Schnittpunkt berechnen
Du willst wissen, wie du den Schnittpunkt von Funktionen ganz leicht berechnen kannst? Dann bist du hier genau richtig. Wenn du dich lieber zurücklehnst anstatt lange Texte zu lesen, dann klick doch einfach auf unser Video hier.
Inhaltsübersicht
Schnittpunkt berechnen einfach erklärt
Der Schnittpunkt ist die Stelle im Koordinatensystem, an der sich zwei Funktionsgraphen schneiden.
Wenn du die Graphen vor dir hast, kannst du den Schnittpunkt natürlich einfach ablesen – hier wäre er S(1|2). Aber was, wenn du den Schnittpunkt berechnen sollst?
Da die Funktionen f(x) und g(x) an ihrem Schnittpunkt gleich sein sollen, musst du sie gleich setzen.
Dann kannst du nach x auflösen, um den x-Wert des Schnittpunktes zu bestimmen.
Anschließend kannst du dein x in eine der beiden Funktionen einsetzen und kommst so zu dem y-Wert des Schnittpunktes.
f(1) = 2⋅1 = 2
Du siehst: du hast den Schnittpunkt S(1|2) jetzt auch rechnerisch bestimmen können!
- Setze beide Funktionen gleich.
- Löse nach x auf.
- Setze x in eine der beiden Funktionen ein, um y zu berechnen.
Eine ausführlichere Erklärung und viele anschauliche Beispiele zur Schnittpunktberechnung bei verschiedenen Funktionen siehst du jetzt.
Schnittpunkt berechnen – lineare Funktionen
Am einfachsten lassen sich die Schnittpunkte linearer Funktionen , also von Geraden, bestimmen. Ein kurzes Beispiel dazu hast du ja schon gesehen.
Probiere die Vorgehensweise jetzt gleich mal selber an diesem Beispiel aus und bestimme den Schnittpunkt:
f(x) = 2x-4 und g(x) = -x+5
Dazu gehst du wie beschrieben vor:
- Zuerst setzt du die Funktionen gleich.
-
Löse dann nach x auf
.
- Setze x in eine der beiden Funktionen ein. Dabei ist es egal, in welche der beiden Funktionen du x einsetzt, schließlich haben sie an der Stelle ja den gleichen Wert.
f(3) = 2⋅3-4 = 2
Das heißt: Der Schnittpunkt liegt bei S(3|2)! Das kannst du auch auf dem Bild sehen:
Schau dir jetzt noch ein Beispiel an. Hier sollst du den Schnittpunkt dieser Funktionen berechnen:
f(x) = -x+7 und g(x) = -x+5
- Setze die Funktionen gleich.
- Löse nach x auf.
Das ist offensichtlich falsch! Da du rechnerisch keinen Schnittpunkt bestimmen kannst, heißt das, dass es gar keinen Schnittpunkt gibt.
Das siehst du auch, wenn du dir die Graphen der Funktionen anschaust: Da die Geraden die selbe Steigung haben, schneiden sie sich nie. Stattdessen sind sie parallel.
Einen Schnittpunkt gibt es nur, wenn die Steigung der Funktionsgleichungen unterschiedlich ist:
- z. B. f(x) = 2x + 1 und g(x) = 3x + 2.
Haben zwei Funktionen die gleiche Steigung, sind sie entweder echt parallel (keinSchnittpunkt):
- z. B. f(x) = 2x + 2 und g(x) = 2x + 5
oder identisch (unendlich viele Schnittpunkte):
- z.B. f(x) = 3x – 4 und g(x) = 3x – 4
Wenn du also bei zwei linearen Funktionen die gleiche Steigung entdeckst, kannst du dir die Schnittpunktberechnung auch sparen!
Super, jetzt weißt du, wie man die Schnittpunkte linearer Funktionen bestimmt. Aber wie sieht die Schnittpunktberechnung bei quadratischen Funktionen aus?
Schnittpunkt berechnen – lineare und quadratische Funktion
Wenn du den Schnittpunkt einer linearen und quadratischen Funktion bestimmen möchtest, gehst du wie gewohnt vor. Nur die Auflösung nach x kann noch einen Schritt mehr erfordern.
Schau dir dazu direkt folgende Funktionsgleichungen an:
f(x) = x und g(x) = x2-4x+4
-
Setze die Funktionen gleich.
- Löse nach x auf. Da hier ein x2 und ein x dabei sind, kannst du die Gleichung nicht mehr so leicht durch Umformungen nach x auflösen. Stattdessen musst du hier die Mitternachtsformel
verwenden. Dazu brauchst du die Form .
- Setze deine zwei Ergebnisse für x in eine der beiden Funktionen ein.
f(1) = 1 f(4) = 4
Das bedeutet: Deine zwei Schnittpunkte sind S1(1|1) und S2(4|4).
Genau das kannst du auch an den Graphen sehen:
Schnittpunkt zweier quadratischer Funktionen
Wie du die Schnittpunkte von einer linearen und einer quadratischen Funktion bestimmen kannst, weißt du jetzt. Die Schnittpunktberechnung von zwei quadratischen Funktionen stellt dann auch kein Problem mehr für dich dar!
Probier das doch gleich mal an diesen quadratischen Funktionen aus und berechne den Schnittpunkt:
f(x) = x2+1 und g(x) = 2x2
-
Setze die Funktionen gleich.
-
Löse nach x auf. Da du hier kein x dabei hast, kannst diese Gleichung auch ohne Mitternachtsformel und nur mit Umformungen lösen.
- Setze die 2 Punkte in eine der beiden Funktionen ein.
f(-1) = (-1)2+1 = 2 f(1) = 12+1 = 2
Laut der Schnittpunktberechnung hast du also Schnittpunkte bei S1(-1|2) und S2(1|2). Das kannst du auch am Graphen sehen:
Schnittpunkt berechnen Vektoren
Geraden kannst du auch im dreidimensionalen Raum mithilfe von Vektoren darstellen. Zwei Geraden werden dort so dargestellt:
Dabei sind und Ortsvektoren und und die Richtungsvektoren .
Für die Schnittpunktberechnung der Geraden f und g im dreidimensionalen Raum gehst du am besten so vor:
-
Überprüfe, ob die Richtungsvektoren und Vielfache voneinander sind.
-
Setze die beiden Geradengleichungen gleich und löse das dazugehörige Gleichungssystem nach und auf.
- Setze in die Geradengleichung f ein und bestimme so den Schnittpunkt.
Beispiel:
Du sollst den Schnittpunkt dieser Geraden in Vektordarstellung bestimmen:
-
Überprüfe zuerst, ob die Richtungsvektoren und Vielfache voneinander sind. Hier ist das nicht der Fall, denn du kannst keine Zahl finden, mit der du so multiplizieren kannst, dass du rausbekommst.
-
Setze die beiden Geradengleichungen gleich
- Jetzt kannst du den Schnittpunkt ganz leicht berechnen, indem du in die Geradengleichung f einsetzt.
Dein Schnittpunkt liegt also bei .
Um den Schnittpunkt von zwei Funktionen zu berechnen, setzt du ihre Funktionsterme gleich und formst die Gleichung nach x um. Für die Graphen f(x) = 2x und g(x) = x+3 sind die Koordinaten des Schnittpunkts S(x0|f(x0)) = S(2|4).
Nullstellen berechnen
Super, jetzt weißt du, wie du bei verschiedenen Funktionsarten den Schnittpunkt berechnen kannst. Oft sind aber nicht nur Schnittpunkte, sondern auch Nullstellen von Funktionen gefragt. Wie du die berechnest, siehst du in unserem Video dazu.