionen f und g addieren (f + g), subtrahieren (f – g), multiplizieren (f · g) oder dividieren (f : g). Genauso kannst du die beiden Funktionen nun auch verketten (f $\circ$ g).

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Verkettung von Funktionen — Beispiele

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(01:43)

Du weißt jetzt, wie du zwei Funktionen miteinander verkettest. Um dein Wissen zu festigen, probiere einmal die folgenden Übungen zu lösen. Geh dabei Schritt für Schritt vor.

1. Beispiel:

Berechne die Funktion h = f $\circ$ g mit den Funktionsgleichungen f(x) = 2x² – 1 und g(x) = 3x + 2. Das bedeutet, dass du h(x) = f(g(x)) berechnen sollst.

Innere Funktion markieren: h(x) = f(g(x))
Bei der äußeren Funktion für x einsetzen: h(x) = 2 · (3x + 2)² – 1
Verkettete Funktion h(x) vereinfachen:

h(x) = 2 · (3x + 2)² – 1 | 1. binomische Formel
h(x) = 2 · (9x² + 12x + 4) – 1 | Klammer ausmultiplizieren
h(x) = 18x² + 24x + 8 – 1 | Zahlen zusammenfassen
h(x) = 18x² + 24x + 7

2. Beispiel:

Das Gleiche machst du nun umgekehrt: Berechne die Funktion h = g $\circ$ f mit den Funktionsgleichungen g(x) = 3x + 2 und f(x) = 2x² – 1. Das bedeutet, dass du h = g(f(x)) darstellen sollst.

Innere Funktion markieren: h(x) = g(f(x))
Bei der äußeren Funktion für x einsetzen: h(x) = 3 · (2x² – 1) + 2
Verkettete Funktion h(x) vereinfachen:

h(x) = 3 · (2x² – 1) + 2 | Klammer ausmultiplizieren
h(x) = 6x² – 3 + 2 | Zahlen zusammenfassen
h(x) = 6x² – 1

Rechengesetze

Du kannst die Reihenfolge der Funktionen in der Verkettung nicht vertauschen, sonst kommen andere Ergebnisse heraus. Das Kommutativgesetz gilt daher nicht: f $\circ$ g ≠ g $\circ$ f
Bei der Verkettung kannst du aber Klammern setzen, weglassen oder vertauschen, ohne dass sich das Ergebnis verändert. Das Assoziativgesetz gilt also: (f $\circ$ g) $\circ$ h = f $\circ$ (g $\circ$ h)

Verkettung von Funktionen — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was bedeutet f nach g bei einer Verkettung?

„f nach g“ bedeutet, dass zuerst die Funktion g ausgeführt wird und das Ergebnis danach in f eingesetzt wird. Mathematisch schreibt man das als $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ und spricht auch „f von g von x“.
Wie erkenne ich bei f(g(x)) die innere Funktion?

Du erkennst die innere Funktion daran, dass sie innerhalb der Klammer steht und zuerst berechnet wird. In ist also die innere Funktion und die äußere Funktion. Zum Beispiel ist in entsprechend innen.
Wie setze ich die innere Funktion in die äußere Funktion ein?

Du setzt die innere Funktion ein, indem du in der äußeren Funktion jedes durch die komplette Funktionsgleichung der inneren Funktion ersetzt. Konkret: Bei und wird .
Warum ist f nach g nicht dasselbe wie g nach f?

$f \circ g$ ist nicht dasselbe wie $g \circ f$ , weil die Reihenfolge der Hintereinanderausführung das Ergebnis verändert. Beispiel: $f(x)=\frac{1}{2}x$ und liefern $f(g(x))=\frac{1}{2}x^2$ , aber $g(f(x))=\frac{1}{4}x^2$ .
Wann ist eine Verkettung von zwei Funktionen überhaupt definiert?

Eine Verkettung ist definiert, wenn die Funktionswerte von g im Definitionsbereich von f liegen. Anders gesagt: Die Wertemenge von g muss in der Definitionsmenge von f enthalten sein. Im Text wird das auch als nicht leere Schnittmenge beschrieben.

Kettenregel

Super! Du weißt jetzt, was eine Verkettung von Funktionen ist und wie du sie berechnest. Du hast verkettete Funktionen aber mithilfe der Kettenregel ableiten. Wenn du wissen willst, wie das funktioniert, dann schau im Video vorbei!