Mathematische Grundlagen
Zahlenlehre
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Du fragst dich, was Quadratzahlen sind und welche Eigenschaften sie haben? In unserem Beitrag %und Videoerfährst du alles, was du wissen musst!

Quadratzahlen einfach erklärt

Was ist eine Quadratzahl? Eine Quadratzahl entsteht, wenn du eine Zahl mit sich selber mal nimmst. Zum Beispiel ist 36 die Quadratzahl der Rechnung 6 · 6.

Der Name Quadratzahl stammt vom Quadrat. Möchtest du mit Steinen ein Quadrat legen, ist die Anzahl der Steine, die du dafür brauchst immer eine Quadratzahl. So lässt sich ein Quadrat mit der Seitenlänge 3 mit 3 · 3 = 9 Steinen legen:

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Was ist eine Quadratzahl?

Statt der Rechnung 3 · 3 = 9 kannst du auch 3² schreiben. Die kleine 2 über deiner Zahl bedeutet, dass du sie mit sich selber mal nimmst. Du sprichst: „3 hoch 2“ oder „3 im Quadrat“ . Genauso gut kannst du statt 9 · 9 = 81 die Rechnung 9² = 81 schreiben.

Quadratzahlen Tabelle

Wir haben dir die Quadratzahlen in zwei Tabellen zusammengefasst. In der ersten siehst du die Quadratzahlen bis 10 und in der zweiten die Quadratzahlen bis 20.

Quadratzahlen bis 10:

  12 1  
  22 4  
  32 9  
  42 16  
  52 25  
  62 36  
  72 49  
  82 64  
  92 81  
  102 100  

Quadratzahlen bis 20:

  112 121  
  122 144  
  132 169  
  142 196  
  152 225  
  162 256  
  172 289  
  182 324  
  192 361  
  202 400  

Quadratzahlen Eigenschaften

Quadratzahlen haben bestimmte Eigenschaften. Die wichtigsten haben wir für dich zusammengefasst:

1. Summe ungerader Zahlen

Du kannst alle Quadratzahlen auch dadurch erhalten, dass du eine bestimmte Anzahl ungerader Zahlen addierst. Möchtest du beispielsweise die Quadratzahl 9² herausfinden, rechnest du die ersten 9 ungeraden Zahlen zusammen:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81

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Quadratzahlen Summe ungerader Zahlen

2. Summe natürlicher Zahlen

Um eine Quadratzahl, zum Beispiel 9² auszurechnen, kannst du die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis zum Vorgänger deiner Zahl mal 2 nehmen und deine Ausgangszahl addieren:

9² = 2 · (1 + 2 +3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8) + 9 = 81

Übrigens: Die Summe aus den ersten neun natürlichen Zahlen nennst du auch neunte Dreieckszahl D9%D<sub>9 <span style="color: #ff00ff;">done</span></sub>.

3. Teilermenge von Quadratzahlen

Dividierst du eine Zahl ohne Rest, kannst du die Teiler in der sogenannten Teilermenge zusammenfassen. Bei Quadratzahlen hat diese Menge immer eine ungerade Anzahl an Elementen. Schaue dir zum Beispiel die Quadratzahl 16 an:

Ihre Teiler sind: 1, 2, 4, 8 und 16. Also insgesamt 5 Teiler.

Oder schaue dir die Quadratzahl 9 an. Ihre Teiler sind: 1, 3, 9. Also insgesamt 3 Teiler.

4. Endziffern

Um zu erkennen, ob eine Zahl eine Quadratzahl ist, kannst du auf ihre Endziffer schauen. Quadratzahlen können nur die Endziffern 0, 1, 4, 5, 6 und 9 haben. Wirst du also gefragt, ob die Zahl 2648 eine Quadratzahl ist, kannst du direkt verneinen, denn ihre Endziffer ist 8.

5. Primfaktorzerlegung

Führst du bei Quadratzahlen (>1) die Primfaktorzerlegung durch, tauchen gleiche Primfaktoren nur in geraden Anzahlen auf. Zum Beispiel:

36 = 6 · 6 = 2 · 3 · 2 · 3= 2 · 2 · 3 · 3 = · 

6. Rechentrick mit Endziffer 5

Möchtest du eine Zahl, die auf 5 endet, ins Quadrat nehmen, gibt es einen einfachen Rechentrick für dich. Schaue dir dazu die Zahl 15 an: Zuerst multiplizierst du die Zahl ohne die Endziffer 5 (hier: 1) mit ihrem Nachfolger ( 0 1 2 3 4 …):

1 · 2 = 2

Dann hängst du an dein Ergebnis die Ziffern 2 und 5 an:

225

Und schon hast du dein Ergebnis: 15² = 225

Quadratwurzel

Zum Video: Quadratwurzel
Zum Video: Quadratwurzel

Jetzt, wo du die Quadratzahlen kennst, solltest du dir unbedingt die Quadratwurzeln anschauen. Mit ihnen kannst du die Quadratzahl wieder auf ihre Ursprungszahl zurückbringen.%Thumbnail-Verweis

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