Mathematische Grundlagen

Du bist beim Rechnen mit Dezimalzahlen und da taucht die Multiplikation von Dezimalzahlen auf? Dann bist du hier genau richtig, denn wir zeigen dir, wie das geht.

Inhaltsübersicht

Dezimalzahlen multiplizieren einfach erklärt

Wie kannst du Kommazahlen (Experten sagen auch Dezimalzahlen) multiplizieren? Hierfür gehst du in vier Schritten vor:

Multiplikation mit Komma

1. Schritt: Kommazahlen ohne Kommata schreiben (z.B. 3,55 → 355)

2. Schritt: Zahlen ohne Komma multiplizieren (z.B. 355 • 10)

3. Schritt: Nachkommastellen der Faktoren zählen (z.B. 3,55 → 2 Stellen)

4. Schritt: Komma bei Ergebnis so setzen, dass Anzahl der Nachkommastellen des Ergebnisses der Anzahl der Nachkommastellen der Ausgangszahlen entspricht (z.B. 35,50

Multiplizieren von Dezimalzahlen und Zehnerpotenzen

Schauen wir uns die Multiplikation mit Komma an einem Beispiel einmal genauer an:

Stelle dir vor, du möchtest 4,75 • 100 rechnen. Dann gehst du so vor:

1. Kommazahlen ohne Kommata schreiben:

Im ersten Schritt nimmst du das Komma von 4,75 weg. Bei der 100 steht kein Komma, daher brauchst du hier nichts zu machen.

    \[4,75 \cdot 100 \rightarrow 475 \cdot 100\]

2. Zahlen ohne Komma multiplizieren:

Die Multiplikation von natürlichen Zahlen kennst du bereits.%Verwies schriftlich multiplizieren (Artikel fehlt noch) Du rechnest 475 mal 100.

    \[475 \cdot 100 = 47.500\]

3. Nachkommastellen der Faktoren zählen:

Nun zählst du die Nachkommastellen deiner Ausgangszahlen. Bei 4,75 zählst du zwei Nachkommastellen. Außerdem siehst du, dass 100 keine Nachkommastellen hat. 

    \[4,\underbrace{75}_\text{2 Stellen} \;\; \cdot \;\; \underbrace{100}_\text{keine Stellen}\]

4. Komma bei Ergebnis so setzen, dass Anzahl der Nachkommastellen des Ergebnisses der Anzahl der Nachkommastellen der Ausgangszahlen entspricht:

Bei den Ausgangszahlen hast du gerade zwei Nachkommastellen gezählt. Du musst das Komma also so setzen, dass dein Ergebnis, die 47.500, genau zwei Nachkommastellen hat. Die Zahl 47.500 hat genau dann zwei Nachkommastellen, wenn du das Komma zwischen die fünf und die erste Null setzt.

    \[475,00\]

Da du hinter dem Komma jetzt nur noch Nullen hast, kannst du sie einfach weglassen.

Super, du weißt nun, dass 4,75 mal 100 die Zahl 475 ergibt.

Beobachtung: Das Komma ist um zwei Stellen nach hinten gerutscht, und damit um so viele Stellen, wie die 100 Nullen hat. Das ist beim Multiplizieren von Kommazahlen und Zehnerpotenzen (10, 100, 1000…) immer so.

Merke:

Du kannst das Komma immer um so viele Stellen nach rechts verschieben, wie die Zehnerpotenz Nullen hat.

Weitere Beispiele:

    \[7,53 \cdot 10 = 75,3\]

    \[13,99 \cdot 1000 = 13,990 \cdot 1000 =13.990\]

Beachte, dass 13,99 nur zwei Nachkommastellen hat. Du erinnerst dich, dass hinter den Nachkommastellen theoretisch unendlich viele Nullen stehen. Um das Komma bei 13,99 um drei Stellen nach rechts zu rücken, schreibst du davon eine Null auf. Nun kannst du das Komma um drei Stellen verschieben.

Multiplizieren von Dezimalzahlen und natürlichen Zahlen

Um eine Dezimalzahl mal eine natürliche Zahl zu rechnen, gehst du in denselben Schritten vor. Bei solchen Zahlen hilft es meistens, eine schriftliche Multiplikation mit Komma zu machen. 

Sieh dir das an einem Beispiel an: Du möchtest 3,88 mal 17 rechnen.

    \[3,88 \cdot 17\]

1. Kommazahlen ohne Kommata schreiben:

    \[3,88 \cdot 17 \rightarrow 388 \cdot 17\]

2. Zahlen ohne Komma multiplizieren:

Da das Multiplizieren bei großen Zahlen ganz schön kompliziert wird, nutzt du hierfür die schriftliche Multiplikation. 

    \[\begin{array}{l} \[\underline{388 \cdot \textcolor{red}{1}\textcolor{blue}{7} = 6596}\\ \phantom{33\cdot}\textcolor{red}{388}\phantom{7}\\ \underline{\phantom{33\cdot}\textcolor{blue}{2716}\phantom{= 6596}}\\ \phantom{33\cdot}6596\phantom{=6596}\\ \end{array}\]

Für die schriftliche Multiplikation mit Komma multiplizierst du als Erstes alle Ziffern der linken Zahl mit der ersten Ziffer der rechten Zahl, hier der 1. Danach multiplizierst du die Ziffern der linken Zahl mit der nächsten Ziffer der rechten Zahl, hier der 7. Die beiden Zwischenergebnisse rechnest du nun zusammen. Schriftliches Multiplizieren ergibt in diesem Beispiel 6596.

