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Quadratische Ergänzung

Wir zeigen dir einen Trick, wie du einfach mit der quadratischen Ergänzung ganz schnell deine quadratische Gleichung in die Scheitelpunktform oder eine Binomische Formel verwandeln kannst.

Inhaltsübersicht

Quadratische Ergänzung einfach erklärt

Quadratische Gleichungen, also Gleichungen mit einem x hoch 2, kennst du bereits. Diese Gleichung schreibst du allgemein so:

f = a • x² + b • x + c

Jetzt kannst du die Mathematik sozusagen einfach austricksen und eine bestimmte Zahl in deiner Gleichung addieren und gleich wieder abziehen. Das Ganze nennt sich dann quadratische Ergänzung.

Welche bestimmte Zahl brauchst du für die quadratische Ergänzung?

Du ergänzt deine Gleichung quadratisch, indem du zuerst die Zahl vor deinem x (ohne Hochzahl) durch zwei teilst und dann hoch zwei nimmst.

+(\frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2

Dieses Ergebnis addierst du dann zu deiner Gleichung und ziehst es gleich wieder ab. 

f = x² – 6 • x + 2

In der Gleichung  f = x² – 6 • x + 2 ist dein b = – 6. Du würdest also den Wert (\frac{6}{2})^2 addieren und subtrahieren. Sechs geteilt durch zwei ist drei. Und drei hoch zwei ist 9. Also ergänzt du in deiner Gleichung den Ausdruck „+ 9 – 9″

f = x² – 6 • x  \underline{ + 9 - 9} + 2

Zum Schluss kannst du immer aus deinen ersten drei Summanden deiner Gleichung eine binomische Formel bilden. In unserem Beispiel ergibt sich aus deinem Ausdruck x² – 6 • x + 9 dann die 2. Binomische Formel:

f = \mathsf{\underbrace{\mathsf{x^2 - 6 \cdot x + 9}} - 9 + 2}

\mathsf{f = (x - 3)^2 - 7}.     ✔

Quadratische Terme

Als quadratische Terme bezeichnet man Terme vom Grad zwei der Form a\cdot x^2+b\cdot x + c. Für die Parameter a, b und c kannst du verschiedene Zahlen einsetzen, nur a=0 ist hier nicht erlaubt, da du sonst einen linearen Term hättest. 

Beispiele für quadratische Terme sind

  • x^2-16
  • x^2+2x+1
  • 2x^2-8x.

Eine besonders beliebte Art, quadratische Terme darzustellen, sind die binomischen Formeln. Das sind drei Formeln, durch deren Ausmultiplizieren du jeweils einen quadratischen Term erhältst. Sie lauten:

Binomische Formeln

1. binomische Formel: (a+b)^2 = a^2+2a  b + b^2

2. binomische Formel: (a-b)^2=a^2-2 a b + b^2

3. binomische Formel: (a+b) (a-b) = a^2-b^2

Ihre Gültigkeit kannst du leicht überprüfen, indem du die linke Seite der Formeln jeweils ausmultiplizierst. Schaust du dir die obigen drei Beispiele genauer an, erkennst du, dass man die ersten beiden Beispiele mit den binomischen Formeln umschreiben kann:

  • x^2-16 = (x+4)(x-4)
  • x^2+2x+1 = (x+1)^2.

Im dritten Beispiel bei 2x^2-8x klappt das leider nicht. Du kannst den Term aber trotzdem in eine ähnliche Form bringen, das ermöglicht dir die Quadratische Ergänzung!  

Quadratisch ergänzen

Wozu die quadratische Ergänzung nützt, hast du gerade eben gesehen. Mit ihrer Hilfe kannst du verschiedene quadratische Terme auf die Form einer binomischen Formel bringen. Gegeben sei ein quadratischer Term, zum Beispiel 2x^2-8x von oben. Um das in eine binomische Formel zu verwandeln, befolgst du die folgende Schritt-für-Schritt-Anleitung für die quadratische Ergänzung:

  • Schritt 1: Klammere die Zahl vor dem x^2 aus

2x^2-8x= 2(x^2-4x).

  • Schritt 2: Entscheide, welche der drei binomischen Formeln infrage kommt. Wir wollen den Ausdruck in der Klammer x^2-4x in eine binomische Formel verwandeln. Du siehst, dass die dritte Formel ausscheidet, weil bei uns im Ausdruck ein Term mit x auftaucht. Das negative Vorzeichen vor der 4 verrät, dass wir die zweite binomische Formel verwenden müssen

a^2-2ab + b^2 = (a-b)^2.

  • Schritt 3: Finde heraus, was in der Formel a und was b ist.  Da in x^2-4\cdot x ein x^2 auftaucht, siehst du sofort, dass a=x sein muss. 4\cdot x entspricht dem Ausdruck 2\cdot a \cdot b. Das kannst du nach b auflösen, wenn du a=x  einsetzt

4 x = 2 x \cdot b \quad \Longleftrightarrow \quad b = 2.

