Mathematische Grundlagen
Bruchrechnung
 – Video

Wie kannst du Brüche dividieren? Das erklären wir dir hier an vielen Beispielen. Am Ende findest du Aufgaben zum Üben. Schau dir unser Video an, um die Division von Brüchen anschaulich erklärt zu bekommen.

Wie dividiert man Brüche?

Beim Bruchrechnen kannst du Brüche dividieren (geteilt rechnen), indem du den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizierst , also malnimmst.

Sollst du zum Beispiel

    \[\frac{1}{5}:\frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{4}}\]

berechnen, dann bildest du zuerst den Kehrbruch, indem du Zähler und Nenner des zweiten Bruchs vertauschst.

    \[\frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{4}} \to \frac{\textcolor{red}{4}}{\textcolor{blue}{3}}\]

Danach wandelst du die Division „:“ in eine Multiplikation „⋅“ um. Ersetze „:“ durch „⋅“.

    \[\frac{1}{5}\,: \,\frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{4}}=\frac{1}{5}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{4}}{\textcolor{blue}{3}}\]

Anschließend berechnest du%dann einfach weg%done das Ergebnis.

    \[\frac{1}{5}\,: \,\frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{4}}=\frac{1}{5}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{4}}{\textcolor{blue}{3}}=\frac{4}{15}\]

Erinnerung: Brüche multiplizierst du, indem du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner rechnest.

Brüche dividieren — Schritt-für-Schritt

1. Lass den ersten Bruch stehen.

2. Ersetze das Geteiltzeichen durch ein Malzeichen.

3. Tausche im zweiten Bruch Zähler und Nenner (Kehrbruch).

4. Multipliziere die beiden Zähler.

5. Multipliziere die beiden Nenner.

6. Kürze das Ergebnis, wenn möglich.

Bruch durch Bruch teilen

Wie rechnet man Brüche geteilt? Schau dir dazu gleich ein Beispiel an.%Bitte Immer eckige Klammer und nicht Dollar benutzen, dann wird's größer%done

    \[\frac{1}{6}\,:\,\frac{3}{7}\]

1. Lass den ersten Bruch stehen:

    \[\frac{1}{6}\]

2. Ersetze das Geteiltzeichen durch ein Malzeichen:

    \[\frac{1}{6} \cdot\]

3. Bilde den Kehrbruch: Berechne den Kehrwert des zweiten Bruchs (\frac{3}{7}), durch den geteilt werden soll. Dafür tauschst du den Zähler 3 mit dem Nenner 7.

    \[\frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{7}} \to \frac{\textcolor{red}{7}}{\textcolor{blue}{3}}\]

%Punkt weg%done

    \[\implies \frac{1}{6} \cdot \frac{\textcolor{red}{7}}{\textcolor{blue}{3}}\]

4. und 5. Multipliziere die beiden Brüche: Beim Multiplizieren rechnest du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

    \[\frac{1}{6}\,:\,\frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{7}}=\frac{1}{6}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{7}}{\textcolor{blue}{3}}=\frac{1\,\cdot\,7}{6\,\cdot\,3}=\frac{7}{18}\]

Weitere Beispiele 

Schau dir noch weitere Beispiele zur Division von Brüchen an.

    \[\frac{9}{10}\,:\,\frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{7}} = \frac{9}{10}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{7}}{\textcolor{blue}{2}}=\frac{9\,\cdot\,\textcolor{red}{7}}{10\,\cdot\,\textcolor{blue}{2}}=\frac{63}{20}\]

    \[\frac{5}{13}\,:(-\frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{9}})= \frac{5}{13}\,\cdot\,\frac{(-\textcolor{red}{9})}{\textcolor{blue}{2}}=\frac{5\,\cdot\,(-\textcolor{red}{9})}{13\,\cdot\,\textcolor{blue}{2}}=\frac{(-45)}{26}\]

    \[\frac{11}{3}:\frac{\textcolor{blue}{7}}{\textcolor{red}{4}}=\frac{11}{3}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{4}}{\textcolor{blue}{7}}=\frac{11\,\cdot\,\textcolor{red}{4}}{3\,\cdot\,\textcolor{blue}{7}}=\frac{44}{21}\]

Merke: Wie dividiert man Brüche?

