Lineare Algebra

Brüche addieren

Wie kannst du Brüche addieren? Hier erklären wir es dir anhand vieler Beispiele. Am Ende findest du auch Aufgaben zum Üben. Du möchtest dich zurücklehnen und erklärt bekommen, wie du Brüche addieren kannst? Dann schau dir unser Video an!

Inhaltsübersicht

Wie addiert man Brüche?

Beim Brüche addieren müssen immer beide Brüche den gleichen Nenner haben.

Erinnerung: Der Zähler steht im Bruch oben und der Nenner unten.

\frac{\textcolor{blue}{Zähler}}{\textcolor{red}{Nenner}}

Schauen wir uns dazu ein Beispiel an.

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Brüche addieren

Hier hast du den gleichen Nenner 8. Damit kannst du die Zähler 3 und 2 einfach addieren, 3 + 2 = 5. Den Nenner veränderst du dabei nicht.

 

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Brüche addieren

Stell dir dafür vor, ein Kuchen wird in 8 Stücke geschnitten. Du isst 3 Kuchenstücke. Dein Freund Tom isst 2 Kuchenstücke. Zusammen habt ihr dann 5 Stücke gegessen. Das kannst du in Bruchschreibweise als \frac{5}{\textcolor{red}{8}} schreiben. Denn ihr habt ja 5 von 8 Kuchenstücken gegessen.

Schauen wir uns nun verschiedene Beispiele dazu an!

Gleichnamige Brüche addieren

Brüche sind gleichnamig, wenn sie denselben Nenner haben. Bei der Addition von gleichnamigen Brüchen rechnest du nur die Zähler der beiden Brüche zusammen. Der Nenner bleibt dabei gleich.

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Beispiel 1

Schauen wir uns das an einem Beispiel an. Addiere folgende Brüche.

\frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{7}}+\frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{7}}

Beide Brüche haben den gleichen Nenner 7. Du rechnest also im Zähler 3 + 2 = 5.

\frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{7}}+\frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{7}} = \frac{\textcolor{blue}{3}\,+\,\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{7}} = \frac{\textcolor{blue}{5}}{\textcolor{red}{7}}

Beispiel 2

Zähle die beiden Brüche zusammen.

\frac{\textcolor{blue}{4}}{\textcolor{red}{13}}+\frac{\textcolor{blue}{6}}{\textcolor{red}{13}} = \frac{\textcolor{blue}{4}\,+\,\textcolor{blue}{6}}{\textcolor{red}{13}} = \frac{\textcolor{blue}{10}}{\textcolor{red}{13}}

Ungleichnamige Brüche addieren

Ungleichnamige Brüche sind Brüche mit unterschiedlichen Nennern. Damit du ungleichnamige Brüche addieren und subtrahieren kannst, musst du sie zuerst durch Kürzen oder Erweitern auf denselben Nenner bringen.

Brüche durch Kürzen auf einen Nenner bringen

Eine Möglichkeit Brüche auf einen Hauptnenner zu bringen ist das Kürzen.

Erinnerung: Beim Kürzen teilst du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl (\frac{6}{12} = \frac{6\textcolor{teal}{\,:6}}{12\textcolor{teal}{\,:6}}= \frac{1}{2}).

Beispiel

Schauen wir uns das Kürzen von Brüchen direkt an folgendem Beispiel an.

\frac{4}{\textcolor{red}{6}} + \frac{1}{\textcolor{red}{3}}.

1. Brüche auf gleichen Nenner bringen: Wenn du den ersten Bruch mit 2 kürzt, dann bekommst du im Nenner eine 3.

\frac{4}{6} = \frac{4\textcolor{teal}{\,:2}}{6\textcolor{teal}{\,:2}}= \frac{2}{3}

2. Brüche addieren: Nun hast du die ungleichnamigen Brüche in gleichnamige Brüche umgewandelt und kannst jetzt den Zähler im ersten Bruch mit dem des zweiten addieren.

\frac{4}{6} + \frac{1}{3}=\frac{2}{\textcolor{red}{3}} + \frac{1}{\textcolor{red}{3}} =\frac{2\,+\,1}{\textcolor{red}{3}}=  \frac{3}{\textcolor{red}{3}}

3. Ergebnis kürzen: Zuletzt kürzt du das Ergebnis. Falls Zähler und Nenner eines Bruchs gleich sind, hat der Bruch einen Wert von 1.

\frac{3}{\textcolor{red}{3}} = 1

Beim ungleichnamige Brüche addieren und subtrahieren gehst du im Prinzip genau gleich vor.

Brüche durch Erweitern auf einen Nenner bringen

Bevor du ungleichnamige Brüche addieren und subtrahieren kannst, musst du sie auf einen Nenner bringen. Neben dem Kürzen kannst du das auch durch Erweitern. Dazu multiplizierst du Zähler und Nenner mit derselben Zahl.

Beispiel 1

Schauen wir uns das Erweitern von Brüchen direkt an einem Beispiel an.

