Geometrie
Kreis
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Du musst einen Winkel von Grad in Bogenmaß oder von Bogenmaß in Grad umrechnen? Wir zeigen dir, wie das geht! Lehn dich zurück und schau einfach schnell unser Video

Gradmaß und Bogenmaß einfach erklärt

Gradmaß und Bogenmaß sind Winkelmaße, mit denen du die Größe eines Winkels darstellen kannst. Ein Winkel hat immer einen Wert im Bogenmaß und im Gradmaß. In der Grafik ist \textcolor{blue}{\alpha} der Winkel im Gradmaß und \textcolor{red}{x} ist derselbe Winkel im Bogenmaß.

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Gradmaß und Bogenmaß

Du siehst, dass \textcolor{blue}{\alpha = 45^\circ} und \textcolor{red}{x =} \frac{\textcolor{red}{\pi}}{\textcolor{red}{8}} den gleichen Winkel beschreiben. Es gibt also einen Weg zur Umrechnung von Grad in Bogenmaß und umgekehrt. Die beiden Formeln für Grad in Bogenmaß bzw. Bogenmaß in Grad sehen wir folgt aus.

Merke

Einen Winkel kannst du mit der folgenden Formel vom Gradmaß ins Bogenmaß umrechnen. 

\textcolor{red}{x} = \frac{\textcolor{blue}{\alpha}}{180^\circ} \cdot \pi

Du kannst natürlich auch in die andere Richtung eine Umrechnung von Bogenmaß zu Grad durchführen.

\textcolor{blue}{\alpha} = \frac{\textcolor{red}{x}}{\pi} \cdot 180^\circ

Legen wir direkt mit Beispielen zur Umrechnung los.

Grad in Bogenmaß

Mithilfe der oberen Formel ist die Umrechnung eines Winkels von Grad in Bogemaß für dich kein Problem mehr.

\textcolor{red}{x} = \frac{\textcolor{blue}{\alpha}}{180^\circ} \cdot \pi

Jetzt zeigen wir dir die Anwendung mit zwei Beispielen.

Beispiel

Forme \textcolor{blue}{\alpha = 60^\circ} vom Gradmaß ins Bogenmaß um.

  • 1. Formel aufstellen: Schreibe die Formel für die Umrechnung von Grad in Bogenmaß auf.

\textcolor{red}{x} = \frac{\textcolor{blue}{\alpha}}{180^\circ} \cdot \pi

  • 2. Gradmaß einsetzen: Setze den Wert \textcolor{blue}{\alpha =60^\circ} in die Bogenmaß Formel ein.

\textcolor{red}{x} = \frac{\textcolor{blue}{60^\circ}}{180^\circ} \cdot \pi

  • 3. Bogenmaß berechnen: Rechne das Grad zu Bogenmaß um.

\textcolor{red}{x} = \frac{\textcolor{blue}{60^\circ}}{180^\circ} \cdot \pi = \frac{1}{3} \cdot \pi \approx 1,047

Für einen Winkel mit 60° im Gradmaß kannst du das Bogenmaß berechnen und bekommst einen Winkel im Bogenmaß von ungefähr 1,047.

Winkel, Kreis, Bogenmaß, Gradmaß
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Beispiel: Grad in Bogenmaß

Bogenmaß in Grad

Mit der Bogenmaß Formel kannst du auch ganz leicht die Berechnung Bogenmaß zu Gradmaß durchführen.

\textcolor{blue}{\alpha} = \frac{\textcolor{red}{x}}{\pi} \cdot 180^\circ

Schau dir einfach das folgende Beispiel an, damit das Rechnen für dich wirklich kein Problem mehr ist.

Beispiel

Angenommen du sollst einen Winkel \textcolor{red}{x = 1} vom Bogenmaß ins Gradmaß umrechnen, dann gehst du wie folgt vor:

  • 1. Formel aufstellen: Schreibe die Formel für das Winkel umrechnen von Bogenmaß zu Grad auf.

\textcolor{blue}{\alpha} = \frac{\textcolor{red}{x}}{\pi} \cdot 180^\circ

  • 2. Bogenmaß einsetzen: Setze den Winkel im Bogenmaß \textcolor{red}{x = 1} in die Gradmaß Formel ein.

