Was bedeutet Tangens im rechtwinkligen Dreieck?

Der Tangens im rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete bezogen auf den Winkel . Damit lässt sich beschreiben, wie steil die Dreiecksseite am Winkel ansteigt. Mathematisch gilt: .

Wie erkenne ich beim Winkel α die Gegenkathete?

Du erkennst die Gegenkathete zum Winkel daran, dass sie dem Winkel direkt gegenüberliegt. Die Ankathete liegt dagegen an an. Beispiel: Markiere im Dreieck und nimm dann die Seite, die den Winkel nicht berührt, als Gegenkathete.

Wie berechne ich den Tangens aus Sinus und Cosinus?

Den Tangens berechnest du aus Sinus und Cosinus mit . Das funktioniert, weil sich beim Quotienten die Hypotenuse herauskürzt und genau das Verhältnis Gegenkathete durch Ankathete übrig bleibt.

Wie lese ich den Tangens am Einheitskreis ab?

Den Tangens am Einheitskreis liest du als y-Koordinate des Punktes ab, der auf der Tangente bei liegt. Beispiel: Zeichne vom Punkt auf dem Einheitskreis die Verbindung zum Ursprung, verschiebe die Gegenkathete bis zur Geraden und lies dort die y-Koordinate von ab.

Warum darf ich die Gegenkathete zur Tangente verschieben?

Du darfst die Gegenkathete zur Tangente verschieben, weil der Strahlensatz garantiert, dass sich das Verhältnis von Gegenkathete und Ankathete dabei nicht ändert. Dadurch bleibt auch gleich, obwohl die Gegenkathete an die Stelle verschoben wird.

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Tangens

Wichtige Inhalte in diesem Video

Tangens einfach erklärt

(00:11)

Tangens Einheitskreis

(01:41)

Tangens Graph

(02:43)

Du möchtest wissen, was es mit der trigonometrischen Funktion Tangens auf sich hat? Dann bist du hier genau richtig! In unserem Beitrag und Video erfährst du alles, was du wissen musst!

Inhaltsübersicht

Tangens einfach erklärt

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(00:11)

Der Tangens kann dir im rechtwinkligen Dreieck dabei helfen, fehlende Seiten und Winkel zu bestimmen.

Tangens Definition

Der Tangens des Winkels entspricht dem Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete:

$\tan(\textcolor{red}{\alpha})=\frac{\textcolor{olive}{\text{Gegenkathete a}}}{\textcolor{purple}{\text{Ankathete b}}}$

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In einem rechtwinkligen Dreieck heißt die lange Seite gegenüber vom rechten Winkel Hypotenuse c . Die Ankathete b ist die Seite, die an dem gesuchten Winkel α liegt. Die Gegenkathete a ist die Seite, die dem gesuchten Winkel α gegenüberliegt.

Verwendest du außerdem die Beziehungen Sinus und Cosinus , erkennst du, dass gilt:

$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

denn:

$\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}{\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}} =\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \tan(\alpha)$

Tangens Einheitskreis

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(01:41)

Den tan x kannst du auch am Einheitskreis darstellen. Das ist ein Kreis mit dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt und dem Radius 1.

Dazu wählst du zuerst einen beliebigen Punkt P auf dem Einheitskreis und verbindest ihn mit dem Koordinatenursprung. Den Winkel, den die x-Achse und deine gezogene Linie einschließen, nennst du α.

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Jetzt möchtest du den Wert herausfinden, den der Tangens für diesen Winkel hat. Wenn du von deinem Punkt P eine senkrechte Linie zur x-Achse zeichnest, erhälst du ein rechtwinkliges Dreieck. Zur Verdeutlichung kannst du es auch mit den Begriffen Gegenkathete und Ankathete beschriften.

Für die Berechnung des Tangens verwendest du die Formel: $\tan(\textcolor{red}{\alpha})&=\frac{\textcolor{olive}{\text{Gegenkathete}}}{\textcolor{purple}{\text{Ankathete}}}$

Du kannst die genauen Längen der beiden Seiten nicht richtig erkennen, also wendest du einen Trick an: Du verschiebst die Gegenkathete bis zur x-Koordinate 1. Dadurch wird sie zur Tangente vom Einheitskreis, d.h. sie berührt sie an einem Punkt.

Du darfst das übrigens wegen des Strahlensatzes machen. Dadurch ändert sich das Verhältnis von Gegenkathete und Ankathete nicht.

Jetzt kannst du den tan x einfach ablesen. Der Tangens von α ist die y-Koordinate des Punktes P‘.

