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Rekonstruktion von Funktionen

Wie du bei der Rekonstruktion von Funktionen vorgehen musst, erfährst du in unserem Beitrag und in unserem Video

Quiz zum Thema Rekonstruktion von Funktionen
Inhaltsübersicht

Rekonstruktion von Funktionen einfach erklärt

Bei der Rekonstruktion von Funktionen musst du anhand von gegebenen Informationen eine ganzrationale Funktionsgleichung bestimmen. Dazu stellst du Gleichungen auf.

Funktionen rekonstruieren Vorgehen
  1. Schreibe die allgemeine Funktionsgleichung (z. B. f(x)= ax3 + bx2 + cx + d) deiner gesuchten Funktionsart auf. Bestimme auch ihre Ableitungen.
  2. Übersetze die gegebenen Informationen (Nullstelle , Tangente , …) aus der Rekonstruktion in Mathe Gleichungen.
  3. Stelle ein lineares Gleichungssystem (LGS) auf und löse es.
  4. Bestimme deine rekonstruierte Funktion.

Rekonstruktion von Funktionen Aufgabe

Schaue dir dazu mal die Rekonstruktion von Funktionen 3. Grades in einem Beispiel an.

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion

  • 3. Grades
  • mit einem Extrempunkt bei (-1|2) und
  • einer Wendestelle bei x = 1.
  • Die Tangente bei x = 2 hat die Steigung m = 9.

1.Schritt: Allgemeine Funktionsgleichung und Ableitungen bestimmen

Im ersten Schritt bestimmst du die allgemeine Funktionsgleichung, die du für deine rekonstruierte Funktion brauchst. Um dir später Zeit zu sparen, solltest du auch ihre ersten beiden Ableitungen bilden.

    \begin{align*}f(x)&=ax^3+bx^2+cx+d\\f'(x)&=3ax^2+2bx+c\\f''(x)&=6ax+2b\end{align*}

2.Schritt: Informationen in Gleichungen übersetzen

Im nächsten Schritt übersetzt du die gegebenen Informationen aus der Rekonstruktion in Mathe Gleichungen.

I Der Graph verläuft durch den Punkt (-1|2). f(-1) = 2

    \begin{align*}f(-1)&=a\cdot {(-1)}^3+b\cdot (-1)^2+c\cdot (-1)+d=2\\f(-1)&=-a+b-c+d=2\end{align*}

II Der Graph hat ein Minimum im Punkt (-1|2). f'(-1) = 0

    \begin{align*}f'(-1)&=3a\cdot (-1)^2+2b\cdot (-1)+c=0\\f(-1)&=3a-2b+c=0\end{align*}

III Der Graph hat eine Wendestelle bei x = 1. f“(1) = 0

    \begin{align*}f''(1)&=6a\cdot 1+2b=0\\f''(1)&=6a+2b=0\end{align*}

IV Die rekonstruierte Funktion hat eine Tangente bei x = 2 mit der Steigung m = 9. f'(2) = 9

    \begin{align*}f'(2)&=3a\cdot 2^2+2b\cdot 2+c=9\\f'(2)&=12a+4b+c=9\end{align*}

3.Schritt: Lineares Gleichungssystem (LGS)

Mithilfe deiner Gleichungen kannst du jetzt ein lineares Gleichungssystem (LGS) aufstellen.

    \begin{align*}\text{I }&2=-a+b-c+d\\\text{II }&0=3a-2b+c\\\text{III }&0=6a+2b\\\text{IV }&9=12a+4b+c\end{align}

Du hast nun verschiedene Methoden, um das LGS zu lösen:

Wenn du mit dem Additionsverfahren von Gleichung IV die Gleichung II subtrahierst, fällt das c weg:

    \begin{align*}9-0&=12a+4b+c-(3a-2b+c)\\9-0&=12a+4b+c-(3a-2b+c)&&|\;\text{Zusammenfassen}\\9&=12a+4b+c-3a+2b-c&&|\;\text{Zusammenfassen}\\9&=9a+6b\end{align*}

Als nächstes kannst du die Gleichung nach a umformen .

    \begin{align*}9&=9a+6b&&|\;-6b\\9-6b&=9a&&|\;:9\\1-\frac{2}{3}\cdot b&=a\end{align*}

Das Ergebnis für a kannst du in die Gleichung II einsetzen .

    \begin{align*}0&=6\textcolor{red}{a}+2b&&|\;\textcolor{red}{a=1-\frac{2}{3}\cdot b}\text{ einsetzen}\\ 0&=6\cdot (\textcolor{red}{1-\frac{2}{3}\cdot\ b})+2b&&|\;\text{Zusammenfassen}\\0&=6-2b&&|\;+2b\\2b&=6&&|\;:2\\b&=3\end{align*}

Mithilfe von b kannst du a ausrechnen.

    \begin{align*}\textcolor{red}{a}&=1-\frac{2}{3}\cdot \textcolor{olive}{b}&&|\;\textcolor{olive}{b=3}\text{ einsetzen}\\\textcolor{red}{a}&=1-\frac{2}{3}\cdot \textcolor{olive}{3}&&|\;\text{Zusammenfassen}\\\textcolor{red}{a}&\textcolor{red}{=-1}\end{align*}

Die Werte für a und b kannst du jetzt in die Gleichung II einsetzen, um c auszurechnen.

    \begin{align*} 0&=3\textcolor{red}{a}-2\textcolor{olive}{b}+\textcolor{teal}{c}   &&|\;\textcolor{red}{a=-1}\text{ und }\textcolor{olive}{b=3}\text{ einsetzen} \\ 0&=3\cdot \textcolor{red}{(-1)}-2\cdot \textcolor{olive}{3}+\textcolor{teal}{c} &&|\;\text{Zusammenfassen} \\ 0&=-9+\textcolor{teal}{c} &&|\;+9 \\ \textcolor{teal}{9}&=\textcolor{teal}{c} \end{align*}

Jetzt, da du die Werte für a, b und c kennst, kannst du sie in die Gleichung I einsetzen, um d auszurechnen.

    \begin{align*}2&=-\textcolor{red}{a}+\textcolor{olive}{b}-\textcolor{teal}{c}+\textcolor{orange}{d}&&|\;\text{Werte einsetzen}\\2&=-\textcolor{red}{(-1)}+\textcolor{olive}{3}-\textcolor{teal}{9}+\textcolor{orange}{d}&&|\;\text{Zusammenfassen}\\2&=-5+\textcolor{orange}{d}&&|\;+5\\\textcolor{orange}{7}&\textcolor{orange}{=d}\end{align*}

Dein LGS hat also die Lösungen a = -1, b = 3, c = 9 und d = 7.

4.Schritt: Rekonstruierte Funktion bestimmen

Zum Schluss kannst du deine Ergebnisse nutzen, um die rekonstruierte Funktion zu bestimmen.

Erinnere dich: Für die Rekonstruktion von Funktionen 3. Grades, lautet deine allgemeine Funktionsgleichung:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Nun musst du noch die Werte a = -1, b = 3, c = 9 und d = 7 einsetzen.

f(x) = -x³ + 3x² + 9x + 7

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Zum Video: Steckbriefaufgaben
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