Lineare Algebra

Brüche erweitern

In diesem Video zeigen wir dir, wie du Brüche erweitern kannst und was du dabei beachten musst. Du möchtest anschauliche Beispiele sehen? Dann schau dir unser Video dazu an!

Inhaltsübersicht

Wie erweitert man Brüche?

Du erweiterst einen Bruch, indem du Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multiplizierst.

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Bruch erweitern

Stell dir dazu vor du teilst dir mit deinen Freunden Max und Emma eine Pizza. Die Pizza ist in 3 Stücke geschnitten. Es bekommt also jeder \frac{\textcolor{blue}{1}}{\textcolor{red}{3}} der Pizza. Damit ihr sie besser essen könnt, schneidet ihr die 3 Stücke noch einmal in der Mitte durch, sodass ihr am Ende 6 Stücke habt. Davon bekommt dann jeder 2 Stücke, also \frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{6}} der Pizza. Es macht keinen Unterschied, ob du \frac{\textcolor{blue}{1}}{\textcolor{red}{3}} oder \frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{6}} der Pizza bekommst.  Insgesamt ist der Anteil, den du von der Pizza bekommst, immer gleich. Der Wert eines Bruchs verändert sich beim Erweitern also nicht.

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Bruch erweitern

Erweitern von Brüchen

Beim Erweitern von Brüchen multiplizierst du Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl. Schauen wir uns einmal an, wie das Erweitern von Brüchen genau funktioniert.

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Bruch erweitern

Du sollst den Bruch \frac{2}{3} mit 3 erweitern.

Dazu musst du Zähler und Nenner mit 3 multiplizieren. Du rechnest also

  • im Zähler 2 ⋅ 3 = 6 und
  • im Nenner 3 ⋅ 3 = 9.

\frac{2\textcolor{teal}{\,\cdot3}}{3\textcolor{teal}{\,\cdot3}} = \frac{6}{9}

Dabei erhältst du den neuen Bruch \frac{6}{9}.

Achtung: Mit 0 darfst du nie erweitern!

Erweiterungszahl ermitteln

Bisher haben wir dir die Erweiterungszahl vorgegeben. Normalerweise musst du sie allerdings selbst herausfinden. Um Brüche zu addieren und zu subtrahieren , müssen sie den gleichen Nenner haben. Dafür brauchst du Erweitern und Kürzen .

Beispiel 1

Bringe die Brüche \frac{1}{3} und \frac{5}{9} auf einen Nenner.

Dazu überlegst du dir zunächst, ob es eine Zahl gibt, mit der du den kleineren Nenner 3 malnehmen kannst, sodass er 9 wird. Da 3 ⋅ 3 = 9, kannst du den Bruch \frac{1}{3} mit 3 erweitern.

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Bruch erweitern

Du hast die Brüche nun auf den gemeinsamen Nenner 9 gebracht.

Beispiel 2

Bringe die Brüche \frac{1}{6} und \frac{2}{5} auf einen Nenner.

Wenn dir nicht direkt ein gemeinsames Vielfaches der beiden Nenner auffällt, kannst du die Brüche auch einfach mit dem Nenner des jeweils anderen Bruchs erweitern.

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Brüche erweitern

Nun haben beide Brüche den gleichen Nenner 30.

Brüche auf einen Hauptnenner erweitern

Eine weitere Möglichkeit, Brüche auf einen Nenner zu bringen, ist das Erweitern auf ihren Hauptnenner. Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV).

Die Brüche \frac{2}{4} und \frac{1}{3} sollen auf einen Hauptnenner gebracht werden.

1. Notiere dir alle Vielfachen der Nenner

Vielfache von 4: { 4, 8, 12, 16, 20, …}

Vielfache von 3: {3, 6, 9, 12, 15, …}

2. Ermittle die kleinste Zahl, die in beiden Aufzählungen vorkommt: Die 12 ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 3. Du kannst also auf den Hauptnenner 12 erweitern.

3. Erweitere die Brüche auf den Hauptnenner 12

Der Bruch \frac{2}{4} bekommt den Nenner 12, wenn du ihn mit 3 erweiterst, da 4 ⋅ 3 = 12.

\frac{2\textcolor{teal}{\,\cdot3}}{4\textcolor{teal}{\,\cdot3}} = \frac{6}{\textcolor{red}{12}}

Den Bruch \frac{1}{3} musst du nun mit 4 erweitern.

\frac{1\textcolor{teal}{\,\cdot4}}{3\textcolor{teal}{\,\cdot4}} = \frac{4}{\textcolor{red}{12}}

Brüche erweitern und kürzen

Um Brüche auf einen Nenner zu bringen, kannst du sie Erweitern und Kürzen. Anstatt zu multiplizieren, teilst du Zähler und Nenner beim Kürzen durch die gleiche Zahl. Beim Erweitern werden aus wenigen großen Stücken, mehrere kleine Stücke. Beim Kürzen fügst du die vielen kleinen Stücke wieder zu wenigen großen Stücken zusammen.

Grundsätzlich verändert sich der Wert der Brüche beim Erweitern und Kürzen nicht. Es macht also keinen Unterschied, ob du \frac{1}{2}, \frac{2}{4} oder \frac{4}{8} von einer Pizza bekommst.

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Brüche erweitern und kürzen

Um das Thema Erweitern und Kürzen richtig zu verstehen, schau dir unbedingt unser Video zum Brüche kürzen an! Dort erfährst du nicht nur, wie Kürzen funktioniert, sondern lernst auch, wie man einen Bruch vollständig kürzt. Viel Spaß!

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Zum Video: Brüche kürzen

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