Integral
Du fragst dich was mit dem Integral auf sich hat und wie du es berechnest? Dann bist du hier genau richtig! Hier und in unserem passenden Video zeigen wir dir alles, was du wissen musst.
Inhaltsübersicht
Integralrechnung einfach erklärt
Mit einem bestimmten Integral kannst du den Flächeninhalt A unter einer gekrümmten Funktion f(x) berechnen. Wenn du zum Beispiel das Integral A über der Integralfunktion f(x)=x3+1 im Intervall [-1; 1,5] berechnen willst, schreibst du das so:
![\[ \textcolor{olive}{A} = \int_{\textcolor{orange}{-1}}^{\textcolor{blue}{1,5}} \textcolor{red}{x^3+1} \; \textcolor{brown}{\mathop{\mathrm{d}x}} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-424c2d52b9d29734ec42a8c8e42d2d2e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Gesprochen: „Integral von -1 bis 1,5 über x³ + 1 d x“.
- -1 und 1,5 sind die untere und obere Integrationsgrenze. Also die x-Werte, an denen du mit dem Integrieren anfängst und aufhörst.
-
ist das mathematische Zeichen für das Integral. - dx gibt an, über welche Variable du integrierst – hier ist das x. (Bei dt würdest du über t integrieren.)
-
und dx bilden eine „Klammer„, mit der du die zu integrierende Funktion x3+1 einschließt.
Integral berechnen
Der Schlüssel zur Berechnung von Integralen ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
Die Ableitung der Stammfunktion F(x) von f(x) ist wieder f(x).
Das bestimmte Integral berechnest du dann mit dieser Formel:
![\[\int_{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{blue}{b}} \textcolor{red}{f(x)} \; dx = \left[ \textcolor{olive}{F(x)} \right]_{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{blue}{b}} = \textcolor{olive}{F(}\textcolor{blue}{b}\textcolor{olive}{)} - \textcolor{olive}{F(}\textcolor{orange}{a}\textcolor{olive}{)}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6cc6bc59e78da9c417025b40f2e598e6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Beispiele:
![\[\int_{\textcolor{orange}{0}}^{\textcolor{blue}{2}} \textcolor{red}{2x} \; dx = \left[ \textcolor{olive}{x^2} \right]_{\textcolor{orange}{0}}^{\textcolor{blue}{2}} = \textcolor{blue}{2}^{\textcolor{olive}{2}} - \textcolor{orange}{0}^{\textcolor{olive}{2}} = 4 - 0 = 4\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0a335e0e65da91993041aed8035228cd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Die Stammfunktion von 2x ist nämlich x², weil die Ableitung von x² gleich 2x ist (HDI).
![\[\int_{\textcolor{orange}{-1}}^{\textcolor{blue}{3}} \textcolor{red}{e^x} \; dx = \left[ \textcolor{olive}{e^x} \right]_{\textcolor{orange}{-1}}^{\textcolor{blue}{3}} = \textcolor{olive}{e}^{\textcolor{blue}{3}} - \textcolor{olive}{e}^{\textcolor{orange}{-1}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5eb06965886c725a523aa06e8a35b395_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Die Stammfunktion von 
ist wieder , weil die e-Funktion abgeleitet
wieder die e-Funktion ist.
Aber wie kannst du ein Integral berechnen, wenn du nicht sofort die Stammfunktion siehst? Um die Größe deines Integrals abzuschätzen, kannst du den Flächeninhalt vieler kleiner Rechtecke verwenden. Zeichnest du die Rechtecke unterhalb deiner Funktion, nennst du das die Untersumme. Wenn du unendlich viele und unendlich schmale Rechtecke benutzt, ist deine Untersumme gleich deinem Integralwert.
Umgekehrt kannst du die Rechtecke auch oberhalb deines Graphen zeichnen. Dann überschätzt du die Größe deines Integrals und nennst es die Obersumme. Du kannst aber auch mit der Obersumme den richtigen Wert von deinem Integral ausrechnen, wenn du unendlich viele, unendlich schmale Rechtecke verwendest.
Wenn die Breite deiner Rechtecke unendlich klein wird und die Anzahl deiner Rechtecke unendlich groß wird, ist deine Obersumme gleich der Untersumme. Wenn die Unter- und Obersumme gleich sind, hast du dein Integral berechnet. Es gibt auch ein paar hilfreiche Rechenregeln, mit denen du Funktionen integrieren kannst, ohne die Unter- oder Obersumme ausrechnen zu müssen.
Integrationsregeln
1.Regel: Obere Grenze = Untere Grenze
![\[ \int_{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{blue}{a}} f(x) \mathop{\mathrm{d}x} = 0 \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7761aa174491b6035323416974616796_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Wenn du das Integral von x=a bis x=a ausrechnest, ist es das gleiche, wie eine Fläche mit den Seiten 0 und f(a) auszurechnen. Das machst du, indem du beide Seiten multiplizierst: 
. Das Ergebnis ist also 0.
2.Regel: Umkehren der Grenzen
Vertauschst du die obere und untere Integrationsgrenze, wechselt auch das Vorzeichen von deinem Integral von plus nach minus oder von minus nach plus.
![\[ \int_{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{blue}{b}} f(x) \mathop{\mathrm{d}x} = - \int_{\textcolor{blue}{b}}^{\textcolor{orange}{a}} f(x) \mathop{\mathrm{d}x} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b01a16211939dc52afaf8ca78caa5de6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
3.Regel: Additivität (Summenregel)
Du kannst jedes Integral auch als Summe von zwei kleineren Integralen berechnen. Wenn du von a bis b und von b bis c integrierst, ist es das gleiche wie von a bis c zu integrieren.
