Proportionalität
Du beschäftigst dich gerade mit dem Thema Proportionalität? Alle wichtigen Infos dazu findest du hier und im Video .
Inhaltsübersicht
Proportionalität einfach erklärt
Proportionalität gibt das Verhältnis zwischen zwei Größen an. Dabei gibt es zwei verschiedene Arten von Proportionalität.
Bei der direkten Proportionalität gilt:
- Steigt eine Größe um einen Faktor, dann steigt auch die andere Größe um denselben Faktor.
- Je mehr Wassermelone du kaufst, desto mehr musst du bezahlen.
Genauso gibt es auch eine indirekte Proportionalität:
- Steigt die eine Größe um einen bestimmten Faktor, dann sinkt sie andrer um den gleichen Faktor.
- Je mehr Menschen beim Aufräumen helfen, desto weniger Zeit braucht ihr.
Proportionalität beschreibt den Zusammenhang zwischen zwei Größen, bei dem sich beide gleichmäßig gemeinsam vergrößern oder verkleinern. Dabei wird zwischen direkter Proportionalität, wenn beide Größen zusammen wachsen, und indirekter Proportionalität, wenn eine Größe zunimmt, während die andere abnimmt unterschieden.
Direkte Proportionalität
Bei direkter Proportionalität gilt der Grundsatz: „Je mehr, desto mehr“ oder „je weniger, desto weniger“. Dabei verändern sich die beiden Größen immer um einen gleichbleibenden Faktor k:
k • Wert 1 = Wert 2
Sieh dir das nochmal an einem Beispiel an:
Deine Familie bestellt in einer Pizzeria 5 Pizzen, die jeweils 10 € kosten. Für alle 5 Pizzen zahlt ihr also 10 € • 5 = 50 €.
Je mehr Pizzen ihr bestellt, desto mehr müsst ihr bezahlen. Der Zusammenhang zwischen Preis und Pizzamenge ist also direkt proportional.
Du beschreibst eine direkte Proportionalität folgendermaßen:
Anzahl der Pizzen ~ Preis der Pizzen
Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich
Berechnung mit Dreisatz
Hast du nur den Preis für 5 Pizzen gegeben und möchtest berechnen, was 7 Pizzen kosten? Dann ist der Dreisatz sehr nützlich.
Berechne als Erstes den Preis für eine Pizza, indem du beide Werte durch 5 teilst. Um nun den Preis für 7 Pizzen zu erhalten, multiplizierst du den Preis für eine Pizza mit 7. Der Preis für 7 Pizzen liegt also bei 70 €.
Proportionalitätsfaktor
Wie auch bei vielen anderen Themen in der Mathematik, gibt es auch hier ein paar Begriffe, die dir unterkommen können. Die Anzahl der Pizzen ist deine Grundgröße. Den Gesamtpreis für alle Pizzen nennst du zugeordnete Größe.
Das Verhältnis , in dem sie zueinander stehen, kannst du auch mit einer Zahl ausdrücken. Die nennst du Proportionalitätsfaktor k. Du kannst ihn mit der folgenden Formel berechnen:
Proportionalitätsfaktor k = 
Bei dem Beispiel mit der Pizza würde der Proportionalitätsfaktor k so aussehen:
k = 
= 10 €/Pizza
Dabei ist es egal, welches Wertepaar du für die Rechnung wählst. Du kannst zum Beispiel auch die 7 Pizzen für 70 € nehmen und erhältst die folgende Rechnung:
k = 
= 10 €/Pizza
Wie du siehst, kommt wieder der gleiche Wert für den Proportionalitätsfaktor raus. Das liegt daran, dass bei der direkten Proportionalität die Größen quotientengleich sind: Teilst du eine Größe und ihre zugeordnete Größe, kommt immer der gleiche Quotient raus.
Darstellung im Koordinatensystem
Den direkt proportionalen Zusammenhang zwischen zwei Größen kannst du auch als Graph in einem Koordinatensystem darstellen. Die x-Achse beschreibt die Menge an Pizzen. Die y-Achse zeigt den Gesamtpreis für die Pizzen.
| Menge an Pizzen | 1 | 5 |
| Gesamtpreis | 10 € | 50 € |
Zeichnest du die gegebenen Wertepaare (1|10) und (5|50) in ein Koordinatensystem und verbindest die Punkte zu einer Geraden, entsteht eine Ursprungsgerade der Form:
y = k • x
Die Steigung der Geraden ist der Preis pro Pizza. Dieser ist genauso groß wie der berechnete Proportionalitätsfaktor. Deshalb kannst du ihn als Steigung in die Geradengleichung einsetzen.
y = k • x
y = 10 • x
Indirekte Proportionalität
Bei indirekter Proportionalität gilt der Grundsatz: „Je mehr, desto weniger“ und „je weniger, desto mehr“. Halbiert sich zum Beispiel eine Größe, so verdoppelt sich die andere. Das Produkt beider Größen bleibt dabei immer konstant.