Wenn du Brüche geteilt rechnen willst, multiplizierst du den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs.

    \[\frac{a}{b}:\frac{\textcolor{blue}{c}}{\textcolor{red}{d}} = \frac{a}{b}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{d}}{\textcolor{blue}{c}}\]

Brüche dividieren mit ganzen Zahlen

Beim Dividieren von Brüchen durch ganze Zahlen, musst du die Zahl zuerst in einen Bruch umwandeln. Dazu schreibst du die Zahl als Zähler auf den Bruchstrich. Der Nenner ist bei ganzen Zahlen immer die 1 (\textcolor{blue}{3}=\frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{1}}).

Vorgehensweise
  1. Ganze Zahl in einen Bruch umwandeln.
  2. Kehrwert des zweiten Bruchs berechnen.
  3. Division in Multiplikation umwandeln.
  4. Ergebnis berechnen.

Beispiel

    \[\frac{7}{3} : 5\]

1. Zahl in einen Bruch umwandeln: Du kannst alle Zahlen auch als Bruch schreiben. Die Zahl ist dabei der Zähler. Der Nenner ist bei ganzen Zahlen immer 1.

    \[\frac{7}{3}:\textcolor{blue}{5} = \frac{7}{3}:\frac{\textcolor{blue}{5}}{1}\]

Jetzt hast du wieder zwei Brüche und kannst wie im vorherigen Beispiel weitermachen.

2. Kehrwert berechnen: Vertausche Zähler und Nenner des zweiten Bruchs. 

    \[\frac{\textcolor{blue}{5}}{\textcolor{red}{1}} \to \frac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{5}}\]

3. Division in Multiplikation umwandeln: Ersetze den zweiten Bruch durch den Kehrwert und aus „:“ (geteilt) wird „⋅“ (mal).

    \[\frac{7}{3}:\frac{\textcolor{blue}{5}}{\textcolor{red}{1}}=\frac{7}{3}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{5}}\]

4. Ergebnis berechnen: Der Zähler 7 bleibt stehen, da er mit 1 multipliziert wird.

    \[\frac{7}{3} : 5=\frac{7\,\cdot\,\textcolor{red}{1}}{3\,\cdot\,\textcolor{blue}{5}} =\frac{7}{15}\]

Weitere Beispiele zum Dividieren von Brüchen

Hier findest du noch mehr Beispiele zum Dividieren von Brüchen:

    \[\frac{11}{5}:\textcolor{blue}{4}=\frac{11}{5}:\frac{\textcolor{blue}{4}}{\textcolor{red}{1}}=\frac{11}{5}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{4}}=\frac{11\,\cdot\,\textcolor{red}{1}}{5\,\cdot\,\textcolor{blue}{4}}=\frac{11}{20}\]

    \[\frac{3}{10}:\textcolor{blue}{2}=\frac{3}{10}:\frac{\textcolor{blue}{2}}{\textcolor{red}{1}}=\frac{3}{10}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{2}}=\frac{3\,\cdot\,\textcolor{red}{1}}{10\,\cdot\,\textcolor{blue}{2}}=\frac{3}{20}\]

    \[\frac{3}{2}:\textcolor{blue}{7}=\frac{3}{2}:\frac{\textcolor{blue}{7}}{\textcolor{red}{1}}=\frac{3}{2}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{7}}=\frac{3}{14}\]

Merke: Bruch geteilt durch ganze Zahl

Bei der Division von Brüchen mit ganzen Zahlen muss die Zahl in einen Bruch umgewandelt werden. Dann hast du wieder 2 Brüche, die du, wie oben erklärt, teilen kannst.

    \[\frac{a}{b} : \textcolor{blue}{c} = \frac{a}{b} : \frac{\textcolor{blue}{c}}{\textcolor{red}{1}} = \frac{a}{b} \,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{c}}=\frac{a\,\cdot\,\textcolor{red}{1}}{b\,\cdot\, \textcolor{blue}{c}}\]

Gemischte Brüche dividieren

Es kann auch eine Division gegeben sein, die nicht nur Brüche beinhaltet. Manchmal%Wdh.%done sollst du eine Mischung aus Zahl und Bruch dividieren (Gemischter Bruch). Dann musst du die gemischte Zahl vor dem Teilen in einen Bruch umwandeln.