  • Schritt 4: Berechne die binomische Formel und vergleiche sie mit deinem ursprünglichen Term

(x-2)^2 = x^2-4x+4 .

Das unterscheidet sich von 2x^2-8x = 2(x^2-4x) lediglich durch die ausgeklammerte 2 und die +4

  • Schritt 5: Addiere eine Null in der Form 4-4

2x^2-8x = 2(x^2-4x) = 2(x^2-4x+\underbrace{4-4}_{=0}).

Dadurch veränderst du den Wert des Terms nicht! 

  • Schritt 6: Jetzt kannst du umklammern und die binomische Formel aufstellen:

2(x^2-4x+4-4)=2((x^2-4x+4)-4)

=2((x-2)^2-4)  = 2(x-2)^2-8.

Das schauen wir uns am besten noch an einigen weiteren Beispielen an. 

Beispiel 1

Wir wollen x^2+6x mittels obiger Anleitung quadratisch ergänzen. Schritt 1 entfällt hier, da x^2 keinen Vorfaktor hat. Wir beginnen direkt mit Schritt 2 und stellen fest, dass wir für die quadratische Ergänzung die erste binomische Formel wählen müssen, wobei

(a+b)^2 = a^2+2a  b + b^2

x^2+6x = x^2+2\cdot 3  x.

Damit ist a=x und b=3. Wir müssen also +3^2-3^2 rechnen und erhalten

x^2+6x = x^2+2\cdot 3  x +\underbrace{3^2-3^2}_{=0}

=(x^2+2\cdot 3  x +3^2)-3^2= \left( x+3\right)^2 -9.

Beispiel 2 

Nun wollen wir noch den etwas schwierigeren Fall 2x^2-20x+60 untersuchen. Hier haben wir den Vorfaktor 2 gegeben, den wir zuerst ausklammern müssen

2\left(x^2-10x\right)+60.

Das negative Vorzeichen verrät, dass wir die zweite binomische Formel mit a=x und b=5 verwenden müssen. 

2\left(x^2-10x\right)+60 = 2 \left(x^2-2 \cdot 5  x \right) +60.

Diesen Term ergänzen wir im nächsten Schritt quadratisch mit +5^2-5^2 und erhalten

2\left( x^2-2 \cdot 5  x +5^2 - 5^2\right) +60

=2\left( ( x^2-2 \cdot 5 x +5^2 )- 5^2\right) +60

=2\left( x-5\right)^2 -50 +60

=2\left(x-5\right)^2+10.

Merke: Wenn du einen Term der Form x^2-9 gegeben hast, so entspricht das der dritten binomischen Formel. Um x in diesem Falle zu berechnen musst du jedoch nicht quadratisch ergänzen, sondern kannst einfach die Wurzel ziehen

x^2-9=0

x^2 = 9

\Rightarrow x_{1} = 3    und    x_2=-3.

Quadratische Ergänzung Formel

Wenn du die Schritte der obigen Anleitung nicht alle einzeln ausführen magst, kannst du stattdessen auch die folgende Formel verwenden:

Quadratische Ergänzung von x^2+2bx

x^2+2 b x +b^2-b^2 = \left( x + b\right)^2 - b^2

Graphisch kannst du dir das wie folgt vorstellen. Du addierst das kleine blaue Quadrat mit Flächeninhalt b^2, sodass das Gesamtbild ein großes Quadrat ergibt. Damit du den Flächeninhalt gesamt aber nicht veränderst, musst du diesen Wert b^2 wieder abziehen.

quadratische Ergänzung binomische Formel
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Veranschaulichung der quadratischen Ergänzung

Anwendungen der quadratischen Ergänzung

Zuletzt erklären wir dir noch die zwei typischen Anwendungen, bei denen du die quadratische Ergänzung brauchst. 

Quadratische Gleichungen lösen

Zum einen kannst du die quadratische Ergänzung verwenden, um quadratische Gleichungen zu lösen. Das sind Gleichungen der Form

ax^2+bx+c =0.

Willst du beispielsweise die Nullstellen  einer quadratischen Funktion  f(x)=x^2+6x-7 berechnen, kommst du mit quadratischer Ergänzung zum Ziel

x^2+6x-7=0

\left(x^2+2\cdot 3x\right) - 7 = 0

\left(x^2+2\cdot 3x + 3^2-3^2 \right) - 7 = 0

\left(x^2+2\cdot 3x + 3^2 \right) -3^2 - 7 = 0

\left(x+3 \right)^2 -16 = 0.

Diesen Term kannst du nun einfach nach x auflösen:

\left(x+3 \right)^2 =16

x+3 = \pm \sqrt{16} = \pm 4

x_1 = 1 und x_2 = -7.

