Mathematische Grundlagen
Bruchrechnung
 – Video

Du möchtest wissen was ein Bruch ist und welche Regeln du beim Bruchrechnen beachten musst? Das zeigen wir dir im Video ausführlich an vielen Beispielen. Am Schluss findest du zum Bruchrechnen noch einige Aufgaben

Was ist ein Bruch?

Starten wir mit einer kurzen Einführung in die Bruchrechnung. Schauen wir uns dazu zuerst an, was ein Bruch überhaupt ist und was du damit machen kannst.

Stell dir dazu vor du hast einen Kuchen, der in 8 Stücke geschnitten ist. Weil du den kompletten Kuchen nicht schaffst, isst du nur einen Teil davon. Nehmen wir einmal an du isst 2 der 8 Stücke. In Bruchschreibweise sind das dann \frac{2}{8} („zwei achtel“) vom kompletten Kuchen. Nun hast du nur noch 6 von 8 Kuchenstücken übrig. Ein Bruch ist also ein Teil von einem Ganzen. Zum Beispiel \frac{6}{8} („sechs achtel“) des Kuchens.

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Was ist ein Bruch?

Bestandteile eines Bruchs

Ein Bruch besteht aus einem Zähler, einem Nenner und einem Bruchstrich. Dabei steht der Zähler auf dem Bruchstrich, der Nenner darunter.

\frac{\textcolor{blue}{Zähler}}{\textcolor{red}{Nenner}}

In unserem Beispiel mit dem Kuchen, gibt der Nenner an, in wie viele Stücke du den Kuchen geschnitten hast.  Der Zähler zeigt an, wie viele der Kuchenstücke eine Person isst. Insgesamt hat der Kuchen 8 Stücke (Nenner). Nun isst du 2 Stücke (Zähler). Du isst also \frac{2}{8} („zwei achtel“) des Kuchens.

\frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{8}}

Deine Freunde essen die restlichen Kuchenstücke, sodass am Schluss alle 8 von 8 Kuchenstücken weg sind. Das heißt es wurden \frac{8}{8} („acht achtel“) des Kuchens gegessen. Es wurde also ein ganzer Kuchen gegessen.  Merke: Wenn Zähler und Nenner gleich sind, hat der Bruch einen Wert von 1.

\frac{\textcolor{blue}{8}}{\textcolor{red}{8}} = 1

Schauen wir uns das Bruchrechnen an verschiedenen Aufgaben genauer an.

Bruchrechnen Regeln

Genauso wie mit normalen Zahlen, kannst du auch mit Brüchen rechnen. Schauen wir uns das Bruchrechnen und die wichtigsten Regeln dazu an den verschiedenen Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) genauer an.

Bruchrechnen: Addieren

Beim Bruchrechnen kannst du Brüche mit gleichem Nenner addieren , wenn du ihre Zähler (oben) plus rechnest. Den Nenner (unten) lässt du stehen.

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Brüche addieren

Stell dir dazu eine Pizza vor, die in 4 Stücke geschnitten ist. Du hast ein Stück, also ein Viertel (\frac{1}{4}) von der Pizza. Dein Freund Max hat zwei Stücke, also zwei viertel (\frac{2}{4}) von der Pizza. Wenn ihr eure Pizzastücke zusammenlegt, habt ihr also insgesamt drei viertel (\frac{3}{4}) einer ganzen Pizza.

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Brüche addieren

Merke: Bei der Bruchrechnung, müssen die Nenner für die Addition gleich sein. Ist das nicht der Fall, musst du die Brüche zuerst durch kürzen oder erweitern auf einen gleichen Nenner bringen. Wie das funktioniert, erfährst du weiter unten.

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Zum Video: Brüche addieren

Bruchrechnen: Subtrahieren

Das Subtrahieren von Brüchen , funktioniert im Prinzip genauso wie das Addieren. Auch beim Minus rechnen mit Brüchen müssen die Nenner gleich sein. Dann rechnest du einfach Zähler minus Zähler und lässt den Nenner stehen.

