Mathematische Grundlagen
Potenzen & Wurzeln
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In diesem Beitrag erklären wir dir, was Zehnerpotenzen sind und wie du mit ihnen rechnen kannst. Du möchtest dich beim Lernen lieber entspannt zurücklehnen? Dann schau dir einfach unser Video zum Thema an!

Was ist eine Zehnerpotenz?

Zehnerpotenzen benutzt du, um sehr große oder sehr kleine Zahlen übersichtlich darzustellen. Stell dir vor, du hast eine lange Zahl wie 1 000 000 000. Einfacher ist es, 109 zu schreiben. Die 9 im Exponent entspricht immer der Anzahl der Nullen – hier also 9 Stück. Die 10 nennst du die Basis.

    \[10^{ \textcolor{red}{9} }=1\underbrace{\textcolor{red}{000\,000\,000} }_{9\;\text{Nullen} }\]

Umgekehrt kannst du Zehnerpotenzen auch benutzen, um sehr kleine Zahlen darzustellen. Stell dir vor, du hast eine Zahl wie 0,000 000 002.  Diese Zahl kannst du abkürzen:  

    \[0,{\textcolor{blue}{000\,000\,002}=2\cdot10^{\textcolor{blue}{-9}}\]

Die -9 im Exponenten zeigt dir, dass die 2 an neunter Stelle hinter dem Komma steht. 

Die wichtigsten Zehnerpotenzen

Du kannst Zehnerpotenzen also nutzen, um entweder sehr große oder sehr kleine Zahlen aufzuschreiben. Hier haben wir eine Tabelle für dich, in der du eine Übersicht über die wichtigsten Zehnerpotenzen erhältst. 

Zehnerpotenzen bilden auch die Grundlage für die wissenschaftliche Schreibweise (Experten sagen auch wissenschaftliche Notation) großer bzw. kleiner Zahlen. Das kennst du bereits von Maßeinheiten wie Zentimeter (cm), Kilogramm (kg) und anderen SI-Einheiten.

Die Zehnerpotenz Tabelle

Zahl Potenz Name Wissenschaftlicher Fachbegriff
0,000 000 000 000 001 10^{-15} Billiardstel Femto (f)
0,000 000 000 001 10^{-12} Billionstel Piko (p)
0,000 000 001 10^{-9} Milliardstel Nano (n)
0,000 001 10^{-6} Millionstel Mikro (\my)

0,001

10^{-3} Tausendstel Milli (m)
0,01 10^{-2} Hundertstel Zenti (c)
0,1 10^{-1} Zehntel Dezi (d)
1 10^0 Eins Eins
10 10^1 Zehn Deka (da)
100 10^2 Hundert Hekto (h)
1 000 10^3 Tausend Kilo (k)
1 000 000 10^6 Million Mega (M)
1 000 000 000 10^9 Milliarde Giga (G)
1 000 000 000 000 10^{12} Billion Tera (T)
1 000 000 000 000 000  10^{15} Billiarde Peta (P)

Rechnen mit Zehnerpotenzen

Beim Rechnen mit Zehnerpotenzen kannst du ganz normal die vier Grundrechenarten verwenden. Schau dir im Detail an, wie du bei 10er-Potenzen plus, minus, mal und geteilt rechnest.

Beispiel Addition

Lass uns mit der Addition starten.  

    \[ 4 \cdot10^3+2\cdot10^5 \]

Schritt 1: Zuerst rechnest du die beiden Potenzen aus. Du hast eine 3 im Exponenten, also hängst du an die 4 drei Nullen an. 

    \begin{align*} \,4\cdot10^3 &=40\cdot10^2\\ &=400\cdot10^1\\ &=4000 \end{align*}

Dasselbe machst du für den zweiten Teil der Rechnung. Hier ergänzt du fünf Nullen.

    \begin{align*} \,2\cdot10^5 &=20\cdot10^4\\ &=200\cdot10^3\\ &=2000\cdot10^2\\ &=20000\cdot10^1\\ &=200000 \end{align*}

Schritt 2: Nun addierst du beide Summanden. 

    \[4000+200000=204000\]

Beispiel Subtraktion

Bei der Subtraktion gehst du ähnlich wie bei der Addition vor.

    \[2,54\cdot10^4-4,56\cdot10^3\]

Schritt 1: Zuerst rechnest du wieder die 10er-Potenzen um. Aber wie machst du das bei Kommazahlen ? Hier kannst du nicht einfach Nullen anhängen. Vorher musst du das Komma so weit verschieben, dass du keine Nachkommastellen mehr hast. Da 4 im Exponent der Zehnerpotenz steht, verschiebst du das Komma von 2,54 zuerst um zwei Stellen nach rechts. Danach hast du 10² übrig. Also hängst du noch zwei Nullen an. 

