Mathematische Grundlagen

Zusammengesetzter Dreisatz

 Dieser Artikel behandelt den zusammengesetzten Dreisatz. An einem leicht verständlichen Beispiel zeigen wir dir die Anwendung und Berechnung des zusammengesetzten Dreisatzes Schritt für Schritt. 

Inhaltsübersicht

Zusammengesetzter Dreisatz einfach erklärt

Der zusammengesetzte Dreisatz ist eine Erweiterung des einfachen Dreisatzes. Genau wie beim einfachen Dreisatz kannst du mit ihm Aufgaben über das Verhältnis verschiedener Größen lösen. Das Prinzip ist dabei: Du wendest mehrere einfache Dreisätze hintereinander an.

Eine Lösung für einen zusammengesetzten Dreisatz könnte zum Beispiel so aussehen:

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Lösungsschema eines zusammengesetzten Dreisatzes

Proportional und antiproportional

Beim zusammengesetzten Dreisatz können sowohl die Rechenschritte des proportionalen als auch des antiproportionalen Dreisatzes vorkommen. Manche Aufgaben beinhalten sogar beide Arten des Dreisatzes zusammen.

Beim proportionalen Dreisatz stehen beide Größen in einem „Je mehr desto mehr“ Verhältnis zueinander. Schau dir am besten unser passendes Video an, wenn du nicht mehr ganz sicher bist, wie er funktioniert:

Einfacher Dreisatz, proportionaler Dreisatz
proportionaler Dreisatz

Beim antiproportionalen Dreisatz stehen die zwei Größen dagegen in einem „Je mehr, desto weniger“ Verhältnis zueinander. Auch für diesen Fall haben wir ein eigenes Video für dich.

Zusammengesetzter Dreisatz: Beispielaufgabe

Sehen wir uns nun den zusammengesetzten Dreisatz mal an einem Beispiel an.

Stell dir vor, folgende Aufgabenstellung ist gegeben:
4 Personen brauchen 75 Minuten um 9 Tortenstücke  zu essen. Wie lange brauchen dann 6 Personen für 7 Stücke?

Du siehst, dass in der Aufgabe das Verhältnis zwischen drei verschiedenen Größen beschrieben wurde. Die drei Größen sind: Die Anzahl der Personen, die benötigte Zeit und die Anzahl der Tortenstücke.

Da das Verhältnis zwischen mehr als zwei Größen besteht, benötigst du den zusammengesetzten Dreisatz, um die Aufgabe zu lösen.

Berechnung: Vorbereitung

Fangen wir also mit der Berechnung an. Genau wie beim einfachen Dreisatz zeichnest du im ersten Schritt eine kleine Tabelle. Diese Tabelle hat nun 3 Spalten und 5 Zeilen. Jede Spalte steht für eine der Größen, jede Zeile für einen Rechenschritt. Falls in deiner Aufgabe mehr als drei Größen vorkommen, musst du die Tabelle entsprechend anpassen. 

In die erste Zeile der Tabelle schreibst du alle Informationen, die du über das Ausgangsverhältnis hast. Das bedeutet, du trägst ein, dass 4 Personen für 9 Tortenstücke 75 Minuten brauchen. 

In der letzten Zeile der Tabelle notierst du alles, was du bereits über das Verhältnis weißt, das du berechnen möchtest. Hier trägst du also die 6 Personen und die 7 Tortenstücke ein. 

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Zusammengesetzter Dreisatz: Vorbereitung

Sowohl die Anzahl der Personen als auch die Anzahl der Tortenstücke ändert sich zwischen der ersten und der letzten Zeile der Tabelle.  Da sich zwei Größen in dem betrachteten Verhältnis verändern, müssen wir auch zwei Dreisätze rechnen, um die Aufgabe zu lösen. 

Dreisatz 1

Los geht’s also mit dem ersten Dreisatz. Für welche Größe du den Dreisatz zuerst anwendest, ist dabei egal. Beginnen wir zum Beispiel mit der Anzahl der Personen. Mit dem ersten Dreisatz berechnen wir, wie sich die benötigte Zeit verändert, wenn nun 6 statt zuvor nur 4 Personen mitessen.  

Schritt 1 

Die Anzahl der Tortenstücke kannst du für den ersten Dreisatz komplett ignorieren. Darum kümmern wir uns erst im zweiten Dreisatz. Die Anzahl der Tortenstücke kannst du also vorerst einfach unverändert abschreiben.

