Potenzregeln
Hier und in unserem Video zeigen wir dir, welche Potenzregeln es gibt und wie du sie anwendest!
Inhaltsübersicht
Grundlagen: Das ist eine Potenz
Eine Potenz ist eine verkürzte Schreibweise, die du immer dann benutzt, wenn du eine Zahl öfter mit sich selbst malnimmst. Zum Beispiel:
![\[\textcolor{orange}{2}^{\textcolor{teal}{5}} = \underbrace{\textcolor{orange}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}}_{\text{\textcolor{teal}{5} mal}\]](https://blog.assets.studyflix.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-928ee1eadd08460bbd3bf275218f183f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Die 2 ist die Basis der Potenz. Die 5 nennst du Exponent der Potenz. Sie zeigt, wie oft du die Basis mit sich selbst mal nimmst. Du sprichst die Potenz insgesamt so aus: „2 hoch 5“. Die allgemeine Schreibweise ist an.
Es gibt 9 Potenzregeln, die dir beim Rechnen mit Potenzen helfen. Du unterscheidest zwischen Potenzregeln mit gleicher Basis, Potenzregeln mit gleichem Exponenten und besonderen Potenzregeln.
Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren
Wenn zwei Potenzen dieselbe Basis haben und multipliziert ( · ) werden sollen, kannst du die Basis stehen lassen und die Exponenten addieren ( + ).
Beispiel: 23 · 25 = 23+5 = 28 = 256
Diese Regel kannst du am besten nachvollziehen, wenn du dir die Potenz in Langform vorstellst:
23 · 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 28 = 256
Multiplizierst du Potenzen mit gleicher Basis, lässt du die Basis stehen und addierst die Exponenten.
- Beispiel: 42 · 43 = 42+3 = 45 = 1.024
- allgemein: an · am = an+m
Potenzen mit gleicher Basis dividieren
Wenn du Potenzen mit gleicher Basis und unterschiedlichen Exponenten teilen ( : ) willst, lässt du eine Basis stehen und subtrahierst ( – ) die Exponenten.
Beispiel: 45 : 42 = 45–2 = 43 = 64
Die Potenzregel kannst du dir ebenfalls herleiten. Stell dir vor, du schreibst die Potenzen in Langform im Bruch auf und kürzt dann. So kannst du auch Brüche mit Potenzen vereinfachen:
![\[4^{\textcolor{red}{5}} : 4^{\textcolor{blue}{2}} = \frac{4^{\textcolor{red}{5}}}{4^{\textcolor{blue}{2}}}= \frac{\textcolor{red}{4 \cdot 4 \cdot4 \cdot4 \cdot4 }}{\textcolor{blue}{4 \cdot4 }} = 4^{\textcolor{red}{5} -\textcolor{blue}{2}} = 4^{3}\]](https://blog.assets.studyflix.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7cc0cd247107d4883c30c3f5b2b2d3e7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dividierst du Potenzen mit gleicher Basis, lässt du die Basis stehen und subtrahierst die Exponenten.
- Beispiel: 24 : 23 = 24–3 = 21 = 2
- allgemein: an : am = an–m
Potenzen mit gleichem Exponenten multiplizieren
Sollen zwei Potenzen mit denselben Exponenten mal genommen werden, dann multiplizierst du nur die Basen. Den Exponenten lässt du als gemeinsame Hochzahl stehen.
Beispiel: 34 · 54 = (3 · 5)4 = 154 = 50.625
In Langform schreibst du (3 · 5) · (3 · 5) · (3 · 5) · (3 · 5) = 3 · 3 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 5 = 50.625
Multiplizierst du Potenzen mit gleichem Exponenten, nimmst du nur die Basen mal und lässt den Exponenten als gemeinsame Hochzahl stehen.
- Beispiel: 23 · 63 = (2 · 6)3 = 123 = 1.728
- allgemein: an · bn = (a · b)n
Potenzen mit gleichem Exponenten dividieren
Teilst du unterschiedliche Basen mit gleichem Exponenten, dividierst du ( : ) die Basen und lässt den Exponenten als gemeinsame Hochzahl stehen.