    \begin{align*} \,2,54\cdot10^4 &=25,4\cdot10^3\\ &=254\cdot10^2\\ &=2540\cdot10^1\\ &=25400 \end{align*}

Dasselbe machst du für den zweiten Teil der Rechnung.

    \begin{align*} \,4,56\cdot10^3&=45,6\cdot10^2\\ &=456\cdot10^1\\ &=4560 \end{align*}

Schritt 2: Dann kannst du die Differenz berechnen.

    \[25400-4560=20840\]

Beispiel Multiplikation

Als nächstes schauen wir uns die Multiplikation an.

    \[5\cdot10^{4}\cdot8\cdot10^2\]

Hier kannst du das Kommutativgesetz verwenden. Es besagt, dass du die Reihenfolge der Zahlen beim Malnehmen ( ⋅ ) vertauschen darfst. Das Ergebnis verändert sich dabei nicht. Darum kannst du diese Rechnung auch so aufschreiben:

    \[5\cdot10^{4}\cdot8\cdot10^2= \textcolor{olive}{5\cdot8}\cdot \textcolor{orange}{10^{4}\cdot10^2}\]

Schritt 1: Zuerst kannst du den vorderen Teil der Aufgabe berechnen:

    \[\textcolor{olive}{5\cdot8}=\textcolor{olive}{40}\]

Schritt 2: Jetzt kannst du die Zehnerpotenzen im hinteren Teil zusammenfassen, indem du die Exponenten addierst.

    \[\textcolor{orange}{10^{4}\cdot10^2}=10^{4+2}=\textcolor{orange}{10^6}\]

Schritt 3: Zuletzt kombinierst du die Zehnerpotenz und die Zahl. 

    \[5\cdot10^{4}\cdot8\cdot10^2 = \textcolor{olive}{5\cdot8}\cdot \textcolor{orange}{10^{4}\cdot10^2} = \textcolor{olive}{40} \cdot \textcolor{orange}{10^6}\]

Das kannst du ausschreiben, in dem du 6 Nullen an die 40 anhängst, also 40 000 000.

Beispiel Division

Nun fehlt nur noch die Division. Schau dir mal diese Aufgabe an:

    \[ \frac{48\cdot10^4}{24\cdot10^2} \]

Diese Aufgabe kannst du lösen, indem du mit Zehnerpotenzen kürzt. Hier kannst du 10mit Hilfe der Potenzgesetze schreiben als: 10= 102 • 102. Anschließend kannst du mit 102 kürzen, da 102 sowohl im Nenner als auch im Zähler steht.

    \begin{align*} \frac{ 48\cdot{\textcolor{red}{10^4}} }{ 24\cdot{\textcolor{red}{10^2}} } = \frac{ 48\cdot \textcolor{red}{10^2} \cdot \cancel{ \textcolor{red}{10^2} } }{ 24\cdot\cancel{ \textcolor{red}{ 10^2 } } } &= \frac{ 48\cdot{\textcolor{red}{10^2}} }{ 24 } \\ &= \frac{ 48}{24} \cdot 10^2 \\ &=2 \cdot 10^2 \\ &=200 \end{align*}

Zehnerpotenzen Aufgaben

Hier findest du vier Aufgaben zu 10er Potenzen, mit denen du üben kannst. So bist du optimal vorbereitet, wenn Potenzen in Mathe abgefragt wird.

Aufgabe 1: 

Schreibe 3,4 • 106 ohne Zehnerpotenz.

Lösung: 3,4 • 10= 3 400 000

Aufgabe 2: 

Hier kannst du die wissenschaftliche Schreibweise üben. Zerlege die Zahl 70 000 in 7 und eine 10er Potenz.

Lösung: 70000=7 • 104

Aufgabe 3:

Schreibe diese Zahl ausführlich, indem du die Zehnerpotenz weglässt:

7,69\cdot10^{-4}

Lösung: 7,69•10-4=0,000769

Aufgabe 4:

Schreibe 0,000084 als Zehnerpotenz.

Lösung: 0,000084=8,4•105

Potenzgesetze

Wenn du mehr Übungen zur Potenzrechnung möchtest, schaue dir gern unser Aufgaben-Video zu den Potenzgesetzen an!

Zum Video: Potenzgesetze Aufgaben
Zum Video: Potenzgesetze Aufgaben

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