![\[ \int_{\textcolor{red}{a}}^{\textcolor{olive}{b}} f(x) \mathop{\mathrm{d}x} + \int_{\textcolor{olive}{b}}^{\textcolor{blue}{c}} f(x) \mathop{\mathrm{d}x} = \int_{\textcolor{red}{a}}^{\textcolor{blue}{c}} f(x) \mathop{\mathrm{d}x} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5d7ab26d6268878186110a98c2c62f3b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
4.Regel: Vorfaktoren rausziehen (Faktorregel)
Zahlen, die in deinem Integral stehen, kannst du immer vor das Integral ziehen. Wenn du zum Beispiel deine Integralfunktion mit c multiplizierst, kannst du auch einfach das Integral mit c multiplizieren.
![\[ \int_a^b \textcolor{red}{c}\cdot f(x)\mathop{\mathrm{d}x} = \textcolor{red}{c}\cdot\int_a^b f(x)\mathop{\mathrm{d}x} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-06875b993cd500756603d4bc5e5badab_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
5.Regel: Integralfunktionen addieren
Wenn deine Integralfunktion eine Summe aus zwei Funktionen f(x) und g(x) ist, kannst du auch dein Integral als Summe von zwei einzelnen Integralen schreiben.
![\[ \int_a^b f(x)+g(x) \mathop{\mathrm{d}x} = \int_a^b f(x) \mathop{\mathrm{d}x} +\int_a^b g(x) \mathop{\mathrm{d}x} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e3d50903dd042bd7030455a036ef8aba_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
6.Regel: Punktsymmetrische Funktionen
Wenn du eine Funktion integrierst, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist, brauchst du manchmal das Integral gar nicht auszurechnen. Falls die obere Integrationsgrenze a gleich der unteren Integrationsgrenze mit negativem Vorzeichen -a ist, verschwindet das Integral.
Du siehst, warum es stimmt, wenn du das Teilintegral links und rechts vom Ursprung vergleichst. Sie sind genau gleich groß, aber sie haben unterschiedliche Vorzeichen. Zusammen ergeben sie also 0.
![\[ \int_{\textcolor{red}{-a}}^{\textcolor{blue}{a}} f(x)\mathop{\mathrm{d}x} = \textcolor{red}{ \int_{-a}^0 f(x)\mathop{\mathrm{d}x} } + \textcolor{blue}{ \int_0^a f(x)\mathop{\mathrm{d}x} } = 0 \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9cf5d0990533c618bc71d05deb132669_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
7.Regel: Achsensymmetrische Funktion
Wenn deine Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, kannst du viele Integrale vereinfachen. Für Integrale, die von -a bis a gehen, kannst du auch nur zwei mal das Integral von 0 bis a ausrechnen, weil die Teilintegrale links und rechts der y-Achse gleich groß sind.
![\[ \int_{\textcolor{red}{-a}}^{\textcolor{blue}{a}} f(x) \mathop{\mathrm{d}x} = 2\cdot\int_0^{\textcolor{blue}{a}} f(x) \mathop{\mathrm{d}x} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c7dd97d80afb8f0230d7a3e71dc667ef_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
8.Regel: Betrag
Für den Betrag des Integrals 
berechnest du auch zuerst alle Teilintegrale. Allerdings haben dann alle Teilintegrale ein positives Vorzeichen.
Dabei gilt immer:
![\[\left|\int_a^b f(x) dx\right| \leq \int_a^b |f(x)| dx\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6dd4bc527919194aabfc803343d2a5f5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Mit dem Beispiel aus der 6.Regel berechnest du den Betrag also so:
![\[\int_{\textcolor{red}{-a}}^{\textcolor{blue}{a}} f(x)\mathop{\mathrm{d}x} = \textcolor{red}{\left| \int_{-a}^0 f(x)\mathop{\mathrm{d}x}\right| } + \textcolor{blue}{ \left|\int_0^a f(x)\mathop{\mathrm{d}x}\right| } = 2 \cdot \textcolor{red}{ \int_{-a}^0 f(x)\mathop{\mathrm{d}x} }\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0f9d0c175617100d0548923de6202f12_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Beide Teilintegrale sind ja gleich groß.
Bestimmtes und Unbestimmtes Integral
Beim Integralberechnen kannst du zwei verschiedene Integrale berechnen: Mit dem bestimmten Integral rechnest du die Fläche A unter dem Graphen von f(x) aus. Dabei rechnest du die Fläche zwischen der Stelle a und der Stelle b aus.
![\[ A = \int_a^b f(x)\mathop{\mathrm{d}x}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-76db39af37db5663d6151a1f4a948e62_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Bei einem unbestimmten Integral benutzt du als untere Integrationsgrenze x=0 und für die obere Integrationsgrenze die neue Variable t. Wenn du das unbestimmte Integral berechnest, bekommst du die Stammfunktion F(t) von der Integralfunktion f(x). Das nennst du auch f(x) integrieren.
![\[ F(t) = \int_a^t f(x)\mathop{\mathrm{d}x} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-183e182372bf9d729da3ce5bdd6ce7cc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Wichtig: Wenn du deine Stammfunktion F(t) ableitest
, bekommst du wieder deine Integralfunktion f(x).
Das ist so ein wichtiges Konzept, dass es einen eigenen Namen hat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI)
![\[ \textcolor{olive}{F(\textcolor{blue}{t})} = \int_{\textcolor{orange}{0}}^{\textcolor{blue}{t}} \textcolor{red}{f(x)} \mathop{\mathrm{d}x} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-affe766ef6792dc2d134f537daf2baef_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Zum bestimmten und unbestimmten Integral haben wir dir auch ein separates Video vorbereitet.