%Das ist hier ein bisschen unverständlich. Sollen wir nicht zuerst vorrechnen und dann definieren/erklären?%eigentlich müsste man das hier wahrscheinlich gar nicht erklären, weil das ja unten in den Schritten erklärt wird oder? Ich habs jetzt hier mal rausgenommen.

Vorgehensweise: Gemischten Bruch dividieren
  1.  Gemischten Bruch%so wie unten vielleicht "unecht" weglassen oder erklären%done umwandeln.
  2.  Kehrwert berechnen.
  3.  Division in Multiplikation umwandeln.
  4.  Ergebnis berechnen.

Beispiel

    \[2\frac{2}{3}:\frac{7}{4}\]

1. Gemischten Bruch %brauchts das unecht? wird nicht erklärt%doneumwandeln: Dazu multiplizierst du die Zahl vor dem Bruch mit dem Nenner und addierst sie zum Zähler. Das wird dein neuer Zähler. Der Nenner bleibt dabei immer gleich.%Du rechnest iwie nicht das was du schreibst%Doch. Warum nicht? die 2 mal die 3 aus dem Nenner und dann Plus die 2 auf dem Zähler. <span style="color: #00ff00;">ich weiß jetzt was verwirrt! Dass du nicht dazuschreibst, dass das alles beim Zähler aufgeschrieben wird. Wenn du nämlich sagst, du multipliziert die Zahl mit dem Nenner und schreibst dazu noch + 2, dann weiß der Leser nicht, dass es auf den Bruchstrich drauf soll</span> %Okay, jetzt versteh ich, was du meinst. Könnte daran liegen, dass ichs nicht selbst geschrieben sondern übernommen hab :D Besser?%vielleicht den erten Zähler, den man addiert, farbig machen und den Endzähler in einer anderen Farbe markieren? :)

    \[\textcolor{blue}{2}\frac{\textcolor{orange}{2}}{\textcolor{red}{3}}:\frac{7}{4}=\frac{\textcolor{blue}{2}\,\cdot\,\textcolor{red}{3}\,+\,\textcolor{orange}{2}}{\textcolor{red}{3}}:\frac{7}{4}=\frac{8}{3}:\frac{7}{4}\]

2. Kehrwert berechnen: Vertausche Zähler und Nenner des zweiten Bruchs.

    \[\frac{\textcolor{blue}{7}}{\textcolor{red}{4}} \to \frac{\textcolor{red}{4}}{\textcolor{blue}{7}}\]

3. Division in Multiplikation umwandeln: Ersetze den zweiten Bruch durch den Kehrwert und aus „:“ (geteilt) wird „⋅“ (mal).

    \[\frac{8}{3}:\frac{\textcolor{blue}{7}}{\textcolor{red}{4}}=\frac{8}{3}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{4}}{\textcolor{blue}{7}}\]

4. Ergebnis berechnen

    \[\frac{8}{3}:\frac{\textcolor{blue}{7}}{\textcolor{red}{4}}=\frac{8}{3}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{4}}{\textcolor{blue}{7}}= \frac{8\,\cdot\,\textcolor{red}{4}}{3\,\cdot\,\textcolor{blue}{7}}=\frac{32}{21}\]