Beispiel: 64 : 34 = (6 : 3)4 = 24= 16
In Langform schreibst du (6 : 3) · (6 : 3) · (6 : 3) · (6 : 3) = 2 · 2 · 2 · 2 = 16
Dividierst du Potenzen mit gleichem Exponenten, teilst du die Basen und lässt den Exponenten als gemeinsame Hochzahl stehen.
- Beispiel: 125 : 35 = (12 : 3)5 = 45 = 1.024
- allgemein: an : bn = (a : b)n
Besondere Potenzregeln
Es gibt noch weitere Potenzregeln, die dir beim Vereinfachen von Potenzen helfen. Dazu gehören:
- Potenzen potenzieren
- Potenzen mit negativem Exponenten
- Potenzen mit Bruch als Exponent
- Potenzen mit 1 als Exponent
- Potenzen mit 0 als Exponent
Potenzen potenzieren
Wenn du die Potenz einer Potenz ausrechnen willst, multiplizierst du einfach die beiden Exponenten. Die Basis bleibt gleich.
- Beispiel: (72)3 = 72·3 = 76 = 117.649
- allgemein: (an)m= an·m
Potenzen mit negativem Exponenten
Hat eine Potenz einen negativen Exponenten, bildest du den Kehrwert der Potenz. Du schreibst sie also als Bruch.
- Beispiel: 2-3 =
- allgemein: x−a =
Potenzen mit Bruch als Exponent
Hat eine Potenz einen Bruch als Exponenten, kannst du sie als Wurzel schreiben. Dazu ziehst du zuerst die n-te Wurzel mit dem Nenner des Bruchs und potenzierst das Ergebnis anschließend mit dem Zähler des Bruchs.
- Beispiel:
![8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4](https://blog.assets.studyflix.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-96e3085a61817f1e7efb88f83f0b092f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- allgemein:
![x^{\frac{a}{b}} = \left(\sqrt[b]{x}\right)^a](https://blog.assets.studyflix.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-880efd999ac21024af5f65c34091d0b9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Potenzen mit 1 als Exponent
Hat eine Potenz den Exponenten 1, entspricht das Ergebnis einfach der Basis.
- Beispiel: 71 = 7
- allgemein: x1 = x
Potenzen mit 0 als Exponent
Hat eine Potenz den Exponenten 0, entspricht das Ergebnis immer 1.
- Beispiel: 50 = 1
- allgemein: x0 = 1
Potenzregeln — häufigste Fragen
(ausklappen)
Potenzregeln — häufigste Fragen
(ausklappen)-
Was sind die Potenzgesetze?Potenzgesetze sind Rechenregeln, mit denen du Potenzen schneller umformen und vereinfachen kannst, ohne alles auszumultiplizieren. Sie sagen dir, was mit Basis und Exponent passiert, zum Beispiel beim Multiplizieren oder Dividieren von Potenzen. Zum Beispiel:
.
-
Wann darf man bei Potenzen die Exponenten addieren?Die Exponenten darfst du addieren, wenn du Potenzen mit gleicher Basis multiplizierst. Dann bleibt die Basis gleich, und du fasst nur die Hochzahlen zusammen. Zum Beispiel:
. Bei unterschiedlichen Basen klappt das nicht.
-
Gibt es eine Potenzregel, wenn zwischen Potenzen Plus oder Minus steht?Bei Plus oder Minus gibt es keine Potenzregel, mit der du die Potenzen einfach zu einer einzigen Potenz zusammenfassen kannst. Du rechnest die Potenzen getrennt aus und addierst oder subtrahierst danach. Zum Beispiel:
, nicht 
.
Potenzgesetze Aufgaben
Jetzt kannst du Potenzen vereinfachen! Du willst die Potenzgesetze üben? Hier haben wir verschiedene Aufgaben für dich vorbereitet, mit denen du die Potenzregeln super verinnerlichen kannst!