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Tangens Graph

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(02:43)

Der Graph der Tangensfunktion sieht übrigens so aus:

Wir haben dir die wichtigsten Eigenschaften vom Tangens Graph zusammengefasst:

Er hat dieselben Nullstellen wie der Sinus (…,-3π, –2π, –π, 0, π, 2π, 3π,…)
Die Definitionslücken vom Tangens sind die Nullstellen des Cosinus (… $-\frac{2}{3}$ . )
Es gibt keine Extrema
Der Tangens Graph ist punktsymmetrisch

Tangens berechnen

Möchtest du etwas mit dem Tangens berechnen, gibt es einige Werte, die du dir merken kannst. Wir haben sie dir in dieser Tangenstabelle zusammengefasst:

$\alpha$	0°	30°	45°	60°	90°	120°	150°	180°
$\tan(\alpha)$	0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	nicht definiert	$-\sqrt{3}$	$\frac{-\sqrt{3}}{3}$	0

Die Werte über 180° kannst du auch ganz einfach berechnen, denn sie wiederholen sich: tan(α + 180°) = tan(α + $π$ ) = tan α

Du kannst die Winkel natürlich auch im Bogenmaß angeben. Wenn du wissen willst, wie das geht, schau dir unser Video zur Umrechnung von Gradmaß in Bogenmaß an!

Die Tangens-Wertetabelle für das Bogenmaß sieht so aus:

$\alpha$	0	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{5\pi}{6}$	$\pi$
$\tan(\alpha)$	0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	nicht definiert	$-\sqrt{3}$	$\frac{-\sqrt{3}}{3}$	0

Jetzt zeigen wir dir, wie du damit die Maße eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen kannst.

Beispiel:

Du hast ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel α = 30° und der Ankathete = 6 cm. Berechne die Länge der Gegenkathete.

Um die Aufgabe zu lösen, zeichnest du dir am besten zuerst das Dreieck auf.

Nun kannst du die Tangensformel verwenden, um die Länge der Gegenkathete zu berechnen.

$\tan(\textcolor{red}{\alpha})&=\frac{\textcolor{olive}{\text{Gegenkathete}}}{\textcolor{purple}{\text{Ankathete}}}$

Stelle die Gleichung nach der Gegenkathete um. Dazu rechnest du auf beiden Seiten mal die Ankathete.

$\begin{align*} \tan(\textcolor{red}{\alpha})&=\frac{\textcolor{olive}{\text{Gegenkathete}}}{\textcolor{purple}{\text{Ankathete}}}&&|\; \cdot \textcolor{purple}{\text{Ankathete}}\\ \tan(\textcolor{red}{\alpha}) \cdot \textcolor{purple}{\text{Ankathete}} &= \textcolor{olive}{\text{Gegenkathete}}\\ \textcolor{olive}{\text{Gegenkathete}}&= \tan(\textcolor{red}{\alpha}) \cdot \textcolor{purple}{\text{Ankathete}}\\ \end{align*}$

Jetzt kannst du deine Werte einsetzen.

$\begin{align*} \textcolor{olive}{\text{Gegenkathete}}&= \tan(\textcolor{red}{\alpha}) \cdot \textcolor{purple}{\text{Ankathete}}\\ \textcolor{olive}{\text{Gegenkathete}}&= \tan(\textcolor{red}{\frac{\sqrt{3}}{3}}) \cdot \textcolor{purple}{\text{6 cm}}\\ \textcolor{olive}{\text{Gegenkathete}}&=\textcolor{olive}{2\sqrt{3}\text{cm}}\\ \end{align*}$

Deine Gegenkathete ist $\textcolor{olive}{2\sqrt{3}\text{cm}}$ lang.

Tangens — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was bedeutet Tangens im rechtwinkligen Dreieck?

Der Tangens im rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete bezogen auf den Winkel $\alpha$ . Damit lässt sich beschreiben, wie steil die Dreiecksseite am Winkel ansteigt. Mathematisch gilt: $\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$ .
Wie erkenne ich beim Winkel α die Gegenkathete?

Du erkennst die Gegenkathete zum Winkel $\alpha$ daran, dass sie dem Winkel $\alpha$ direkt gegenüberliegt. Die Ankathete liegt dagegen an $\alpha$ an. Beispiel: Markiere $\alpha$ im Dreieck und nimm dann die Seite, die den Winkel nicht berührt, als Gegenkathete.
Wie berechne ich den Tangens aus Sinus und Cosinus?

Den Tangens berechnest du aus Sinus und Cosinus mit $\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ . Das funktioniert, weil sich beim Quotienten $\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ die Hypotenuse herauskürzt und genau das Verhältnis Gegenkathete durch Ankathete übrig bleibt.
Wie lese ich den Tangens am Einheitskreis ab?

Den Tangens am Einheitskreis liest du als y-Koordinate des Punktes ab, der auf der Tangente bei liegt. Beispiel: Zeichne vom Punkt auf dem Einheitskreis die Verbindung zum Ursprung, verschiebe die Gegenkathete bis zur Geraden und lies dort die y-Koordinate von ab.
Warum darf ich die Gegenkathete zur Tangente verschieben?

Du darfst die Gegenkathete zur Tangente verschieben, weil der Strahlensatz garantiert, dass sich das Verhältnis von Gegenkathete und Ankathete dabei nicht ändert. Dadurch bleibt auch $\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$ gleich, obwohl die Gegenkathete an die Stelle verschoben wird.

Sinus und Cosinus

Neben der Tangensfunktion gibt es in der Trigonometrie zum Beispiel noch die Funktionen Sinus, Cosinus und Cotangens . Wenn du mehr zu diesen trigonometrischen Funktionen wissen willst, schau dir unsere Videos dazu an!