Weitere Beispiele: Brüche geteilt rechnen%Überleitungssatz%done

Schau dir gleich noch ein paar Beispiele dazu an:

    \[\textcolor{blue}{3}\frac{1}{\textcolor{red}{3}}:\textcolor{blue}{2}\frac{1}{\textcolor{red}{8}}=\frac{\textcolor{blue}{3}\,\cdot\,\textcolor{red}{3}\,+\,1}{\textcolor{red}{3}}:\frac{\textcolor{blue}{2}\,\cdot\,\textcolor{red}{8}\,+\,1}{\textcolor{red}{8}}=\frac{10}{3}:\frac{\textcolor{blue}{17}}{\textcolor{red}{8}}=\frac{10}{3}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{8}}{\textcolor{blue}{17}}=\frac{80}{51}\]

    \[\textcolor{blue}{2}\frac{1}{\textcolor{red}{3}}:4=\frac{\textcolor{blue}{2}\,\cdot\,\textcolor{red}{3}\,+\,1}{\textcolor{red}{3}}:4=\frac{7}{3}:4=\frac{7}{3}:\frac{\textcolor{blue}{4}}{\textcolor{red}{1}}=\frac{7}{3}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{4}}=\frac{7\,\cdot\,1}{3\,\cdot\,4}=\frac{7}{12}\]

    \[5:\textcolor{blue}{2}\frac{2}{\textcolor{red}{5}}=\frac{5}{1}:\frac{\textcolor{blue}{2}\,\cdot\,\textcolor{red}{5}\,+\,2}{\textcolor{red}{5}}=\frac{5}{1}:\frac{\textcolor{blue}{12}}{\textcolor{red}{5}}=\frac{5}{1}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{5}}{\textcolor{blue}{12}}=\frac{25}{12}\]

Merke: Gemischte Brüche dividieren

Bei der Division von gemischten Brüchen musst du die Zahl vor dem Bruch mit auf den Bruchstrich ziehen, indem du sie mit dem Nenner multiplizierst und zum Zähler addierst. Die restlichen Schritte ändern sich nicht.%hier vielleicht wie beim anderen Merke der Hinweis, das die restlichen Schritte gleich bleiben?%done

    \[\textcolor{blue}{a}\frac{b}{\textcolor{red}{c}} : \frac{d}{e} = \frac{\textcolor{blue}{a}\,\cdot\,\textcolor{red}{c} \,+\,b}{\textcolor{red}{c}}:\frac{\textcolor{blue}{d}}{\textcolor{red}{e}}=\frac{a \cdot c + b}{c} \cdot \frac{\textcolor{red}{e}}{\textcolor{blue}{d}}\]

Brüche dividieren Aufgaben

Hier haben wir noch ein paar Übungsaufgaben zum Dividieren von Brüchen für dich vorbereitet. Berechne:

  •     \[\frac{12}{5}:\frac{6}{7}\]

  •     \[7:\frac{3}{2}\]

  •     \[(-\frac{5}{7})\,:\,(-\frac{8}{14})\]

Jetzt kannst du überprüfen, ob du zu allen Brüche dividieren Aufgaben die richtige Lösung gefunden hast.

Lösung 

  •     \[\frac{12}{5}:\frac{\textcolor{blue}{6}}{\textcolor{red}{7}}=\frac{12}{5}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{7}}{\textcolor{blue}{6}}=\frac{12\,\cdot\,7}{5\,\cdot\,6}=\frac{84}{30}=\frac{14}{5}\]

  •     \[\textcolor{blue}{7}:\frac{3}{2}=\frac{7}{1}:\frac{\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{red}{2}}=\frac{7}{1}\,\cdot\,\frac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{3}}=\frac{7\,\cdot\,\textcolor{red}{2}}{1\,\cdot\,\textcolor{blue}{3}}=\frac{14}{3}\]

  •     \[(-\frac{5}{7})\,:\,(-\frac{\textcolor{blue}{8}}{\textcolor{red}{14}})=(-\frac{5}{7})\,\cdot\,(-\frac{\textcolor{red}{14}}{\textcolor{blue}{8}})=\frac{(-5)\,\cdot\,(-\textcolor{red}{14})}{7\,\cdot\,\textcolor{blue}{8}}=\frac{70}{56}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}\]

Bruchrechnung Aufgaben

Jetzt weißt du, wie man Brüche multiplizieren und dividieren kann. Wenn du jetzt noch mehr zum Thema Brüche erfahren willst, schau dir gleich unsere anderen Videos zum Bruchrechnen an.

In einem anderen Video zeigen wir dir außerdem viele typische Aufgaben mit Lösungen zur Division von Brüchen.

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Zum Video: Bruchrechnung Aufgaben

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