Nullstellen ganzrationaler Funktionen 3. und höheren Grades
Wie du die Nullstellen ganzrationaler Funktionen berechnen kannst, erfährst du hier und in unserem Video !
Inhaltsübersicht
Ganzrationale Funktionen Nullstellen
Die Nullstellen ganzrationaler Funktionen 3. oder höheren Grades sind die Stellen, an denen der Graph die x-Achse schneidet. Um die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion zu berechnen, suchst du nach der Lösung der Gleichung f(x) = 0.
Hier siehst du die ganzrationale Funktion f(x) = x3 – 6x2 + 5x + 12 mit ihren Nullstellen x1 = -1, x2 = 3 und x3 = 4.
Um die Nullstellen zu berechnen, gibt es keine allgemeine Lösungsformel. Stattdessen kannst du verschiedene Methoden anwenden:
- Linearfaktorzerlegung
- Ausklammern
- Substitution
- Polynomdivision
- Kombination: Zerlegung ganzrationaler Funktionen
Die Nullstellen eines Polynoms sind die Stellen, an denen der Graph der ganzrationalen Funktion die x-Achse schneidet.
Linearfaktorzerlegung
Ist deine Funktion in der Linearfaktorzerlegung (Mathematiker sagen auch Linearfaktordarstellung) angegeben, kannst du die Nullstellen einfach ablesen. Frage dich dazu: Für welches x wird die erste Klammer, die zweite Klammer usw. gleich 0? Denn wenn eine Klammer der Gleichung gleich 0 ist, wird die komplette Gleichung null.
Beispiel Linearfaktorzerlegung: f(x) = (x + 1) · (x – 2) · (x + 5)
Die Funktion hat ihre Nullstellen bei
- x1 = -1, denn (-1 + 1) = 0
- x2 = 2, denn (2 – 2) = 0
- x3 = -5, denn (-5 + 5) = 0
Ausklammern
Die nächste Methode, um die Nullstellen einer Funktion 3. oder höheren Grades zu bestimmen, ist das Ausklammern . Das bedeutet, du ziehst ein oder mehrere x vor die Klammer. Das geht immer dann, wenn alle Summanden deiner Funktion mindestens ein x enthalten.
Beispiel: f(x) = 2x4 – 6x3 – 8x2
Du kannst x2 ausklammern. Dadurch erhältst du:
f(x) = x2 · (2x2 – 6x – 8)
Nun weißt du, dass die erste Nullstelle bei x = 0 liegt. Denn wenn du in das x vor die Klammer 0 einsetzt, wird deine ganze Gleichung null. Es handelt sich also um eine Nullstelle. Aber Vorsicht! Du bist noch nicht fertig.
Mithilfe der pq-Formel oder der Mitternachts-Formel bestimmst du noch die Nullstellen innerhalb der Klammer. Hier benutzen wir dir Mitternachtsformel:
2x2 – 6x – 8 = 0
![\[\textcolor{blue}{x_{2,3}} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 2 \cdot (-8)}}{2\cdot 2} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a070d960cf6064b585d9c54bf9e724d8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
x2 = 4, x3 = – 1
Die Nullstellen der Funktion sind x1 = 0, x2= 4 und x3 = – 1!
Mehr Beispiele zum Bestimmen von Polynom Nullstellen mithilfe des Ausklammerns findest du hier !
Substitution
Die Nullstellen einer Funktion 4. Grades kannst du mithilfe der Substitution bestimmen. Das geht bei allen ganzrationalen Funktionen, die als Exponenten nur gerade Zahlen haben (2, 4, 6,…).
Beispiel: f(x) = x4 – 3x2 + 2
Um die Gleichung zu lösen, ersetzt du x2 durch z. Das nennst du substituieren. Weil x4 =(x2)2 ist, erhältst du nach der Substitution:
f(z) = z2 – 3z +2
Von dieser Gleichung bestimmst du nun die Nullstellen. Verwende dazu zum Beispiel den Satz von Vieta oder die Mitternachtsformel :
![\[\textcolor{orange}{z_{1,2}} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 1 \cdot 2}}{2\cdot 1}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-44df963d515f5a33356efcbe0f5ca096_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
z1 = 1, z2 = 2
Vorsicht! Das sind noch nicht die Nullstellen deiner Funktion! Zuerst musst du das z wieder durch das x2 ersetzen. Dazu führst du die Resubstitution durch. Das bedeutet, du ziehst die Wurzel von z:
x = 
Als Lösungen erhältst du
-
x1 =
= 1
-
x2 = – = – 1
-
x3 =
-
x4 = –
Fertig! Mehr Aufgaben zur Substitution findest du hier !