\textcolor{blue}{\alpha} = \frac{\textcolor{red}{1}}{\pi} \cdot 180^\circ

  • 3. Gradmaß berechnen: Zuletzt musst du noch das Ergebnis berechnen.

\textcolor{blue}{\alpha} = \frac{\textcolor{red}{1}}{\pi} \cdot \180^\circ \approx 0,32 \cdot \180^\circ \approx 57,3^\circ

Du siehst, dass ein Bogenmaß Winkel mit Wert 1 einem Winkel in Grad von ungefähr 57,3° entspricht.

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Beispiel: Bogenmaß in Grad

Bogenmaß Tabelle

In der Tabelle siehst du auf einen Blick ein paar wichtige Werte von Grad in Bogenmaß umgerechnet.

Gradmaß \alpha Umrechnung Bogenmaß x
\frac{0^\circ}{180^\circ} \cdot \pi 0
30° \frac{30^\circ}{180^\circ} \cdot \pi \frac{\pi}{6}
90° \frac{90^\circ}{180^\circ} \cdot \pi \frac{\pi}{2}
180° \frac{180^\circ}{180^\circ} \cdot \pi \pi
360° \frac{360^\circ}{180^\circ} \cdot \pi 2\pi

Kommen wir als letztes noch zur Herleitung der beiden Formeln.

Bogenmaß berechnen

Anhand des linken Kreises siehst du, dass ein kompletter Innenwinkel im Gradmaß 360° entspricht.  Das heißt, dass ein Winkel \textcolor{blue}{\alpha} im Gradmaß einen Anteil am Innenwinkel hat von \frac{\textcolor{blue}{\alpha}}{360^\circ}

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links Gradmaß, rechts Bogenmaß

Beim rechten Kreis kannst du erkennen, dass der Innenwinkel im Bogenmaß 2\pi entspricht. Daraus kannst du schließen, dass ein Winkel \textcolor{red}{x} im Bogenmaß einen Innenwinkel-Anteil von \frac{\textcolor{red}{x}}{2\pi} hat.

Willst du das Gradmaß mit dem Bogenmaß vergleichen, musst du beide Verhältnisse gleichsetzen.

\frac{\textcolor{blue}{\alpha}}{360^\circ} = \frac{\textcolor{red}{x}}{2\pi}

Für die Umrechnung von Grad in Bogenmaß hast du \textcolor{blue}{\alpha} gegeben und suchst \textcolor{red}{x}. Du findest \textcolor{red}{x}, indem du danach auflöst.

\frac{\textcolor{blue}{\alpha}}{360^\circ} = \frac{\textcolor{red}{x}}{2\pi} \quad | \cdot 2\pi

\textcolor{red}{x} = \frac{\textcolor{blue}{\alpha}}{360^\circ} \cdot 2\pi 

Beim Umrechnen von Bogenmaß zu Grad hast du \textcolor{red}{x} gegeben und suchst \textcolor{blue}{\alpha}. Löse die Gleichung nach \textcolor{blue}{\alpha} auf. 

\frac{\textcolor{blue}{\alpha}}{360^\circ} = \frac{\textcolor{red}{x}}{2\pi} \quad |\cdot 360^{\circ}

\textcolor{blue}{\alpha} = \frac{\textcolor{red}{x}}{2\pi} \cdot 360^\circ

Du kannst in beiden Gleichungen noch 360° mit 2 kürzen.

\textcolor{red}{x} = \frac{\textcolor{blue}{\alpha}}{180^\circ} \cdot \pi 

\textcolor{blue}{\alpha }= \frac{\textcolor{red}{x}}{\pi} \cdot 180^\circ

So bekommst du die Formeln für die Umrechnung Grad in Bogenmaß bzw. Bogenmaß in Grad, die du schon am Anfang gesehen hast. Ein Winkel im Bogenmaß hat eine Einheit, die man Radiant (rad) schreibt, aber meistens weglässt.

Einheitskreis und Bogenmaß

Du musst auch wissen, dass das Bogenmaß an einem Kreis mit einem Radius gleich eins definiert ist; so einen Kreis mit r = 1 nennt man auch Einheitskreis. Am Einheitskreis kann man natürlich mehr als nur das Bogenmaß definieren, also schau dir für den richtigen Durchblick unbedingt unser Video zum Einheitskreis an!

Gradmaß, Bogenmaß, Einheitskreis
Zum Video: Einheitskreis

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