Scheitelpunktform bestimmen

Eng damit verknüpft, sind die verschiedenen Darstellungsweisen von quadratischen Funktionen. Besonders beliebt ist dabei die Scheitelpunktform . Hier hat die Funktionsgleichung  stets die Form 

f(x) = a(x-d)^2+e,

woraus du sofort die Koordinaten des Scheitels S(d|e) ablesen kannst. Die Scheitelpunktform ist gerade die Form,  die du erhältst, wenn du eine quadratische Ergänzung durchführst. Betrachten wir obiges Beispiel mit f(x)=x^2+6x-7 erneut, so erhältst du, nachdem du die quadratische Ergänzung erfolgreich durchgeführt hast, die Scheitelpunktform f(x)=\left(x+3 \right)^2 -16. Der Scheitel dieser Parabel liegt bei S(-3|-16).

Quadratische Ergänzung Aufgaben

Im Folgenden zeigen wir dir verschiedene Aufgaben mit Lösungen für die quadratische Ergänzung.

Aufgabe 1

Löse die Gleichungen. Verwende dazu wenn nötig die quadratische Ergänzung.

a) \frac{1}{3}x^2-2x-1 =0

b) x^2+12 = 37

c) x^2+2x-4=0

d) -x^2+8x=16

Aufgabe 2

Bestimme die Scheitelpunktform von f(x)=2x^2-4x-10, indem du eine quadratische Ergänzung durchführst. 

Lösung

Aufgabe 1:

a) Hier musst du eine quadratische Ergänzung durchführen. Dazu klammerst du im ersten Schritt den Faktor \frac{1}{3} aus.

0=\frac{1}{3}x^2-2x-1= \frac{1}{3}\left(x^2-6x\right) -1 =  \frac{1}{3}\left(x^2-2 \cdot 3x\right) -1

Das Innere der Klammer verrät dir, dass du die zweite binomische Formel verwenden musst mit a=x und b=3. Die quadratische Ergänzung führst du daher durch, indem du b^2 = 3^2 addierst und gleich wieder abziehst. 

\frac{1}{3}\left(x^2-2 \cdot 3x\right) -1 = \frac{1}{3}\left(x^2-2 \cdot 3x + 3^2-3^2\right) -1

Diesen Term vereinfachst du nun mithilfe der binomischen Formel und erhältst

\frac{1}{3}\left(x-3\right)^2 -3-1 = \frac{1}{3}\left(x-3\right)^2 -4.

Jetzt musst du hiervon noch die Nullstellen berechnen: 

\frac{1}{3}\left(x-3\right)^2 -4 = 0 \quad  \bigg| +4

\frac{1}{3}\left(x-3\right)^2 = 4 \quad \quad \quad \quad \bigg|\cdot 3

\left(x-3\right)^2=12\quad \quad \quad \bigg| \sqrt{\quad}

x-3 = \pm \sqrt{12} = \pm2\sqrt{3}\quad \quad \quad \quad \bigg| +3

x_1 = 3+2\sqrt{3}   und   x_2 = 3-2\sqrt{3} 

b) Um x^2+12 = 37 zu berechnen, brauchst du keine quadratische Ergänzung. Stattdessen kommst du mit Äquivalenzumformungen zum Ziel:

x^2+12 = 37 \quad \quad \quad \quad \bigg| -12

x^2 = 25

x_{1,2} = \pm \sqrt{25} = \pm 5

c)  Im Fall x^2+2x-4=0 hast du keinen Vorfaktor gegeben, du kannst also direkt mit dem zweiten Schritt der quadratischen Ergänzung beginnen. Hier benötigen wir die erste binomische Formel mit a=x und b=1. Die quadratische Ergänzung erfolgt dann mit +1-1:

 x^2+2x-4 = x^2+2x+1-1-4 = (x+1)^2 -5.

Die Nullstellen davon berechnest du folgendermaßen

(x+1)^2 -5 = 0 \quad \quad  \bigg| +5

(x+1)^2 =5 \quad \quad \quad \quad \bigg| \sqrt{\quad}

x+1 = \pm \sqrt{5} \quad \quad \quad \quad \bigg| -1

x_{1,2} = \pm \sqrt{5}-1

d) Um die Gleichung -x^2+8x=16 zu berechnen, brauchst du abermals keine quadratische Ergänzung. Stattdessen kannst du sie folgendermaßen umformen:

-x^2+8x=16 \quad \quad \quad \quad \bigg| -16

-x^2+8x-16=0 \quad \quad \quad  \bigg| \cdot (-1)

x^2-8x+16=0

(x-4)^2 =0 \quad \quad \quad \quad \bigg| \sqrt{\quad}

x_{1,2} = 4

Aufgabe 2:

Um die Scheitelpunktform zu bestimmen,  musst du eine quadratische Ergänzung durchführen. Dazu klammerst du zuerst den Faktor 2 aus

f(x)=2x^2-4x-10 = 2(x^2-2x)-10.

Das Minus in der Klammer verrät dir, dass du hier die zweite binomische Formel verwenden musst mit a=x und b=1. Du musst also b^2 = 1^2=1 quadratisch ergänzen:

2(x^2-2x)-10 = 2(x^2-2x+1-1)-10.

Das vereinfachst du nun und erhältst die Scheitelpunktform

2(x^2-2x+1-1)-10 = 2(x-1)^2-12.

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