Polynomdivision
Auch mit der Polynomdivision kannst du die Nullstellen eines Polynoms berechnen. Am besten verstehst du das Verfahren an einem Beispiel:
Beispiel: f(x) = x3 + 3x2 – 16x + 12
1. Versuche eine Nullstelle durch Ausprobieren herauszufinden. Setze zum Beispiel die Werte 1, 2, 0, -1 oder -2 ein, bis du auf ein Ergebnis kommst.
f(1) = 13 + 3 · 12 – 16 · 1 + 12 = 0
Jetzt weißt du schonmal, dass die Funktion bei x1 = 1 eine Nullstelle hat. Weil f(1) = 0 ist, kennst du den dazugehörigen Linearfaktor (x – 1). Nun kannst du die Polynomdivision durchführen.
2. Teile deine Funktion durch den bekannten Linearfaktor.
f(x) : (x – 1)
(x3 + 3x2 – 16x + 12) : (x – 1) = x2 + 4x – 12
Wie der ausführliche Rechenweg einer Polynomdivision aussieht, zeigen wir dir hier !
Nun kannst du die weiteren Polynom Nullstellen bestimmen, indem du das Polynom gleich 0 setzt.
3. Setze das Polynom gleich 0, um die restlichen Nullstellen zu bestimmen.
x2 + 4x – 12 = 0
Die Lösung erhältst du zum Beispiel mithilfe der pq-Formel oder der Mitternachtsformel:
![\[\textcolor{blue}{x_{2,3}} = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4\cdot 1 \cdot (-12)}}{2\cdot 1}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ca035d5982771b8afc4682242fa2de80_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
x2 = 2, x3 = – 6
4. Schreibe alle Nullstellen auf.
Die Funktion f(x) = x3 + 3x2 – 16x + 12 hat ihre Nullstellen bei x1 = 1, x2 = 2 und x3 = -6.
In diesen Videos zeigen wir dir die Polynomdivision einfach erklärt und viele Polynomdivision Aufgaben .
Zerlegung ganzrationaler Funktionen
Nun kennst du alle Methoden, um die Nullstelle einer Funktion 3. Grades zu bestimmen. Die allgemeine Form einer ganzrationalen Funktion sieht übrigens so aus:
![\[f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots + a_2x^2+a_1x+a_0\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c8a94536c813349eb7082c232523a8e1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Manchmal musst du mehrere Verfahren kombinieren, damit du alle Nullstellen herausfinden kannst.
Beispiel: f(x) = x5 + 6x4 + 3x3 – 10x2
1. Als Erstes kannst du x2 ausklammern.
f(x) = x5 + 6x4 + 3x3 – 10x2
f(x) = x2 · (x3 + 6x2 + 3x – 10)
Nun weißt du schonmal, dass die erste Nullstelle bei x1 = 0 ist. Die Nullstellen innerhalb der Klammern kannst du mithilfe der Polynomdivision bestimmen. Durch Ausprobieren erhältst du als Nullstelle zum Beispiel noch x2 = -1. Der Linearfaktor lautet dann (x – 1).
2. Führe die Polynomdivision durch. Du erhältst das Polynom:
(x3 + 6x2 + 3x – 10) : (x – 1) = x2 + 7x + 10
3. Bestimme die Nullstellen des Polynoms mit der Mitternachtsformel .
x2 + 7x + 10 = 0
![\[\textcolor{blue}{x_{2,3}} = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2-4\cdot 1 \cdot 10}}{2\cdot 1}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8d53d5422c9d9d848106e03cc4ddc33d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
x2 = – 2, x3 = -5
Jetzt hast du alle Nullstellen bestimmt:
- x1 = 0
- x2 = – 1
- x3 = – 2
- x4 = -5
Übrigens: Da du nun alle Nullstellen kennst, kannst du die Funktion f(x) = x5 + 6x4 + 3x3 – 10x2 auch in der Linearfaktorendarstellung schreiben:
f(x) = x12 · (x2 + 1) · (x3 + 2) · (x4+ 5)
Eine Polynomfunktion hat maximal so viele Nullstellen, wie ihr höchster Grad! Eine Funktion dritten Grades kann also höchstens 3 Nullstellen haben!
Potenzfunktionen
Die Nullstellen von Funktionen 3. Grades kannst du nun berechnen! Ein weiterer wichtiger Funktionstyp sind die Potenzfunktionen . Schau dir unser Video dazu an, um alles Wichtige über sie zu erfahren!