\frac{2}{10}+\frac{1}{2}

1.Brüche auf gleichen Nenner bringen: Wenn du den zweiten Bruch mit 5 erweiterst, haben beide Brüche den Nenner 10.

\frac{1\textcolor{teal}{\,\cdot \,5}}{2\textcolor{teal}{\,\cdot \,5}} = \frac{5}{10}

2. Brüche addieren: Der zweite Bruch hat jetzt auch den Nenner 10. Demnach kannst du ihn jetzt einfach mit dem ersten Bruch zusammenzählen.

\frac{2}{\textcolor{red}{10}} + \frac{5}{\textcolor{red}{10}} = \frac{7}{10}

Beispiel 2

Berechne folgende Aufgabe zur Addition von Brüchen.

\frac{1}{5} + \frac{2}{6}

1. Brüche erweitern: Falls dir keine Zahl einfällt, mit der du die Brüche erweitern kannst, multipliziere sie jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs.

\frac{1}{\textcolor{teal}{5}} + \frac{2}{\textcolor{orange}{6}} = \frac{1\textcolor{orange}{\,\cdot\,6}}{5\textcolor{orange}{\,\cdot\,6}} + \frac{2\textcolor{teal}{\,\cdot\,5}}{6\textcolor{teal}{\,\cdot\,5}} = \frac{6}{30} + \frac{10}{30}

2.  Brüche addieren: Nun haben wieder beide Brüche denselben Nenner. Somit kannst du sie addieren.

\frac{6}{\textcolor{red}{30}} + \frac{10}{\textcolor{red}{30}} = \frac{6\, + \,10}{\textcolor{red}{30}} = \frac{16}{30}

3. Ergebnis kürzen: Bei der Variante kann es häufig vorkommen, dass hohe Zahlen im Bruch stehen. Deswegen musst du das Ergebnis meistens am Schluss nochmal durch Kürzen vereinfachen.  In dem Fall kürzt du also zum Schluss mit 2.

\frac{16}{30} = \frac{16\textcolor{teal}{\,:2}}{30\textcolor{teal}{\,:2}} = \frac{8}{15}

Gemischte Brüche addieren

Damit du Gemischte Brüche addieren und subtrahieren kannst, musst du sie zuerst in Brüche umwandeln. Das heißt du ziehst die Zahl vor dem Bruch mit auf den Zähler.

Beispiel

Schauen wir uns die Addition von gemischten Brüchen an folgendem Beispiel an.

1\frac{2}{5} + \frac{3}{5}.

1.Gemischte Zahl in Bruch umwandeln: Multipliziere zuerst die ganze Zahl mit dem Nenner und addiere sie anschließend zum Zähler.

\textcolor{blue}{1}\frac{2}{\textcolor{red}{5}} = \frac{\textcolor{blue}{1}\,\cdot\,\textcolor{red}{5} + 2}{\textcolor{red}{5}} = \frac{7}{5}

2. Brüche auf einen Nenner bringen: In dem Fall haben bereits beide Brüche den Nenner 5, daher kannst du den Schritt auslassen.

3. Brüche addieren: Inzwischen hast du zwei gleichnamige Brüche, mit denen du rechnen kannst.

1\frac{2}{5} + \frac{3}{5} = \frac{7}{5} + \frac{3}{5} = \frac{10}{5}

4. Ergebnis kürzen: Zuletzt kürzt du das Ergebnis wieder soweit wie möglich.

\frac{10\textcolor{teal}{\,:5}}{5\textcolor{teal}{\,:5}}= \frac{2}{1} = 2

Brüche mit ganzen Zahlen addieren 

Damit du ganze Zahlen und Brüche addieren und subtrahieren kannst, musst du die Zahl zuerst in einen Bruch umwandeln.

Beispiel

Addiere die ganze Zahl mit dem Bruch.

\textcolor{blue}{2} + \frac{1}{6}

1.Zahl in Bruch umwandeln: Ganze Zahlen kannst du leicht in einen Bruch umwandeln. Dazu schreibst du die ganze Zahl 2 auf den Zähler. Der Nenner ist bei ganzen Zahlen immer die 1. 

\textcolor{blue}{2}+ \frac{1}{6} = \frac{\textcolor{blue}{2}}{1} + \frac{1}{6}

2.Brüche auf einen Nenner bringen: Nun hast du wieder eine Addition von ungleichnamigen Brüchen. Du formst sie in gleichnamige Brüche um, indem du den ersten Bruch \frac{2}{1} mit 6 erweiterst.

\frac{2\textcolor{teal}{\,\cdot6}}{1\textcolor{teal}{\,\cdot6}} + \frac{1}{6}= \frac{12}{\textcolor{red}{6}} + \frac{1}{\textcolor{red}{6}}

3.Brüche addieren: Jetzt kannst du wieder wie gewohnt addieren.

\frac{12}{\textcolor{red}{6}} + \frac{1}{\textcolor{red}{6}} = \frac{13}{\textcolor{red}{6}}

Brüche addieren Aufgaben

Zuletzt haben wir hier noch ein paar Aufgaben zur Addition von Brüchen für dich vorbereitet.