Wert 1 • Wert 2 = a
Probiere dazu gleich ein Beispiel:
Die Pizzeria liefert auch zu euch nach Hause. Sie haben einen Auslieferer, der an einem Abend 20 Pizzen ausliefern muss. Zwei Auslieferer müssten jeweils nur die Hälfte der Pizzen ausfahren, also 10 Stück.
Die Zahl der Pizzen pro Person wird also weniger, wenn sich die Anzahl der Ausfahrer erhöht. Dieser Zusammenhang ist damit eine indirekte Proportionalität.
Proportionalitätsfaktor
Auch hier kannst du das Verhältnis der beiden Größen durch einen Proportionalitätsfaktor a ausdrücken. Du berechnest ihn, indem du zwei zusammengehörige Werte miteinander multiplizierst.
zugeordnete Größe • Grundgröße = a
1 Auslieferer • 20 Pizzen = 20
2 Auslieferer • 10 Pizzen = 20
4 Auslieferer • 5 Pizzen = 20
Der Proportionalitätsfaktor a ist hier, genauso wie bei der direkten Proportionalität, konstant.
Darstellung im Koordinatensystem
Den indirekt Zusammenhang zweier Größen kannst du wieder als Graph in einem Koordinatensystem darstellen. Die x-Achse stellt die Anzahl der Auslieferer dar und die y-Achse die Anzahl der Pizzen, die ein Auslieferer übernimmt.
| Anzahl der Auslieferer | 1 | 2 | 4 | 8 |
| Anzahl der Pizzen pro Auslieferer | 20 | 10 | 5 | 2,5 |
Zeichnest du nun die 4 Wertepaare in das Koordinatensystem ein, kannst du die Punkte zu einem Graphen verbinden.
Der Graph stellt eine Hyperbel dar. Diese hat allgemein die Form:
y = 
Setzt du nun den berechneten Proportionalitätsfaktor a in die Gleichung der Hyperbel ein, ergibt sich folgende Funktionsgleichung:
y = = 
, wenn x ≠ 0
Proportionalität — häufigste Fragen
(ausklappen)
Proportionalität — häufigste Fragen
(ausklappen)-
Was heißt Proportionalität bei zwei Größen genau?Proportionalität heißt, dass zwei Größen in einem festen Zusammenhang stehen und sich gleichmäßig ändern. Werden beide gemeinsam größer oder kleiner, ist es direkte Proportionalität; nimmt eine zu und die andere ab, ist es indirekte Proportionalität. So erkennst du, ob sie „zusammenlaufen“ oder gegeneinander.
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Woran erkenne ich direkt proportionale Aufgaben an dem „Je mehr desto mehr Prinzip“?Direkt proportional erkennst du daran: Je mehr von Größe 1, desto mehr von Größe 2 (und je weniger, desto weniger). Beide Größen ändern sich immer um denselben Faktor. Beispiel: Bestellst du mehr Pizzen, steigt der Gesamtpreis im gleichen Verhältnis.
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Woran erkenne ich indirekte Proportionalität an dem „Je mehr desto weniger Prinzip“?Indirekte Proportionalität erkennst du daran: Je mehr von der einen Größe, desto weniger von der anderen (und umgekehrt). Wenn sich eine Größe mit einem Faktor erhöht, sinkt die andere um denselben Faktor. Beispiel: Helfen mehr Menschen beim Aufräumen, braucht ihr weniger Zeit.
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Wie rechne ich eine direkte Proportionalität mit dem Dreisatz aus?Bei direkter Proportionalität rechnest du im Dreisatz erst auf „1“ zurück und dann auf den gesuchten Wert hoch. Teile dazu beide Angaben durch die gegebene Menge und erhalte den Wert pro 1 Einheit. Danach multiplizierst du mit der gesuchten Menge, z. B. von 5 auf 7 Pizzen.
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Wie finde ich den Proportionalitätsfaktor bei direkter Proportionalität?Den Proportionalitätsfaktor k bei direkter Proportionalität findest du, indem du die zugeordnete Größe durch die Grundgröße teilst:
. Beim Pizza-Beispiel gilt 
€/Pizza, und mit 
kommt derselbe Wert heraus.
Dreisatz
Prima! Jetzt weißt du, wie du die verschiedenen Proportionalitäten berechnen und darstellen kannst. Du weißt auch, dass du dafür den Dreisatz verwenden kannst. Willst du ihn noch einmal wiederholen? Dann schau dir direkt das Video dazu an!
