Potenzen
Was sind Potenzen?
Potenzen benutzt du, wenn du eine Zahl mehrmals mit sich selbst mal nehmen willst.
Beispiel: Die Rechnung 2 · 2 · 2 kannst du auch so schreiben:
![\[\underbrace{\textcolor{blue}{2 \cdot 2 \cdot 2}}_{\text{\textcolor{orange}{3} mal}} = \textcolor{blue}{2}^{\textcolor{orange}{3}} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d883c4864fbdce887a5fde15ed5e86ed_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Du multiplizierst die 2 dreimal mit sich selbst, deswegen schreibst du 2 hoch 3.
Die 2 nennst du Basis. Die Hochzahl 3 ist der Exponent. Er gibt an, wie oft du eine Zahl mal nimmst. Die Basis und der Exponent zusammen, hier 23, nennst du Potenz.
- Jede Zahl ohne Hochzahl hat eigentlich den Exponenten 1. Beispiel: 5 = 51. Meist lässt du den Exponenten jedoch weg.
- Potenzierst du eine Zahl mit 0, ist das Ergebnis immer 1. Beispiel: 30 = 1.
Die Zahl, die du mit sich selbst multiplizierst, nennst du Basis. Der Exponent gibt an, wie oft du die Zahl mal nimmst. Zusammen heißen Basis und Exponent Potenz. Das Ergebnis ist der Wert der Potenz. Beispiel: 46 = 4096
- Basis: 4
- Exponent: 6
- Potenz: 46
- Wert der Potenz: 4096
Potenzen mit negativer Basis
Manchmal ist die Basis einer Potenz eine Minus-Zahl. Zum Beispiel:
- (– 5)2
- (– 5)3
Um das Ergebnis auszurechnen, schreibst du deine Rechnung aus. Merke dir dabei, dass minus und minus zusammen plus ergeben. Plus und minus ergeben zusammen wieder Minus:
- (– 5) · (– 5) = + 25
- (– 5) · (– 5) · (– 5) = + 25 · (– 5) = – 125
Das Vorzeichen des Ergebnisses hängt davon ab, wie oft du die Zahl mit sich selbst mal nimmst. Du schaust, also darauf, ob der Exponent gerade oder ungerade ist.
- Bei einer Potenz mit negativer Basis und geradem Exponenten, ist das Ergebnis positiv ( + ). Beispiel: (- 6)2 = + 36
- Bei einer Potenz mit negativer Basis und ungeradem Exponenten, ist das Ergebnis negativ ( – ). Beispiel: (- 4)3 = – 64
Das Plus-Zeichen beim Ergebnis kannst du einfach weglassen.
Potenzen mit negativem Exponenten
Es gibt auch Potenzen mit negativem Exponenten. Zum Beispiel:
- 4-2
- 5-3
- 7-6
Wenn du sie ausrechnen willst, hilft dir das Umformen in einen Bruch.
Um aus der negativen Potenz einen Bruch zu machen, schreibst du einen Bruchstrich auf. Oben kommt immer eine 1 hin. Unten schreibst du deine Potenz, also die Basis mit dem Exponenten hin — und zwar ohne Minus-Zeichen!
![\[4^{\textcolor{red}{-}\textcolor{orange}{2}} =\textcolor{red}{\frac{\textcolor{black}{1}}{\textcolor{black}{4}^\textcolor{orange}{2}}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-de1437a84f0ebbeca0b900b4e308a42c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dann kannst du dein Ergebnis ganz einfach ausrechnen!
![\[\frac{1}{4\cdot4} = \frac{1}{16}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-968585eff42deb7b795c9ebe97d68212_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Du willst mehr Beispiele zum Rechnen mit negativen Potenzen? Hier findest du ein extra Video dazu!
Potenzen mit rationalem Exponenten
Potenzen können auch einen Bruch als Exponenten haben, zum Beispiel
Du kannst die Potenzen in Wurzeln umwandeln. Dafür schreibst du eine Wurzel. Auf der Wurzel steht der Nenner, also die untere Zahl des Bruches. In die Wurzel schreibst du die Basis hoch den Zähler des Bruchs.
![\[2^\textcolor{orange}{\frac{3}{5}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-83aecb5de724d7ba5a633c84cfb9e6bd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\sqrt[\textcolor{orange}{5}]{2^\textcolor{orange}{3}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2d90340257a4c0e9e22db23e17fabe19_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Potenzgesetze
Du willst wissen, wie du mit Potenzen rechnen kannst? Dafür gibt es die Potenzgesetze . Eine Übersicht und viele Beispiele bekommst du hier!