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Brüche subtrahieren

Stell dir das wieder an einem Kuchen vor. Du hast einen ganzen Kuchen, den du in 8 Stücke schneidest. Deine Freunde essen auf deiner Geburtstagsfeier 3 der 8 Stücke. Zum Schluss sind also noch 5 von 8 Stücken übrig.

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Brüche subtrahieren

Beim Bruchrechnen mit minus gelten folgende Regeln: Rechne Zähler minus Zähler und lass den Nenner unverändert stehen.

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Zum Video: Brüche subtrahieren

Bruchrechnen: Multiplizieren

Beim Bruchrechnen multiplizieren gelten die Regeln Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Du kannst dabei zwei oder mehrere Brüche multiplizieren.

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Brüche multiplizieren

Wenn du einen Bruch mit einer ganzen Zahl multiplizieren sollst, musst du diese ganze Zahl vorher in einen Bruch umwandeln. Dazu schreibst du die Zahl auf den Zähler. Der Nenner ist die 1.

\frac{2}{5}\cdot\textcolor{blue}{2} = \frac{2}{5} \cdot \frac{\textcolor{blue}{2}}{1} = \frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{5}}\cdot\frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{1}} = \frac{\textcolor{blue}{2\,\cdot\,2}}{\textcolor{red}{5\,\cdot\,1}} = \frac{\textcolor{blue}{4}}{\textcolor{red}{5}}

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Zum Video: Brüche multiplizieren

Bruchrechnen: Dividieren

Bei der Bruchrechnung mit der Division ( : ) von Brüchen, vertauschst du im zweiten Bruch (Divisor) den Zähler mit dem Nenner. Der umgekehrte Bruch wird Kehrwert genannt. Danach wird das Geteilt-Zeichen ( : ) durch ein Mal-Zeichen (\cdot) ersetzt. Du musst also wieder multiplizieren, indem du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner rechnest.

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Brüche dividieren

Wie bei der Bruchrechnung mit einer Multiplikation, musst du auch bei der Division, ganze Zahlen in Brüche umwandeln. 

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Zum Video: Brüche dividieren

Brüche kürzen

Du kannst vor oder nach dem Rechnen mit Brüchen kürzen . Dabei teilst du den Zähler (oben) und den Nenner (unten) durch die gleiche Zahl. Das geht immer dann, wenn beide durch die gleiche Zahl ohne Rest teilbar sind. Der Wert des Bruchs verändert sich dabei nicht. In folgendem Beispiel kürzen wir den Bruch \frac{4}{8} mit 4.

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Bruch kürzen

Stell dir dazu wieder eine Pizza vor, die in 8 Stücke geschnitten wurde. Du bekommst die Hälfte, also 4 Stücke davon. Wenn die Pizza nur in 4 Stücke geschnitten worden wäre, hättest du 2 der 4 Stücke bekommen. Es ist egal in wie viele Stücke die Pizza zerteilt wird. Du bekommst insgesamt immer die Hälfte davon (\frac{1}{2}). Je kleiner die Pizzastücke sind, desto mehr Stücke bekommst du.

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Brüche Kürzen

Aber woher weißt du, mit welcher Zahl du kürzen kannst? Gemeinsame Teiler kannst du durch Ausprobieren oder mithilfe der Teilbarkeitsregeln %Verweisherausfinden. Der folgende Bruch wird mit 8 gekürzt, da Zähler und Nenner durch 8 teilbar sind.