Wenn du dir nicht mehr sicher bist, wie die schriftliche Multiplikation funktioniert, sieh dir unser Video dazu an. %Verweis mit Thumbnail 

3. Nachkommastellen der Faktoren zählen: 

Nun zählst du die Kommastellen deiner Ausgangszahlen. Die Zahl 3,88 hat zwei Nachkommastellen. Die Zahl 11 hat keine Nachkommastellen.

    \[3,\underbrace{88}_\text{2 Stellen} \cdot \; 11\]

4. Komma bei Ergebnis so setzen, dass Anzahl der Nachkommastellen des Ergebnisses der Anzahl der Nachkommastellen der Ausgangszahlen entspricht:

Du musst das Komma also so setzen, dass dein Produkt genau zwei Nachkommastellen hat. Das ist der Fall, wenn das Komma zwischen der 5 und der 9 steht. 

    \[65,96\]

 

Die schriftliche Multiplikation mit Komma ergibt also 65,96. 

Weiteres Beispiel: 

    \[7,29 \cdot 81\]

1. Kommazahlen ohne Kommata schreiben:

    \[7,29 \cdot 81 \rightarrow 729 \cdot 81\]

2. Zahlen ohne Komma multiplizieren:

    \[\begin{array}{l} \[\underline{729 \cdot \textcolor{red}{8}\textcolor{blue}{1} = 59.049}\\ \phantom{7}\textcolor{red}{5832}\phantom{= 59.049}\\ \underline{\phantom{38}\textcolor{blue}{1729}\phantom{= 59.049}}\\ \phantom{7}59.049\phantom{= 59.049}\\ \end{array}\]

3. Nachkommastellen der Faktoren zählen:

    \[7,\underbrace{29}_\text{2 Stellen} \cdot \; 81\]

4. Komma bei Ergebnis so setzen, dass Anzahl der Nachkommastellen des Ergebnisses der Anzahl der Nachkommastellen der Ausgangszahlen entspricht:

    \[590,49\]

 

Super, und schon kannst du schriftliches Multiplizieren mit Komma!

Schriftliches Multiplizieren von Dezimalzahlen

Als letztes schauen wir uns die Multiplikation mit Komma bei zwei Dezimalzahlen an. Auch hier kommst du durch schriftliches Multiplizieren mit Komma zum Ergebnis. Du gehst wieder in den bekannten vier Schritten vor. Sieh dir dazu gleich ein Beispiel an: 

Du möchtest zwei Dezimalbrüche multiplizieren, hier 4,87 und 2,5.

    \[4,87 \cdot 2,5\]

1. Kommazahlen ohne Kommata schreiben:

    \[4,87 \cdot 2,5 \rightarrow 487 \cdot 25\]

2. Zahlen ohne Komma ganz normal multiplizieren:

Am besten führst du das Multiplizieren schriftlich durch.

    \[\begin{array}{l} \[\underline{487 \cdot \textcolor{red}{2}\textcolor{blue}{5} = 12.175}\\ \phantom{48}\textcolor{red}{974}\phantom{5}\\ \underline{\phantom{48}\textcolor{blue}{4435}\phantom{= 12.175}}\\ \phantom{}12.175\phantom{=12.175}\\ \end{array}\]

Die schriftliche Multiplikation mit Komma läuft in denselben Schritten wie vorher ab: Zunächst multiplizierst du die 487 mit der 2. Danach rechnest du die 487 mal die 5. Nachdem du das Multiplizieren schriftlich durchgeführt hast, siehst du, dass es 12.175 ergibt.

3. Nachkommastellen der Faktoren zählen:

Insgesamt zählst du drei Nachkommastellen bei den Ausgangszahlen.

    \[4,\underbrace{87}_\text{2 Stellen} \;\;\cdot\;\; 2,\underbrace{5}_\text{1 Stelle}\]

4. Komma bei Ergebnis so setzen, dass Anzahl der Nachkommastellen des Ergebnisses der Anzahl der Nachkommastellen der Ausgangszahlen entspricht:

    \[12,175\]

Du hast herausgefunden, dass schriftlich multiplizieren mit Komma in diesem Beispiel 12,175 ergibt.

Weiteres Beispiel: 

    \[3,29 \cdot 2,8\]

1. Kommazahlen ohne Kommata schreiben:

    \[3,29 \cdot 2,8 \rightarrow 329 \cdot 28\]

2. Zahlen ohne Komma ganz normal multiplizieren:

    \[\begin{array}{l} \[\underline{329 \cdot \textcolor{red}{2}\textcolor{blue}{8} = 9.212}\\ \phantom{32}\textcolor{red}{658}\phantom{= 9.212}\\ \underline{\phantom{32}\textcolor{blue}{2632}\phantom{= 9.212}}\\ \phantom{3}9.212\phantom{= 9.212}\\ \end{array}\]

3. Nachkommastellen der Faktoren zählen:

    \[3,\underbrace{29}_\text{2 Stellen} \;\;\cdot\;\; 2,\underbrace{8}_\text{1 Stelle}\]

4. Komma bei Ergebnis so setzen, dass Anzahl der Nachkommastellen des Ergebnisses der Anzahl der Nachkommastellen der Ausgangszahlen entspricht:

    \[92,12\]

Geschafft, schriftliches Multiplizieren mit Komma hast du nun verstanden. Die Multiplikation von Dezimalzahlen ist für dich kein Problem mehr!

Dezimalzahlen dividieren

Um das Rechnen mit Dezimalzahlen zu beherrschen, solltest du nicht nur schriftlich multiplizieren mit Komma können, sondern auch die Division von Dezimalzahlen. Sieh dir unbedingt unser Video dazu an, um zu erfahren, wie sich Dezimalzahlen dividieren lassen!

%Thumbnailverweis Dezimalzahlen dividieren 

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