Aufgabe 1: Addieren von gleichnamigen Brüchen

a)\, \frac{3}{11} + \frac{6}{11}

b)\, \frac{2}{9} + \frac{5}{9}

Aufgabe 2: Ungleichnamige Brüche addieren

a)\, \frac{3}{16} + \frac{2}{4}

b)\, \frac{4}{25} + \frac{2}{5}

Aufgabe 3: Gemischte Brüche addieren

a)\, \frac{3}{6} + 2\frac{1}{6}

b)\, 4\frac{3}{6} + 1\frac{5}{8}

Aufgabe 4: Addiere die Brüche mit den ganzen Zahlen

a)\, \frac{7}{11} + 3

b)\, 2 + \frac{3}{8}

Im Folgenden kannst du überprüfen, ob du zum Brüche addieren, zu allen Aufgaben die richtige Lösung gefunden hast.

Lösung

Lösung 1: Addieren von Gleichnamige Brüchen

a)\, \frac{3}{\textcolor{red}{11}} + \frac{6}{\textcolor{red}{11}}= \frac{3\,+\,6}{\textcolor{red}{11}}=\frac{9}{\textcolor{red}{11}}

(Zähler addieren)

b)\, \frac{2}{\textcolor{red}{9}}+ \frac{5}{\textcolor{red}{9}}= \frac{2\,+\,5}{\textcolor{red}{9}} = \frac{7}{\textcolor{red}{9}}

Lösung 2: Ungleichnamige Brüche addieren

a)\, \frac{3}{16} + \frac{2}{4} = \frac{3}{16} + \frac{2\textcolor{teal}{\,\cdot4}}{4\textcolor{teal}{\,\cdot4}}= \frac{3}{\textcolor{red}{16}} + \frac{8}{\textcolor{red}{16}} = \frac{11}{16}

(Brüche zuerst durch Erweitern auf einen Nenner bringen und danach Zähler addieren)

b)\, \frac{2}{5} + \frac{5\,\textcolor{teal}{\,:5}}{25\,\textcolor{teal}{\,:5}} = \frac{2}{\textcolor{red}{5}} + \frac{1}{\textcolor{red}{5}} = \frac{3}{\textcolor{red}{5}}

Lösung 3: Gemischte Brüche addieren

a)\, \frac{3}{6} + \textcolor{blue}{2}\frac{1}{\textcolor{red}{6}} = \frac{3}{6} +\frac{\textcolor{blue}{2}\,\cdot\,\textcolor{red}{6}\,+\,1}{\textcolor{red}{6}} = \frac{3}{6} + \frac{13}{\textcolor{red}{6}} = \frac{16}{6} = 2\frac{2}{3}

(Gemischte Zahl zuerst in Bruch umwandeln und danach Zähler addieren)

b)\, \textcolor{blue}{4}\frac{3}{\textcolor{red}{6}} + \textcolor{blue}{1}\frac{5}{\textcolor{red}{8}} = \frac{\textcolor{blue}{4}\,\cdot\,\textcolor{red}{6}\,+\,3}{\textcolor{red}{6}} + \frac{\textcolor{blue}{1}\,\cdot\,\textcolor{red}{8}\,+\,5}{\textcolor{red}{8}}=\frac{27\textcolor{teal}{\,\cdot4}}{6\textcolor{teal}{\,\cdot4}} + \frac{13\textcolor{teal}{\,\cdot3}}{8\textcolor{teal}{\,\cdot3}}= \frac{108}{\textcolor{red}{24}} + \frac{39}{\textcolor{red}{24}}=\frac{147\textcolor{teal}{\,:3}}{24\textcolor{teal}{\,:3}} = {\frac{49}{8}

Lösung 4: Brüche mit ganzen Zahlen addieren

a) \frac{7}{11} + \textcolor{blue}{3} = \frac{7}{11} + \frac{3\textcolor{teal}{\,\cdot11}}{1\textcolor{teal}{\,\cdot11}} = \frac{7}{\textcolor{red}{11}} + \frac{33}{\textcolor{red}{11}} = \frac{40}{11}

(Ganze Zahl zuerst in einen Bruch umwandeln)

b)\, \textcolor{blue}{2} + \frac{3}{\textcolor{red}{8}} =\frac{2\textcolor{teal}{\,\cdot8}}{1\textcolor{teal}{\,\cdot8}} + \frac{3}{8} = \frac{16}{\textcolor{red}{8}} + \frac{3}{\textcolor{red}{8}}= \frac{19}{8} = 2\frac{3}{8}

Brüche addieren und subtrahieren

Brüche addieren und subtrahieren funktioniert im Grunde genommen gleich. Genauso wie bei der Addition von Brüchen, müssen die Brüche also auch bei der Subtraktion gleiche Nenner haben. Ist das der Fall, rechnest du einfach den Zähler des ersten Bruchs minus den Zähler des zweiten Bruchs.

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Brüche subtrahieren

Auch zum Brüche subtrahieren haben wir ein extra Video für dich. Dort zeigen wir dir viele weitere Beispiele. Schau es dir an!

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Zum Video: Brüche subtrahieren
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