\frac{\textcolor{blue}{8}}{\textcolor{red}{24}} = \frac{\textcolor{blue}{8}\textcolor{teal}{\,:8}}{\textcolor{red}{24}\textcolor{teal}{\,:8}} = \frac{\textcolor{blue}{1}}{\textcolor{red}{3}}

Du kannst Brüche auch mehrmals kürzen. Der Wert des Bruchs bleibt dabei immer gleich

\frac{\textcolor{blue}{8}}{\textcolor{red}{24}} = \frac{\textcolor{blue}{8}\textcolor{teal}{\,:4}}{\textcolor{red}{24}\textcolor{teal}{\,:4}} = \frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{6}} = \frac{\textcolor{blue}{2}\textcolor{teal}{\,:2}}{\textcolor{red}{6}\textcolor{teal}{\,:2}}= \frac{\textcolor{blue}{1}}{\textcolor{red}{3}}

Kürzen brauchst du vor allem bei der Addition und der Subtraktion, da Brüche dabei immer den gleichen Nenner haben müssen. Aber auch bei der Multiplikation kann Kürzen hilfreich sein, um das Ergebnis zu vereinfachen.

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Zum Video: Brüche kürzen

Brüche erweitern

Bei der Bruchrechnung kannst du Brüche auch mithilfe von Erweitern auf einen Nenner bringen. Hierzu musst du Zähler (oben) und Nenner (unten) mit der gleichen Zahl multiplizieren. Im Beispiel erweitern wir den Bruch \frac{1}{2} mit 2.

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Bruch erweitern

Stell dir dazu vor, du teilst dir mit deinem Freund Max eine Pizza. Du bekommst also eine halbe Pizza (\frac{1}{2}).  Ihr schneidet die Pizza in 4 Stücke. Es bekommt also jeder 2 von 4 Stücken (\frac{2}{4}). Wenn ihr die Stücke nochmal in der Mitte durchschneidet, habt ihr 8 Stücke. Wenn davon auch jeder die Hälfte bekommt, sind das 4 von 8 Stücken (\frac{4}{8}).

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Brüche erweitern
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Zum Video: Brüche erweitern

Brüche mit gleichem Nenner (Gleichnamige Brüche)

In Mathe unterscheidet man beim Bruchrechnen zwischen gleichnamigen und ungleichnamigen Brüchen. Brüche sind gleichnamig, wenn sie denselben Nenner haben. Folgende Brüche sind zum Beispiel gleichnamig, weil sie alle den Nenner 5 haben.

\frac{4}{\textcolor{red}{5}}, \frac{2}{\textcolor{red}{5}}, \frac{11}{\textcolor{red}{5}}

Beim Plus und minus rechnen mit gleichnamigen Brüchen, musst du am Nenner nichts verändern.

Brüche mit unterschiedlichen Nennern (ungleichnamige Brüche)

Brüche werden als ungleichnamig bezeichnet, wenn sie verschiedene Nenner haben. Folgende Brüche sind zum Beispiel ungleichnamig.

\frac{4}{\textcolor{red}{9}}, \frac{3}{\textcolor{red}{7}}, \frac{5}{\textcolor{red}{13}}

Beim Plus oder Minus rechnen mit Brüchen, musst du ungleichnamige Brüche immer in gleichnamige umwandeln.

Warum wird zwischen gleichnamig und ungleichnamig unterschieden?

In Mathe gelten beim Bruchrechnen mit Addieren und Subtrahieren, immer folgende Regeln. Die Brüche müssen gleichnamig sein. Ist das nicht der Fall, musst du sie vor dem Bruchrechnen durch Kürzen oder  Erweitern auf einen gleichen Nenner bringen.

Beim Bruchrechnen mit Multiplizieren und Dividieren  spielt es dagegen keine Rolle, ob Nenner gleich oder verschieden sind.

Bruchrechnen Aufgaben

Super! Nach der Einführung in die Bruchrechnung, hast du jetzt einen Überblick bekommen, wie Bruchrechnen geht und welche Regeln du beachten musst. Wie du siehst, kannst du in Mathe auch beim Bruchrechnen alle Grundrechenarten, wie addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren anwenden. Jetzt kannst du das Bruchrechnen noch weiter üben, indem du dir unser extra Video zu den Aufgaben zur Bruchrechnung anschaust.

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Zum Video: Bruchrechnen Aufgaben

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