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Zusammengesetzter Dreisatz: Dreisatz 1, Schritt 1

Schritt 2

Da wir die Anzahl der Tortenstücke im ersten Dreisatz nicht betrachten, haben wir jetzt also nur noch zwei Größen: Die Anzahl der Personen und die benötigte Zeit. Folglich kannst du einen ganz normalen einfachen Dreisatz mit diesen beiden Größen rechnen. 

Zuvor musst du noch entscheiden, ob es sich um einen proportionalen oder um einen antiproportionalen Dreisatz handelt. Je weniger Personen eine bestimmte Anzahl an Tortenstücken essen, desto mehr Zeit wird benötigt. Wir befinden uns also im „je weniger desto mehr Fall“ und brauchen die Schritte des antiproportionalen Dreisatzes

Nun berechnest du wie beim einfachen Dreisatz das Verhältnis der beiden Größen für eine einzige Einheit der einen Größe.

Bezogen auf unser Beispiel willst du also berechnen, wie lange eine einzige Person für eine bestimmte Anzahl an Tortenstücken benötigt. Da wir uns im antiproportionalen Dreisatz befinden, musst du in einer Spalte teilen und in einer malnehmen

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Zusammengesetzter Dreisatz: Dreisatz 1, Schritt 2

Sehr gut! 1 Person braucht also 300 Minuten für 9 Tortenstücke. 

Schritt 3: 

Nun folgt der letzte Schritt des ersten Dreisatzes. Mit diesem Schritt bringst du die Anzahl der Personen auf die gesuchte Mengeneinheit in der letzten Zeile.

Dafür gehst du wieder genauso vor wie beim einfachen antiproportionalen Dreisatz. Das bedeutet, du rechnest erneut in einer Spalte mal und in der anderen geteilt. Die Anzahl der Tortenstücke ignorierst du dabei weiterhin. 

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Zusammengesetzter Dreisatz: Dreisatz 1, Schritt 3

Der erste Dreisatz ist damit geschafft! Nun weißt du, wie lange 6 Personen für 9 Tortenstücke brauchen.  Mit dem zweiten Dreisatz passen wir nun noch die Anzahl der Tortenstücke an die gesuchte Mengeneinheit an. 

Dreisatz 2: 

Beim zweiten Dreisatz betrachten wir die beiden Größen „Anzahl der Tortenstücke“ und „Benötigte Zeit“. Diesmal ignorierst du also die Anzahl der Personen, denn um diese Größe haben wir uns ja bereits im ersten Dreisatz gekümmert. Die Anzahl der Personen kannst du also einfach abschreiben und musst sie nicht weiter beachten. 

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Zusammengesetzter Dreisatz: Dreisatz 2, Schritt 1

Jetzt rechnest du wieder einen einfachen Dreisatz mit den verbliebenen zwei Größen „Anzahl der Tortenstücke“ und „Benötigte Zeit“. 
Dafür musst du erneut erst entscheiden, ob die beiden Größen in einem proportionalen oder in einem antiproportionalen Verhältnis zueinander stehen:

Je mehr Tortenstücke Personen essen, desto mehr Zeit werden sie dafür benötigen. Die Regel ist also „je mehr desto mehr“ und es handelt sich um den proportionalen Dreisatz .

Du startest wieder damit, das Verhältnis der beiden Größen für eine einzige Einheit der einen Größe zu berechnen. Bezogen auf unser Beispiel willst du also berechnen, wie lange eine bestimmte Anzahl an Personen für ein einziges Tortenstück braucht. 
Dafür musst du in beiden Spalten durch die Anzahl der Tortenstücke teilen. 

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Zusammengesetzter Dreisatz: Dreisatz 2, Schritt 2

Perfekt! 6 Personen brauchen also 5,56 Minuten für ein einziges Tortenstück. 

Letzter Schritt: 

Jetzt fehlt nur noch der finale Schritt: Mit diesem Schritt berechnest du das Verhältnis für die gefragte Anzahl an Tortenstücken.  Gleichzeitig erhältst du damit  auch schon das Endergebnis der Aufgabe

Um auf die Lösung zu kommen, musst du sowohl die Anzahl der Tortenstücke als auch die benötigte Zeit mit dem Wert malnehmen, der in der letzten Zeile der Spalte der Tortenstücke steht. 

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Zusammengesetzter Dreisatz: Dreisatz 2, Schritt 3

Geschafft: 6 Personen brauchen also knapp 39 Minuten um 7 Tortenstücke zu verputzen! 

Nach der ganzen Theorie möchtest du nun selbst ein bisschen üben? Dann sieh dir gerne unseren Beitrag zu Aufgaben zum Dreisatz an! 

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